导数的概念、导数公式与应用4972.pdf

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1、导数的概念及运算 知识点一:函数的平均变化率(1)概念:函数中,如果自变量在处有增量,那么函数值 y 也相应的有增量y=f(x0+x)-f(x0),其比值叫做函数从到+x 的平均变化率,即。若,则平均变化率可表示为,称为函数从到的平均变化率。注意:事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值;函数的平均变化率表现函数的变化趋势,当取值越小,越能准确体现函数的变化情况。是自变量 在处的改变量,;而是函数值的改变量,可以是 0。函数的平均变化率是 0,并不一定说明函数没有变化,应取更小考虑。(2)平均变化率的几何意义 函数的平均变化率的几何意义是表示连

2、接函数图像上两点割线的斜率。如图所示,函数的平均变化率的几何意义是:直线 AB 的斜率。事实上,。作用:根据平均变化率的几何意义,可求解有关曲线割线的斜率。知识点二:导数的概念:1导数的定义:对函数,在点处给自变量 x 以增量,函数 y 相应有增量。若极限存在,则此极限称为在点处的导数,记作或,此时也称在点处可导。即:(或)注意:增量可以是正数,也可以是负数;导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限,即瞬时变化率。2导函数:如果函数在开区间内的每点处都有导数,此时对于每一个,都对应着一个确定的导数,从而构成了一个新的函数,称这个函数为函数在开区间内的导函数,简称导数。注意:函数的导数与在点

3、处的导数不是同一概念,是常数,是函数在处的函数值,反映函数在附近的变化情况。3导数几何意义:(1)曲线的切线 曲线上一点 P(x0,y0)及其附近一点 Q(x0+x,y0+y),经过点 P、Q 作曲线的割线 PQ,其倾斜角为当点 Q(x0+x,y0+y)沿曲线无限接近于点 P(x0,y0),即x0 时,割线 PQ 的极限位置直线 PT 叫做曲线在点 P 处的切线。若切线的倾斜角为,则当x0 时,割线 PQ 斜率的极限,就是切线的斜率。即:。(2)导数的几何意义:函数在点 x0的导数是曲线上点()处的切线的斜率。注意:若曲线在点处的导数不存在,但有切线,则切线与 轴垂直。,切线与轴正向夹角为锐角

4、;,切线与轴正向夹角为钝角;,切线与 轴平行。(3)曲线的切线方程 如果在点可导,则曲线在点()处的切线方程为:。4瞬时速度:物体运动的速度等于位移与时间的比,而非匀速直线运动中这个比值是变化的,如何了解非匀速直线运动中每一时刻的运动快慢程度,我们采用瞬时速度这一概念。如果物体的运动规律满足 s=s(t)(位移公式),那么物体在时刻 t 的瞬时速度 v,就是物体t到t+t这 段 时 间 内,当 t 0时 平 均 速 度 的 极 限,即。如果把函数看作是物体的位移公式),导数表示运动物体在时刻的瞬时速度。规律方法指导 1如何求函数的平均变化率 求函数的平均变化率通常用“两步”法:作差:求出和 作

5、商:对所求得的差作商,即。注意:(1),式子中、的值可正、可负,但的值不能为零,的值可以为零。若函数为常数函数时,。(2)在式子中,与是相对应的“增量”,即在时,。(3)在式子中,当取定值,取不同的数值时,函数的平均变化率不同;当取定值,取不同的数值时,函数的平均变化率也不一样。2如何求函数在一点处的导数 (1)利用导数定义求函数在一点处的导数,通常用“三步法”。计算函数的增量:;求平均变化率:;取极限得导数:。(2)利用基本初等函数的导数公式求初等函数的导数。3导数的几何意义 设函数在点的导数是,则表示曲线在点()处的切线的斜率。设是位移关于时间的函数,则表示物体在时刻的瞬时速度;设是速度关

6、于时间的函数,则表示物体在时刻的加速度;4利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤 求出在处的导数;利用直线方程的点斜式得切线方程为。类型一:求函数的平均变化率 1、求在到之间的平均变化率,并求,时平均变化率的值.思路点拨:求函数的平均变化率,要紧扣定义式进行操作.举一反三:【变式 1】求函数 y=5x2+6 在区间2,2+内的平均变化率。【变式 2】已知函数,分别计算在下列区间上的平均变化率:(1)1,3;(2)1,2;(3)1,;(4)1,.【变式 3】自由落体运动的运动方程为,计算 t 从 3s 到,各段内的平均速度(位移 s 的单位为 m)。【变式 4】过曲线上两点和作曲线的割线,求出

7、当时割线的斜率.类型二:利用定义求导数 2、用导数的定义,求函数在 x=1 处的导数。举一反三:【变式 1】已知函数 (1)求函数在 x=4 处的导数.(2)求曲线上一点处的切线方程。【变式 2】利用导数的定义求下列函数的导数:(1);(2);(3);(4)。3、求曲线 y=x3+2x 在 x=1 处的切线方程.思路点拨:从函数在一点处的导数定义可求得函数 y=x3+2x 在 x=1 处的导数值,再由导数的几何意义,得所求切线的斜率,将 x=1 代入函数可得切点坐标,从而建立切线方程.举一反三:【变式】在曲线 y=x2上过哪一点的切线:(1)平行于直线 y=4x5;(2)垂直于直线 2x6y+

8、5=0;(3)与 x 轴成 135的倾斜角。知识点三:常见基本函数的导数公式 (1)(C 为常数),(2)(n 为有理数),(3),(4),(5),(6),(7),(8),知识点四:函数四则运算求导法则 设,均可导 (1)和差的导数:(2)积的导数:(3)商的导数:()知识点五:复合函数的求导法则 或 即复合函数对自变量 的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量 对自变量 的导数。注意:选择中间变量是复合函数求导的关键。求导时需要记住中间变量,逐层求导,不遗漏。求导后,要把中间变量转换成自变量的函数。规律方法指导 1求复合函数的导数的一般步骤 适当选定中间变量,正确分解复合关系;分步

9、求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导);把中间变量代回原自变量(一般是 x)的函数。整个过程可简记为分解求导回代,熟练以后,可以省略中间过程。若遇多重复合,可以相应地多次用中间变量。类型一:利用公式及运算法则求导数 1、求下列函数的导数:(1);(2)(3);(4)y=2x33x2+5x4 举一反三:【变式】求下列函数的导数:(1);(2)(3)y=6x34x2+9x6 2、求下列各函数的导函数 (1);(2)y=x2sinx;(3)y=;(4)y=举一反三:【变式 1】函数在处的导数等于()A1 B2 C3 D4 【变式 2】下列函数的导数 (1);(2)【变式 3】求下列函数的导数

10、.(1);(2);(3).类型四:复合函数的求导 3、求下列函数导数.(1);(2);(3);(4).举一反三:【变式 1】求下列函数的导数:(1);(2)(3)y=ln(x);(4)类型五:求曲线的切线方程 4、求曲线 y=x3+2x 在 x=1 处的切线方程.举一反三:【变式 1】求曲线在点处的切线的斜率,并写出切线方程.【变式 2】已知,是曲线上的两点,则与直线平行的曲线的切线方程是_.【变式 3】已知曲线.(1)求曲线上横坐标为 1 的点处的切线的方程;(2)第(1)小题中的切线与曲线是否还有其他的公共点?【变式 4】如果曲线的某一切线与直线平行,求切点坐标与切线方程 5、已知直线 为曲线在点(1,0)处的切线,为该曲线的另一条切线,且.(1)求直线的方程;(2)求由直线、和轴所围成的三角形的面积.举一反三:【变式 1】曲线在点(1,1)处的切线与 轴、直线所围成的三角形的面积为_.【变式 2】曲线在(0,1)处的切线与 的距离为,求 的方程.

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