2022年导数的概念导数公式与应用.pdf

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1、名师推荐精心整理学习必备导数的概念及运算知识点一：函数的平均变化率（1）概念：函数中，如果自变量在处有增量，那么函数值y 也相应的有增量y=f(x0+ x)-f(x0) ， 其 比 值叫 做 函 数从到+ x 的 平 均 变 化 率 ， 即。若，则平均变化率可表示为，称为函数从到的平均变化率。注意：事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值；函数的平均变化率表现函数的变化趋势，当取值越小，越能准确体现函数的变化情况。是自变量在处的改变量，；而是函数值的改变量，可以是0。函数的平均变化率是0，并不一定说明函数没有变化，应取更小考虑。（2）平均变化率

2、的几何意义函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率。如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线AB的斜率。事实上，。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备作用：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。知识点二：导数的概念：1导数的定义：对 函 数， 在 点处 给 自 变 量x 以 增 量， 函 数 y 相 应 有 增 量。若极限存在，则此极限称为在点处的导数，记作或，此时也称在

3、点处可导。即：（或）注意：增量可以是正数，也可以是负数；导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。2导函数：如果函数在开区间内的每点处都有导数， 此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数。注意： 函数的导数与在点处的导数不是同一概念，是常数，是函数在处的函数值，反映函数在附近的变化情况。3导数几何意义：（1）曲线的切线曲线上一点 P(x0，y0) 及其附近一点 Q(x0+x,y0+y) ，经过点 P、Q作曲线的割线 PQ ，其倾斜角为当点 Q(x0+x,y0+y) 沿曲线无限接近于点P(x0，y0)，即x0

4、 时，割线 PQ的极限位置直线 PT叫做曲线在点 P处的切线。若切线的倾斜角为，则当 x0 时，割线 PQ斜率的极限，就是切线的斜率。即：。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备(2) 导数的几何意义：函数在点 x0的导数是曲线上点（）处的切线的斜率。注意：若曲线在点处的导数不存在，但有切线，则切线与轴垂直。，切线与轴正向夹角为锐角；，切线与轴正向夹角为钝角；, 切线与轴平行。(3) 曲线的切线方程如果在点可导

5、，则曲线在点（）处的切线方程为：。4瞬时速度：物体运动的速度等于位移与时间的比，而非匀速直线运动中这个比值是变化的，如何了解非匀速直线运动中每一时刻的运动快慢程度，我们采用瞬时速度这一概念。如果物体的运动规律满足s=s(t)(位移公式 )，那么物体在时刻t 的瞬时速度 v，就是物体t到t+ t这 段 时 间 内 ， 当 t 0时 平 均 速 度 的 极 限 ， 即。如果把函数看作是物体的位移公式） ，导数表示运动物体在时刻的瞬时速度。规律方法指导1如何求函数的平均变化率求函数的平均变化率通常用“两步”法：作差：求出和精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢

6、迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备作商：对所求得的差作商，即。注意：（1），式子中、的值可正、可负，但的值不能为零，的值可以为零。若函数为常数函数时，。（2）在式子中，与是相对应的“增量”，即在时，。（3）在式子中，当取定值，取不同的数值时，函数的平均变化率不同；当取定值，取不同的数值时，函数的平均变化率也不一样。2如何求函数在一点处的导数（1）利用导数定义求函数在一点处的导数，通常用“三步法”。计算函数的增量：；求平均变化率：；取极限得导数：。（2）利用基本初等函数的导数公式求初等

7、函数的导数。3导数的几何意义设函数在点的导数是，则表示曲线在点（）处的切线的斜率。设是位移关于时间的函数，则表示物体在时刻的瞬时速度；设是速度关于时间的函数，则表示物体在时刻的加速度；4利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤求出在处的导数；利用直线方程的点斜式得切线方程为。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备类型一：求函数的平均变化率1、求在到之间的平均变化率，并求，时平均变化率的值 . 思路点拨： 求函数

8、的平均变化率，要紧扣定义式进行操作 . 举一反三：【变式 1】求函数 y=5x2+6在区间 2 ，2+ 内的平均变化率。【变式 2】已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率：（1）1 ，3 ；（2）1 ，2 ；（3）1 ，1.1 ；（4）1 ，1.001. 【变式 3】自由落体运动的运动方程为，计算 t 从 3s 到 3.1s ，3.01s ，3.001s 各段内的平均速度（位移s 的单位为 m ）。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - -

9、 - 名师推荐精心整理学习必备【变式 4】 过曲线上两点和作曲线的割线， 求出当时割线的斜率 . 类型二：利用定义求导数2、用导数的定义，求函数在 x=1 处的导数。举一反三：【变式 1】已知函数（1）求函数在 x=4处的导数 . （2）求曲线上一点处的切线方程。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备【变式 2】利用导数的定义求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）；（4）。3、求曲线 y=x3+2x 在 x=

10、1 处的切线方程 . 思路点拨： 从函数在一点处的导数定义可求得函数y=x3+2x 在 x=1 处的导数值，再由导数的几何意义，得所求切线的斜率，将x=1代入函数可得切点坐标，从而建立切线方程. 举一反三：【变式】在曲线y=x2上过哪一点的切线：（1）平行于直线 y=4x5；（2）垂直于直线 2x6y+5=0；（3）与 x 轴成 135的倾斜角。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备知识点 三：常见基本函数的导

11、数公式（1）（C为常数） ，（2）（n 为有理数），（3），（4），（5），（6），（7），（8），知识点四：函数四则运算求导法则设，均可导（1）和差的导数：（2）积的导数：（3）商的导数：（）知识点五：复合函数的求导法则或即复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备数，乘以中间变量对自变量的导数。注意：选择中间变量是复合函数求导的关键。求导时需要记住中间变量，逐层

12、求导，不遗漏。求导后，要把中间变量转换成自变量的函数。规律方法指导1求复合函数的导数的一般步骤适当选定中间变量，正确分解复合关系；分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）；把中间变量代回原自变量（一般是x）的函数。整个过程可简记为分解求导回代，熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。类型一：利用公式及运算法则求导数1、求下列函数的导数：（1）；（2）（3）；（4）y=2x33x2+5x4 举一反三：【变式】求下列函数的导数：（1）；（2）（3）y=6x34x2+9x6 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名

13、师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备2、求下列各函数的导函数（1）；（2）y=x2sinx; （3）y=；（4）y=举一反三：【变式 1】函数在处的导数等于 ( ) A1 B2 C3 D 4 【变式 2】下列函数的导数（1）；（2）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备【变式 3】求下列函数的导数 . （1）；

14、（2）；（3）. 类型四：复合函数的求导3、求下列函数导数 . （1）；（2）；（3）；（4）. 举一反三：【变式 1】求下列函数的导数：（1）；（2）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备（3）y=ln （x）；（4）类型五：求曲线的切线方程4、求曲线 y=x3+2x 在 x=1 处的切线方程 . 举一反三：【变式 1】求曲线在点处的切线的斜率，并写出切线方程. 【变式 2】已知，是曲线上的两点，则与直线平

15、行的曲线的切线方程是 _. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备【变式 3】已知曲线. （1）求曲线上横坐标为 1 的点处的切线的方程；（2）第（ 1）小题中的切线与曲线是否还有其他的公共点？【变式 4】如果曲线的某一切线与直线平行，求切点坐标与切线方程5、已知直线为曲线在点（1，0）处的切线，为该曲线的另一条切线，且. （1）求直线的方程；（2）求由直线、和轴所围成的三角形的面积. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备举一反三：【变式 1】曲线在点（ 1，1）处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为_. 【变式 2】曲线在（0，1）处的切线与的距离为，求 的方程 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - - -