2017年浙江省高考数学试卷8053.pdf

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1、-2021 年浙江省高考数学试卷 一、选择题共 10 小题，每题 5 分，总分值 50 分 1 5 分集合 P=x|1x1，Q=x|0 x2，那么 PQ=A1，2B 0，1C 1，0D 1，2 2 5 分椭圆+=1 的离心率是 ABCD 3 5 分某几何体的三视图如下图单位：cm，那么该几何体的体积单位：2是cm A+1B+3C+1D+3 4 5 分假设 x、y 满足约束条件，那么 z=x+2y的取值范围是 A0，6B0，4C6，+D4，+2+ax+b在区间0，1上的最大值是 M，最小值是 m，5 5 分假设函数 fx=x 那么 Mm A与 a 有关，且与 b 有关 B与 a 有关，但与 b

2、无关 C与 a 无关，且与 b 无关 D与 a 无关，但与 b 有关 6 5 分等差数列an的公差为d，前n 项和为Sn，那 么“d 0是“4S+S62S5 的 A充分不必要条件 B 必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 第 1 页共 25 页-7 5 分函数 y=fx的导函数 y=f x的图象如下图，那么函数 y=fx的 图象可能是 ABCD 8 5 分随机变量 i满足 Pi=1=pi，Pi=0=1pi，i=1，2假设 0 p1p2，那么 AE1E2，D1D2BE1E2，D1D2 CE1E2，D1D2DE1E2，D1D2 9 5 分如图，正四面体 DABC所有棱长均相等的三

3、棱锥，P、Q、R 分别为 AB、BC、CA 上的点，AP=PB，=2，分别记二面角 DPRQ，D PQR，DQRP 的平面角为、，那么 AB C D 10 5 分如图，平面四边形 ABCD，ABBC，AB=BC=AD=，2CD=3，AC 与 BD 交于点 O，记 I1=?，I2=?，I3=?，那么 AI1I2I3BI1I3I2C I3I1I2DI2I1I3 第 2 页共 25 页-二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分 11 4 分我国古代数学家刘徽创立的“割 圆 术可以估算圆周率，理论上能把 的值计算到任意精度，祖冲之继承并开展了“割圆术，将 的

4、值准确到小数点 后七位，其结果领先世界一千多年，“割 圆 术的第一步是计算单位圆内接正六边 形的面积 S6，S6=12 6 分a、bR，a+bi 2=3+4ii 是虚数单位，那么 a2+b2=，ab=3x+22=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，那么a4=，13 6 分多项式x+1 a5=14 6 分ABC，AB=AC=4，BC=2，点 D 为 AB 延长线上一点，BD=2，连 结 CD，那么BDC 的面积是，cosBDC=15 6 分向量、满足|=1，|=2，那 么|+|+|的最小值是，最大值是 16 4 分从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，

5、普通队员2 人组成 4 人效劳队，要求效劳队中至少有1 名女生，共有种不同的选 法用数字作答 17 4 分aR，函数 fx=|x+a|+a 在区间1，4上的最大值是 5，那么 a 的取值范围是 三、解答题共 5 小题，总分值 74 分 18 14 分函数 fx=sin2xcos2x2sinxcosxxR 求 f的值 求 fx的最小正周期及单调递增区间 19 15 分如图，四棱锥PABCD，PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三 角形，BCAD，CDAD，PC=AD=2DC=2C，BE 为 PD 的中点 证明：CE平面 PAB；求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值 第 3 页共 25 页

6、-xx 20 15 分函数 fx=xe 1求 fx的导函数；2求 fx在区间，+上的取值范围 21 15 分如图，抛物线 x 2=y，点 A，B，抛物线上 的点 Px，y x，过点B 作直线 AP 的垂线，垂足为Q 求直线 AP 斜率的取值范围；求|PA|?|PQ|的最大值 *，证明：当n22 15 分数列xn满足：x1=1，xn=xn+1+ln1+xn+1 nN N*时，0 xn+1xn；2xn+1xn；xn-第 4 页共25 页-2021 年浙江省高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题共 10 小题，每题 5 分，总分值 50 分 1 5 分2021?浙江集合 P=x|1x1，Q=x

7、|0 x2，那么 P Q=A1，2B 0，1C 1，0D 1，2【分析】直接利用并集的运算法那么化简求解即可【解答】解：集合 P=x|1x1，Q=x|0 x2，那么 PQ=x|1x2=1，2 应选：A【点评】此题考察集合的根本运算，并集的求法，考察计算能力 2 5 分2021?浙江椭圆+=1 的离心率是 ABCD【分析】直接利用椭圆的简单性质求解即可【解答】解：椭圆+=1，可得 a=3，b=2，那么 c=，所以椭圆的离心率为：=应选：B【点评】此题考察椭圆的简单性质的应用，考察计算能力 3 5 分2021?浙江某几何体的三视图如下图单位：cm，那么该几何体 的体积单位：cm2是 第 5 页共

8、25 页-A+1B+3C+1D+3【分析】根据几何体的三视图，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，画出 图形，结合图中数据即可求出它的体积【解答】解：由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥的底面圆的半径为 1，三棱锥的底面是底边长 2 的等腰直角三角形，圆锥的 高和棱锥的高相等均为 3，故该几何体的体积为 123+3=+1，应选：A【点评】此题考察了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得 出原几何体的构造特征，是根底题目 4 5 分2021?浙江假设 x、y 满足约束条件，那么 z=x+2y 的取值范 围是 A0，6B0，4C6，+D4，+【分析】画出约

9、束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可 第 6 页共 25 页-【解答】解：x、y 满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数 z=x+2y经过C 点时，函数取得最小值，由解得 C2，1，目标函数的最小值为：4 目标函数的范围是4，+应选：D【点评】此题考察线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解 题的关键 2+ax+b在区间0，1上的最大值是 M，5 5 分2021?浙江假设函数 fx=x 最小值是 m，那么Mm A与 a 有关，且与 b 有关 B与 a 有关，但与 b 无关 C与 a 无关，且与 b 无关 D与 a 无关，但与 b 有关【分析】结合二次函数的图象和性质，分

10、类讨论不同情况下 Mm 的取值与 a，b 的关系，综合可得答案【解答】解：函数 fx=x2+ax+b的图象是开口朝上且以直线 x=为对称轴的 抛物线，当1 或0，即 a2，或 a0 时，函数 fx在区间0，1上单调，此时 Mm=|f1f0|=|a+1|，故 Mm 的值与 a 有关，与 b 无关 当1，即2a1 时，第 7 页共25 页-函数 fx在区间0，上递减，在，1上递增，且 f0f1，此时 Mm=f0f=，故 Mm 的值与 a 有关，与 b 无关 当 0，即1a0 时，函数 fx在区间0，上递减，在，1上递增，且 f0f1，此时 Mm=f1f=a，故 Mm 的值与 a 有关，与 b 无关

11、 综上可得：Mm 的值与 a 有关，与 b 无关 应选：B【点评】此题考察的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象 和性质，是解答的关键 6 5 分 2021?浙江等差数列an的公差为d，前n 项和为Sn，那么“d 0 是“4S+S62S5 的 A充分不必要条件 B 必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【分析】根据等差数列的求和公式和 S4+S62S5，可以得到 d0，根据充分必要 条件的定义即可判断【解答】解：S4+S62S5，4a1+6d+6a1+15d25a1+10d，21d20d，d0，故“d 0是“4S+S62S5充分必要条件，应选：C【点评】此题借助

12、等差数列的求和公式考察了充分必要条件，属于根底题 第 8 页共25 页-7 5 分2021?浙江函数 y=fx的导函数 y=f x的图象如下图，那么函 数 y=fx的图象可能是 ABCD【分析】根据导数与函数单调性的关系，当 f x0 时，函数 fx单调递减，当 f x0 时，函数 fx单调递增，根据函数图象，即可判断函数的单调性，然后根据函数极值的判断，即可判断函数极值的位置，即可求得函数 y=fx的 图象可能【解答】解：由当 f x0 时，函数 fx单调递减，当 f x0 时，函数 fx单调递增，那么由导函数 y=f x的图象可知：fx先单调递减，再单调递增，然后单调递 减，最后单调递增，

13、排除A，C，且第二个拐点即函数的极大值点在x 轴上的右侧，排除 B，应选 D【点评】此题考察导数的应用，考察导数与函数单调性的关系，考察函数极值的 判断，考察数形结合思想，属于根底题 8 5 分 2021?浙江随机变量i满足P i=1=pi，P i=0=1pi，i=1，2假设 0p1p2，那么 AE1E2，D1D2BE1E2，D1D2 CE1E2，D1D2DE1E2，D1D2【分析】由得 0p1p2，1p21p11，求出E 1=p1，E 2=p2，从而求出 D1，D2，由此能求出结果【解答】解：随机变量i满足Pi=1=pi，Pi=0=1pi，i=1，2，第 9 页共25 页-0p1p2，1p2

14、1p11，E1=1p1+01p1=p1，E2=1p2+01p2=p2，D1=1p12p1+0p121p1=，D2=1p22p2+0p221p2=，2=p2p1 p1+p210，D1D2=p1p1 E 1E2，D1D2 应选：A【点评】此题考察离散型随机变量的数学期望和方差等根底知识，考察推理论证 能力、运算求解能力、空间想象能力，考察数形结合思想、化归与转化思想，是 中档题 9 5 分2021?浙江如图，正四面体 DABC所有棱长均相等的三棱 锥，P、Q、R 分别为 AB、BC、CA 上的点，AP=PB，=2，分别记二面角 D PRQ，DPQR，DQRP 的平面角为、，那么 AB C D【分析

15、】解法一：如下图，建立空间直角坐标系设底面ABC 的中心为 O不 妨设 OP=3那么 O0，0，0，P0，3，0，C 0，6，0，D0，0，6，Q，R，利用法向量的夹角公式即可得出二面角 解法二：如下图，连接 OP，OQ，OR，过点 O 分别作垂线：OEPR，OFPQ，OGQR，垂足分别为 E，F，G，连接 DE，DF，DG可得tan=tan=，第 10 页共 25 页-tan=由可得：OEOGOF即可得出【解答】解法一：如下图，建立空间直角坐标系设底面ABC 的中心为 O 不妨设 OP=3那么O 0，0，0，P 0，3，0，C 0，6，0，D 0，0，6，Q，R，=，=0，3，6，=，5，0

16、，=，=设平面 PDR 的法向量为=x，y，z，那么，可得，可得=，取平面 ABC 的法向量=0，0，1 那么 cos=，取=arccos 同理可得：=arccos=arccos 解法二：如下图，连接 OP，OQ，OR，过点 O 分别作垂线：OEPR，OFPQ，OGQR，垂足分别为 E，F，G，连接 DE，DF，DG 设 OD=h 那么 tan=同理可得：tan=，tan=由可得：OEOGOF tan tan tan，为锐角 应选：B 第 11 页共 25 页-【点评】此题考察了空间角、空间位置关系、正四面体的性质、法向量的夹角公 式，考察了推理能力与计算能力，属于难题 10 5 分2021?

17、浙江如图，平面四边形 ABCD，ABBC，AB=BC=AD=，2 CD=3，AC 与 BD 交于点 O，记 I1=?，I2=?，I3=?，那么 AI1I2I3BI1I3I2C I3I1I2DI2I1I3【分析】根据向量数量积的定义结合图象边角关系进展判断即可【解答】解：ABBC，AB=BC=AD=，2CD=3，AC=2，AOB=COD90，第 12 页共 25 页-由图象知 OAOC，OBOD，0?，?0，即 I3I1I2，应选：C【点评】此题主要考察平面向量数量积的应用，根据图象结合平面向量数量积的 定义是解决此题的关键 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分

18、，共 36 分 11 4 分 2021?浙江我国古代数学家刘徽创立的“割圆术可以估算圆周率，理论上能把 的值计算到任意精度，祖冲之继承并开展了“割 圆 术，将的值精 确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割 圆 术的第一步是计算单位圆 内接正六边形的面积 S6，S6=【分析】根据题意画出图形，结合图形求出单位圆的内接正六边形的面积【解答】解：如下图，单位圆的半径为 1，那么其内接正六边形 ABCDEF 中，AOB 是边长为 1 的正三角形，所以正六边形 ABCDEF 的面积为 S6=611sin60=故答案为：【点评】此题考察了圆的半径求其内接正六边形面积的应用问题，是根底题 12 6

19、分 2021?浙江a、bR，a+bi2=3+4ii 是虚数单位，那么 a2+b2=5，ab=2 第 13 页共 25 页-【分析】a、bR，a+bi2=3+4ii 是虚数单位，可得 3+4i=a2b2+2abi，可得 2b2，2ab=4，解出即可得出3=a【解答】解：a、bR，a+bi2=3+4ii 是虚数单位，3+4i=a 2b2+2abi，3=a2b2，2ab=4，解得 ab=2，那么 a2+b2=5，故答案为：5，2【点评】此题考察了复数的运算法那么、复数的相等、方程的解法，考察了推理能 力与计算能力，属于根底题 3x+22=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，13 6分2

20、021?浙江多项式x+1 那么 a4=16，a5=4【分析】利用二项式定理的展开式，求解 x 的系数就是两个多项式的展开式中 x 与常数乘积之和，a5就是常数的乘积【解答】解：多项式x+13x+22=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，x+1 3中，x 的系数是：3，常数是 1；x+22中 x 的系数是 4，常数是 4，a4=34+14=16；a5=14=4 故答案为：16；4【点评】此题考察二项式定理的应用，考察计算能力，是根底题 14 6 分2021?浙江ABC，AB=AC=4，BC=2，点 D 为 AB 延长线上一 点，BD=2，连结CD，那么BDC 的面积是，cosBDC

21、=【分析】如图，取BC 得中点 E，根据勾股定理求出 AE，再求出 S ABC，再根据 S BDC=S ABC 即可求出，根据等腰三角形的性质和二倍角公式即可求出【解答】解：如图，取BC 得中点 E，AB=AC=4，BC=2，第 14 页共25 页-BE=BC=1，AEBC，AE=，S ABC=BC?AE=2=，BD=2，S BDC=SABC=，BC=BD=2，BDC=BCD，ABE=2BDC 在 RtABE 中，cosABE=，cosABE=2cos2BDC1=，cosBDC=，故答案为：，【点评】此题考察了解三角形的有关知识，关键是转化，属于根底题 15 6 分2021?浙江向量、满足|=

22、1，|=2，那么|+|+|的最小值是 4，最大值是【分析】通过记AOB=0 ，利用余弦定理可可知|+|=、|=，进而换元，转化为线性规划问 题，计算即得结论 第 15 页共25 页-【解答】解：记AOB=，那么 0 ，如图，由余弦定理可得：|+|=，|=，令 x=，y=，那么 x2+y2=10 x、y1，其图象为一段圆弧MN，如图，令 z=x+y，那么 y=x+z，那么直线 y=x+z 过M、N 时z 最小为 zmin=1+3=3+1=4，当直线 y=x+z 与圆弧MN 相切时z 最大，由平面几何知识易知 zmax即为原点到切线的距离的倍，也就是圆弧MN 所在圆的半径的倍，所以 zmax=综上

23、所述，|+|+|的最小值是 4，最大值是 故答案为：4、【点评】此题考察函数的最值及其几何意义，考察数形结合能力，考察运算求解 能力，涉及余弦定理、线性规划等根底知识，注意解题方法的积累，属于中档题 16 4 分 2021?浙江从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长1 人，副队长1 人，第 16 页共 25 页-普通队员2 人组成4 人效劳队，要求效劳队中至少有1 名女生，共有 660 种 不同的选法用数字作答【分析】由题意分两类选 1 女 3 男或选 2 女 2 男，再计算即可 3C21=40 种，这4 人选 2 人作为队长【解答】解：第一类，先选 1 女 3 男，有 C6 2=12 种

24、，故有 4012=480 种，和副队有 A4 2C22=15 种，这4 人选 2 人作为队长和副队有 A42=12 第二类，先选 2 女 2 男，有C6 种，故有 1512=180 种，根据分类计数原理共有 480+180=660 种，故答案为：660【点评】此题考察了分类计数原理和分步计数原理，属于中档题 17 4 分2021?浙江aR，函数 fx=|x+a|+a 在区间1，4上 的最大值是5，那么a 的取值范围是，【分析】通过转化可知|x+a|+a5 且 a5，进而解绝对值不等式 可 知 2a5 x+5，进而计算可得结论【解答】解：由题可知|x+a|+a5，即|x+a|5a，所以 a5，又

25、因为|x+a|5a，所以 a5x+a5a，所以 2a5x+5，又因为 1x4，4x+5，所以 2a54，解得 a，故答案为：，【点评】此题考察函数的最值，考察绝对值函数，考察转化与化归思想，注意解 题方法的积累，属于中档题 三、解答题共 5 小题，总分值74 分 第 17 页共 25 页-18 14 分2021?浙江函数 fx=sin2xcos2x2sinxcosxxR 求 f的值 求 fx的最小正周期及单调递增区间【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，代入可得：f的值 根据正弦型函数的图象和性质，可得 fx的最小正周期及单调递增区间【解答】解：函数 fx=sin2xcos2x2

26、sinxcosx=sin2xcos2x=2sin 2x+f=2sin2+=2sin=2，=2，故 T=，即 fx的最小正周期为 ，由 2x+2k，+2k，kZ 得：x+k，+k，kZ，故 fx的单调递增区间为+k，+k 或写成k+，k+，k Z【点评】此题考察的知识点是三角函数的化简求值，三角函数的周期性，三角函 数的单调区间，难度中档 19 15 分2021?浙江如图，四棱锥PABCD，PAD 是以 AD 为斜边 的等腰直角三角形，BCAD，CDAD，PC=AD=2DC=2C，BE 为 PD 的中点 证明：CE平面 PAB；求直线CE 与平面 PBC 所成角的正弦值 第 18 页共25 页-

27、【分析】取 AD 的中点 F，连结 EF，CF，推导出 EFPA，CFAB，从而平 面 EFC平面 ABP，由此能证明 EC平面 PAB 连结 BF，过 F 作 FMPB 于 M，连结 PF，推导出四边形 BCDF 为矩形，从 而 BFAD，进而 AD平面 PBF，由 ADBC，得 BCPB，再求出 BCMF，由 此能求出 sin【解答】证明：取AD 的中点 F，连结 EF，CF，E 为 PD 的中点，EFPA，在四边形 ABCD 中，BCAD，AD=2DC=2C，BF 为中点，CFAB，平面 EFC平面 ABP，EC?平面 EFC，EC平面 PAB 解：连结BF，过 F 作 FMPB 于 M

28、，连结 PF，PA=PD，PFAD，推导出四边形 BCDF 为矩形，BFAD，AD平面 PBF，又 ADBC，BC平面 PBF，BCPB，设 DC=CB=1，那么 AD=PC=2，PB=，BF=PF=，1MF=，又 BC平面 PBF，BCMF，MF平面 PBC，即点 F 到平面 PBC 的距离为，E 为 PD 的中点，E 到平面 PBC 的距离为，在，由余弦定理得 CE=，设直线 CE 与平面 PBC 所成角为，那么sin=第 19 页共 25 页-【点评】此题考察线面平行的证明，考察线面角的正弦值的求法，考察空间中线 线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考察推理论证能力、运算求解能力、空间

29、想象能力，考察数形结合思想、化归与转化思想，是中档题 xx 20 15 分2021?浙江函数 fx=xe 1求 fx的导函数；2求 fx在区间，+上的取值范围【分析】1求出f x的导数，注意运用复合函数的求导法那么，即可得到所求；2求出 fx的导数，求得极值点，讨论当x1 时，当 1x时，当 x时，fx的单调性，判断fx0，计算f，f1，f，即可 得到所求取值范围 x【解答】解：1函数 fx=xex，xxe x 导数 f x=1?2e=1x+e x=1x 1ex；2由 fx的导数 f x=1x 1e x，可得 f x=0 时，x=1 或，当x1 时，f x0，fx递减；当 1x时，f x0，f

30、x递增；-当 x时，f x0，fx递减，第 20 页共25 页-且 x?x22x1?x120，那么fx0 由 f=e，f1=0，f=e，即有 fx的最大值为e，最小值为f1=0 那么fx在区间，+上的取值范围是0，e【点评】此题考察导数的运用：求单调区间和极值、最值，考察化简整理 的 运 算 能力，正确求导是解题的关键，属于中档 题 21 15 分 2021?浙江如图，抛物线 x2=y，点A，B，抛物线上的点 Px，y x，过点B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q 求直线 AP 斜率的取值范围；求|PA|?|PQ|的最大值 【分析】通过点 P 在抛物线上可设 Px，x2，利用斜率公式结合x 可

31、得结论；通过I知 Px，x2、x，设直线 AP 的斜率为k，联立直线 AP、BP 方程可知 Q 点坐标，进而可用 k 表示出、，计算可知|PA|?|PQ|=1+k31k，通过令fx=1+x31x，1x1，求导结合单调 性可得结论【解答】解：由题可知Px，x2，x，第 21 页共25 页-所以 kAP=x1，1，故直线 AP 斜率的取值范围是：1，1；由I知 Px，x2，x，所以=x，x2，设直线 AP 的斜率为k，那么AP：y=kx+k+，BP：y=x+，联立直线 AP、BQ 方程可知 Q，故=，又因为=1k，k2k，故|PA|?|PQ|=?=+=1+k3k1，所以|PA|?|PQ|=1+k

32、31k，令 fx=1+x31x，1x1，那么f x=1+x224x=21+x22x1，由于当1x时 f x0，当x1 时 f x0，故 fxmax=f=，即|PA|?|PQ|的最大值为【点评】此题考察圆锥曲线的最值问题，考察运算求解能力，考察函数思想，注 意解题方法的积累，属于中档题*，22 15 分 2021?浙江数列xn满足：x1=1，xn=xn+1+ln1+xn+1 nN 证明：当 nN*时，0 xn+1xn；2xn+1xn；xn 第 22 页共25 页-【分析】用数学归纳法即可证明，构造函数，利用导数判断函数的单调性，把数列问题转化为函数问题，即 可证明，由2xn+1xn得20，继续放

33、缩即可证明【解答】解：用数学归纳法证明：xn0，当 n=1 时，x1=10，成立，假设当 n=k 时成立，那么xk0，那么 n=k+1 时，假设xk+10，那么0 xk=xk+1+ln1+xk+10，矛盾，故 xn+10，因此 xn0，nN*xn=xn+1+ln1+xn+1xn+1，因此 0 xn+1xnnN*，由 xn=xn+1+ln1+xn+1 得xnxn+14xn+1+2xn=xn+1+xn+1+2 ln1+xn+1，+1 记函数 fx=x 22x+x+2ln1+x，x0 f x=+ln1+x0，fx在0，+上单调递增，fxf0=0，因此 xn+1+1+xn+1+2ln1+xn+10，2

34、2xn 故 2xn+1xn；xn=xn+1+ln1+xn+1xn+1+xn+1=2xn+1，xn，由2xn+1xn得20，n1=2n2，22 xn，综上所述xn-第 23 页共25 页-【点评】此题考察了数列的概念，递推关系，数列的函数的特征，导数和函数的 单调性的关系，不等式的证明，考察了推理论证能力，分析解决问题的能力，运 算能力，放缩能力，运算能力，属于难题 第 24 页共 25 页-参与本试卷答题和审题的教师有：qiss；whgcn；豫汝王世崇；铭灏 2021；zlzhan；沂蒙松；maths；742048；cst；双曲线排名不分先后 菁优网 2021 年 6 月 26 日 第 25 页共 25 页