(最新资料)四川省成都市新都区2020届高三诊断测试试题数学(理)【含解析】.pdf

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1、四川省成都市新都区2020 届高三诊断测试试题数学（理）一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分每小题有且只有一个正确选项）1.已知全集UR，集合202,0AxxBx xx，则图中的阴影部分表示的集合为()A.(1(2,)，B.(0)(12)，C.1)2，D.(1 2，【答案】A【解析】B=x|x2 x0=x|x1 或 x0，由题意可知阴影部分对应的集合为?U（AB）（AB），AB=x|1 x2，AB=R，即?U（AB）=x|x 1 或 x2，?U（AB）（AB）=x|x1 或 x2，即（，1U（2，+）故选：A 2.设121izii，则zz（）A.1iB.1 iC.1iD.

2、1i【答案】B【解析】【分析】对复数 z 进行运算得zi，从而求得|1zzi.【详解】因21(1)22221(1)(1)2iiiziiiiiii，所以|1z，所以|1zzi.故选：B.【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数和模的概念，考查基本运算求解能力.3.已知数列na为等差数列，nS为其前n项和，5632aaa，则72S（）A.2 B.7 C.14 D.28【答案】D【解析】【分析】根 据 等 差 数 列 通 项 公 式，将 等 式5632aaa化 成42a，再 由 等 差 数 列 的 前n项 和 公 式 得742S2 728a.【详解】因为5632aaa，所以111142452322a

3、dadadada，所以742S2 728a.故选：D.【点睛】本题考查等差数列通项公式、前n项和公式，考查基本运算求解能力.4.已知2sincos3，则 sin2（）A.79B.29C.29D.79【答案】A【解析】【分析】直接对等式两边平方，利用倍角公式得sin2的值.【详解】因为2sincos3，所以22227(sincos)()12sincos399sin 2.故选：A.【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系、倍角公式，考查基本运算求解能力.5.已知函数fx满足：对任意1x、20,x且12xx，都有1212()()0fxf xxx；对定义域内的任意x，都有()()0f xfx，则符合上述

4、条件的函数是（）A.21fxxxB.x1()2f xC.ln1fxxD.cosfxx【答案】B【解析】【分析】由题设条件判断增减性和奇偶性，再结合所给具体函数判断即可【详解】由题可知，fx为定义域在0,的减函数，且函数具有偶函数特征；对A，当0,x，21fxxx，fx的对称轴为12x，在0,为增函数，与题不符，排除；对B，x1()2f x，当0,x，1()2xf x，为减函数，又-xx11()22fxfx，故B符合；对C，ln1fxx，函数显然不具备偶函数特征，排除；对D，函数为周期函数，在0,x不是减函数，排除；故选：B【点睛】本题考查函数解析式的辨析，函数增减性与奇偶性的应用，属于基础题6

5、.已知定义在R上的函数()f x 满足(3)(3)fxfx，且函数fx在0,3上为单调递减函数，若3ln422,log 3,abce，则下面结论正确的是（）A.()()()f af bf cB.()()()f cf af bC.()()()f cf bf aD.()()()f af cf b【答案】C【解析】【分析】由题判断函数对称轴为3x，结合fx在0,3上为单调递减可知，判断函数值大小关系，即判断对应数值与 3 的绝对值的大小关系，可画出拟合图形加以求解【详解】由(3)(3)fxfx得3x，又fx在0,3上为单调递减，画出拟合图形，如图：3ln 4220,1,log 31,2,4abce，

6、在图上的对应关系如图所示：，显然()()()f cf bf a故选：C【点睛】本题考查根据函数的对称性比较函数值大小，解题关键在于确定对称轴和函数与对称轴的关系，属于基础题7.已知0,0ab，若不等式313nabab恒成立，则n的最大值为（）A.9 B.12 C.16 D.20【答案】C【解析】【分析】可左右同乘3ab，再结合基本不等式求解即可【详解】0,0ab，313133nabnababab，313333391 10216babaabababab，当且仅当1ab时，等号成立，故16n故选：C【点睛】本题考查基本不等式求最值，属于基础题8.函数3cosxyxe的图象可能是（）A.B.C.D.

7、【答案】B【解析】【分析】考查该函数的奇偶性，在0 x处的取值以及该函数在0,上的单调性可辨别出图象。【详解】令3cosxfxxe，定义域为R，3cos3cosxxfxxexefx，该函数为偶函数，且003cos020fe，排除 C选项，当0 x时，3cosxfxxe，则3sinxfxxe，当0 x时，3sin0 x，0 xe，则3sin0 xfxxe，当x时，3xe，则3sin30 xxfxxee，所以，函数3cosxyxe在0,上单调递减，符合条件的图象为B选项中的图象。故选：B.【点睛】本题考查利用函数解析式辨别函数的图象，一般从以下几个要素来进行分析：定义域；奇偶性；单调性；零点；函数

8、值符号。在考查函数的单调性时，可充分利用导数来处理，考查分析问题的能力，属于中等题。9.在由正数组成的等比数列na中，若3453a a a，则127333sin logloglogaaa的值为()A.12B.32C.12D.32【答案】D【解析】【分析】根据等比数列性质可求得343a；利用对数运算法则可求得12733314sin logloglogsin3aaa，利用诱导公式可变为sin3，从而得到结果.【详解】由3453a a a得：343a，即：343a7731274333714logloglog3233a aaa143sinsin332本题正确选项：D【点睛】本题考查等比数列性质的应用，

9、涉及到对数的运算性质、诱导公式、特殊角三角函数的求解问题.10.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1 是八卦模型图，其平面图形记为图2 中的正八边形ABCDEFGH，其中|1OA，则给出下列结论：22OA OD；2OBOHOE；|22AHFHAH在AB向量上的投影为22其中正确结论个数为（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】结合向量知识判断即可【详 解】对 ，因 八 卦 图 为 正 八 边 形，故 中 心 角 为45，31354AOD，32cos42OA ODOAOD，对；对，OB与OH的夹角为90，又因OBOH，根据平行四边形法则22OBOHOAOE，对；对，|AHFH

10、AHHFAF，34AOF，AOF中，由余弦定理可得22232cos224AFOAOFOAOF，22AF，错；对，由向量投影的公式可得AH在AB向量上的投影为3cos4AH，3=4OAB，故2cos2AHAH，显然AH不为 1，故22cos22AHAH，错；故正确；故选：C【点睛】本题考查向量的基础知识，向量线性运算的基本法则，余弦定理解三角形，属于中档题11.已知定义在R上的函数222,0,12,1,0 xxfxxx，且2fxfx,若方程20fxkx有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A.1,13B.11,34C.111,133D.111 1,344 3【答案】C【解析】【分析】由2

11、fxfx可得函数周期为2，结合函数在1,1上的解析式，利用周期作出fx的函数图象,根据yfx和2ykx图象交点个数判断k的范围.【详解】方程20fxkx有三个不相等的实数根，等价于yfx和2ykx图象有三个不同交点，因为2fxfx,所以fx的周期为2，由函数222,0,12,1,0 xxfxxx，利用周期性作出fx的函数图象，如图所示:不妨设0,k当直线2ykx过3,1,1,1时，k的值分别为13与 1，由图可知，113k时直线2ykx与fx的图象有三个交点，113k时,方程20fxkx有三个不相等的实数根,同理,若k0,可得113k时，方程20fxkx有三个不相等的实数根,所以实数k的取值范

12、围是111,133，故选 C.【点睛】本题主要考查函数的周期与函数图象的应用，考查了函数零点与方程根的关系，同时考查了转化思想与数形结合思想的应用，属于难题.函数零点的几种等价形式：函数()()yf xg x的零点函数()()yf xg x在x轴的交点方程()()0f xg x的根函数()yf x与()yg x的交点.12.已知定义在R上的偶函数fx在0,)上递减，若不等式2(ln1)(ln1)faxxf axx31f对1,3x恒成立，则实数a的取值范围是（）A.2,eB.1,)eC.1,eeD.1 2ln 3,3e【答案】D【解析】【详解】定义在R上的偶函数()f x 在 0，)上递减，()

13、f x在(,0)上单调递增，若不等式2(1)(1)3()faxlnxf axlnxf l对1x，3 恒成立，即(1)f axlnxf（1）对1x，3 恒成立11 1axlnx对1x，3 恒成立，即02axlnx对1x，3 恒成立，即lnxax且2lnxax对1x，3 恒成立令()lnxg xx，则21()lnxg xx，在1，)e上递增，(e，3 上递减，1()maxg xe令2()lnxh xx，21()0lnxh xx，在1，3 上递减，23()3minlnh x综上所述，1ae，233ln故选：D二、填空题（本大题共4 小题，每小题5分，共 20 分）13.已知函数()lnf xx与直线

14、yax相切，则a的取值是 _【答案】1e【解析】【分析】可设出切点坐标，根据导数的几何意义，结合曲线与直线方程求解即可【详解】设切点为00,lnxx，1()fxx，则001()fxax，将00,lnxx和01ax代入yax得0 xe，则011axe故答案为：1e【点睛】本题考查根据导数的几何意义求解参数，属于基础题14.九章算术中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”如果一墙厚 10

15、尺，请问两只老鼠最少在第_天相遇【答案】4【解析】【分析】设大老鼠每天打洞的长度构成等比数列na，则111,2aq，小老鼠每天打洞的长度构成等比数列nb，则111,2bq，再分别求和构造不等式求出n的值.【详解】设大老鼠每天打洞的长度构成等比数列na，则11,2aq，所以122112nnnS.设小老鼠每天打洞的长度构成等比数列nb，则111,2bq，所以11()122()11212nnnT.所以1(21)2()1102nnnnST，即122130nn，解得：4n且nN，所以两只老鼠最少在第4 天相遇.故答案为：4.【点睛】本题以数学文化为背景，建立等比数列模型进行问题解决，考查学生的数学建模能

16、力、运算求解能力，考查不等式的求解，注意利用n为整数的特点，直接求得不等式的解.15.已知函数2sin0fxx满足24f，0f，且fx在区间,43上单调，则的值有 _个.【答案】9【解析】【分析】由24f，0f，结合正弦函数图像的特征可知3424TkT（kN），由正弦函数最小正周期公式可得2 123k，因为fx在区间,43上单调可得范围，从而求出k的整数解的个数，得到值的个数。【详解】由题意知函数fx的周期T，由24f，0f，结合正弦函数图像的特征可知3424TkT，kN，故312Tk，2 123k，kN；又因为fx在区间,43上单调，所以342T，故6T，所以212T，即2 12123k，1

17、72k，kN，0,1,2,8k符合条件的的值有 9 个.【点睛】本题考查正弦函数图像的特点，最小正周期的公式，熟练掌握正弦函数图像是解题关键，属于中档题。16.已知函数223fxxxa，21g xx若对任意10,3x，总存在22,3x，使得12fxg x成立，则实数a的值为 _【答案】13【解析】【分析】将问题转化为maxmaxfxg x，根据二次函数和分式的单调性可求得fx在0,3上的最小值和最大值及g x在2,3上的最大值；分别讨论fx最大值小于零、最小值小于零且最大值大于零、最小值大于零三种情况，得到fx每种情况下的最大值，从而得到不等式，解不等式求得结果.【详解】不等式12fxg x恒

18、成立可转化为：maxmaxfxg x当0,3x时，min113fxfa，max333fxfa当2,3x时，max22g xg若330a，即1a时，max1 313fxaa1 32a，解得：13a（舍）若13033aa，即113a时，maxmax1,3fxff又11 3fa，333fa当1333aa，即113a时，max1 3fxa1 32a，解得：13a（舍）当1333aa，即1133a时，max33fxa332a，解得：13a13a若130a，即13a时，max3333fxaa332a，解得：13a（舍）综上所述：13a本题正确结果：13【点睛】本题考查恒成立和能成立综合应用的问题，关键是能

19、够将不等式转化为两个函数最值之间的大小关系，从而根据函数的单调性求得函数的最值，通过最值的比较构造不等式求得结果.三、解答题（本大题共6 个小题，共70 分）17.已知数列na中，12nnaa且1239aaa（1）求na的通项公式；（2）求2nna的前n项和nS【答案】(1)21nan(2)2122nnSn【解析】【分析】（1）由题设基本信息结合通项公式即可求解；（2）2212nnnan，分别求解等差数列与等比数列的前n项和即可【详解】解：（1）12nnaa，等差数列na的公差为2，123111122 2369aaaaaaa，解得11a，因此，12121nann；（2）2212nnnan，12

20、3123232(21)2nnSn123135(21)2222nn，212 12(121)22212nnnnn，因此，2122nnSn【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，数列分项求和，属于基础题18.如图 1,在直角梯形ABCD中,90ADC，/CDAB,2,1ABADCD，将ADC沿AC折起，使平面ADC平面ABC,得到几何体DABC,如图 2 所示（1）求证:BC 平面ACD；（2）求二面角D-AB-C的正弦值【答案】(1)证明见解析；(2)63【解析】【分析】（1）可结合线面垂直的判定定理和线面垂直的性质来进行证明，取AC中点O，连接DO，通过线面垂直的性质可得ODBC，再结合图形几何

21、性质即可得证；（2）可在（1）的基础之上作OFAB于F，DFO为二面角DABC的平面角，通过几何关系求解即可【详解】（1）证明：在图1中，由题意知，2AB，2ACBC，222ACBCAB，ACBC取AC中点O，连接DO，则DOAC，又平面ADC平面ABC，且平面ADC平面ABCAC，DO平面ACD，从而OD平面ABC，ODBC又ACBC，ACODO，BC平面ACD（2）过D作DOAC于O，再过O作OFAB于F，连接DF，易知DFO为二面角DABC的平面角易知213,222DOOFDF,sin36DODFODF,即为所求二面角的正弦值【点睛】本题考查线面垂直的证法，二面角的求法，属于中档题19.

22、已知函数2()cos 2cos2()3fxxxxR(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)ABC内角,A B C的对边分别为,a b c，若3()22Bf，1b，3c，且 ab，试求角B和角C.【答案】（1）5,()1212kkkZ（2）,63BC【解析】【分析】（1）将()f x 解析式第一项利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的递增区间列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到()f x 的递增区间；（2）由（1）确定的()f x 解析式，及322Bf求出sin3B的值，由B为三角形的内角，利用特殊

23、角的三角函数值求出B的度数，再由b与c的值，利用正弦定理求出sinC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，由a大于b得到A大于B，检验后即可得到满足题意的B和C的度数.【详解】（1）233()cos 2cos2sin2cos23sin 23223f xxxxxx，令222,232kxkkZ，解得5,1212kx kkZ故函数()f x 的递增区间为5,()1212kkkZ.（2）313sin,sin23232BfBB，20,333366BBBB即，由正弦定理得：13sinsinsin6aAC，3sin2C，0C，3C或23.当3c时，2A：当23C时，6A（不合题意，舍

24、）所以,63BC.【点睛】本题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，正弦定理，正弦函数的单调性，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键.20.中华人民共和国道路交通安全法第47 条相关规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，中华人民共和国道路交通安全法第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3 分，罚款50 元的处罚（1）交警从这5 个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了50 人，调查驾驶员不“礼让斑马线”行为与驾龄的关系，得到如下列联表：能否据此判断有97.5%的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关？不礼让斑马线礼让

25、斑马线合计驾龄不超过1 年22 8 30 驾龄 1 年以上8 12 20 合计30 20 50（2）下图是某市一主干路口监控设备所抓拍的5 个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为的折线图：请结合图形和所给数据求违章驾驶员人数y与月份x之间的回归直线方程?ybxa，并预测该路口7 月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数附注：参考数据：51500iiy=，511415iiix y参考公式：121()()niiiniixxyybxx，ayb x，22n adbckabcdacbd（其中nabcd）2P Kk0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.072 2.

26、706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【答案】（1）能判断有97.5%的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关（2）y与x之间的回归直线方程8.5125.5yx；预测该路口7 月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员有66 人【解析】【分析】（1）将数据直接代入公式计算2K，并与5.024进行比较，再下结论；（2）根据参考数据和参考公式，先求,x y的平均数，再对公式121()()niiiniixxyybxx进行变形得51522155iiiiiybxx yxx，再将数据代入求得b的值，从而得到回归方程.【详解】解：（1）由列联表中数据，计算2250(22 128 8)505

27、.5565.024302030209K，由此能判断有97.5%的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关（2）利用所给数据，计算1(12345)35x，511500105iiyy；51521515221()()55iiiiiiiiiiyxxyxxybx yxxx21415531008.55553?100(8.5)3125.5aybx；y与x之间的回归直线方程?8.5125.5yx；当7x时，?8.57125.566y，即预测该路口7 月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员有66 人【点睛】本题考查22列联表、2K计算、最小二乘法求回归直线，考查阅读理解和数据处理能力、基本运算求解能力.21.已知椭圆22

28、122:10 xyCabab的左、右焦点为1F、2F，122 2F F，若圆 Q方程22211xy，且圆心Q满足122QFQFa（）求椭圆1C的方程；（）过点0,1P的直线1:1lykx交椭圆1C于 A、B两点，过 P与1l垂直的直线2l交圆 Q于 C、D两点，M为线段 CD中点，若MAB的面积为6 25，求k的值【答案】（）22142xy（）2k【解析】【分析】()由题意求得22,ab的值即可确定椭圆方程；()联立直线方程与椭圆方程，结合三角形的面积得到关于k的方程，解方程即可确定k的值.【详解】（）由题意可知：12,0F，22,0F，2,1Q12242aQFQFa，2c，2222bac，椭

29、圆1C的方程为22142xy（）设11,A x y，22,B xy，由22124ykxxy消去y，得2212420kxkx，222168 213280kkk，122412kkxx，122212kx x，2221223281112kABkxxkkM为线段CD中点，MQCD，又12ll，/MQAB，MABQABSS，又点Q到1l的距离221kdk，22224116 22125MABkkSAB dk4222228471802289022kkkkkk此时22:12lyx，圆心Q到2l的距离22112213112h，成立综上：2k【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一

30、个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题22.已知函数()ln1()fxaxxaR.（）求()f x 的单调区间；（）若0a，令32()(1)2xg xf txx，若1x，2x是()g x的两个极值点，且120g xg x，求正实数t的取值范围.【答案】（）见解析；（）t10,2.【解析】【分析】（I）求出导函数()fx，按a的正负分类，讨论()fx的符号得单调区间；（II）求出()gx，当1t时，()0gx，()g x单调递减，无极值点，当01t时，可由求根公式求出()0gx的两根121

31、2,()x xxx，可确定为极小值点，为极大值点.同时确定出t的范围是11(0,)(,1)22，计算12()()g xg x222ln(21)21tt，令21(1,0)(0,1)ut，2122()()()2lng xg xh uuu，仍然用导数来研究()h u的单调性，得出()0h u时u的范围，也即能得出t的范围.【详解】（）由()ln1f xaxx，(0,)x，则11()axfxaxx，当0a时，则()0fx，故()f x 在(0,)上单调递减；当0a时，令1()0fxxa，所以()f x 在10,a上单调递减，在1,a上单调递增.综上所述：当0a时，()f x 在(0,)上单调递减；当0

32、a时，()f x 在10,a上单调递减，在1,a上单调递增.（）322()(1)ln(1)22xxg xf txtxxx，故22244(1)()(2)1(2)(1)ttxtgxxtxxtx，当1t时，()0gx恒成立，故()g x在(0,)上单调递减，不满足()g x有两个极值点，故01t.令()0gx，得121122ttxxtt，又()g x有两个极值点；故()0gx有两个根.故112ttt且112202ttt或112t；且1x为极小值点，2x为极大值点.故1212121222ln1ln122xxg xg xtxtxxx121221212121244ln124x xxxt x xt xxx

33、xxx224(1)2ln(21)2ln(21)2121ttttt令21ut，由102t或112t得(1,0)(0,1)u令22()2lnh uuu，(1,0)(0,1)u(1,0)(0,1)u当(1,0)u时，22222()2ln()0h uuh uuuu，则()h u在(1,0)上单调递增，故()(1)40h uh，则102t时120g xg x成立；当(0,1)u时，2222()22ln()0h uuh uuuu，则()h u在(0,1)上单调递增，故()(1)0h uh，则112t时120g xg x；综上所述：10,2t.【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性与极值，掌握用导数研究函数的方法是解题基础本题难度较大，在确定函数有极值时，需要用到导数与极值的关系；在由12()()0g xg x成立求t的范围时，仍然通过导数研究函数的单调性，从而确定参数的范围