2023届四川省成都市新都区高三毕业班摸底测试数学（理）试题（解析版）.pdf-得力文库

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2、等比数列，则。的值为()A.5 B.-5 C.5 D.-13【答案】B【分析】根据等比数列的性质求得 6 的值.【详解】设等比数列的公比为 9,所以 b=(T d(),根据等比数列的性质可知廿=(-1)x(-2 5)=2 5,解得 6=-5.故选：B4.已知奇函数/(X),当 x 0时，/(x)=2+机(朋为常数)，则/(-2)=()A.1 B.2 C.-3 D.-5【答案】C【分析】利用 0)=0 求得 2,然后结合函数的奇偶性求得了(-2).【详解】依题意“

3、可是奇函数，由于 x 之。时,f(x)=2 r+m,所以/(0)=2+m=i+m=0,/n=-1,所以 xWO时，/(x)=2-l,所以=(2、1)=一 3.故选：C5.已知 A8=a+5/7,BC=-2 a+8b,CD=3(a-b),则()A.A,B,C三点共线 B.A,C,。三点共线 C.A B,。三点共线 D.B,C,。三点共线【答案】C【分析】根据向量共线定理，考查选项中两个向量之间是否有倍数关系即可判断.【详解】对于 A:不存在实数 2,使得 AB=2 B C，故 A

4、 B,C 三点不共线；对于 B:AC=AB+BC=-a+3h,C=3(a-加，不存在实数 4,使得 AC=/IC，故 A,C,D 三点不共线；对于 C:8O=8C+CQ=-2 a+昉+3(a-6)=a+5 b，故 AB=BD 所以 A B,。三点共线；对于 D:不存在实数 2，使得 8 c=2 8,故氏 C,。三点不共线；故选：CI _6.已知。=e 3,6=ln0.8,c=log J,则()eA.a b c B.c b aC.a c b D.b a c【答案】D【分析】利用“0 1分段法”确定正确答案.1【详

5、解】“=e 3=0,1),Z?=lnO.8logee=l,所以 6a0,b0,且 a+6=l,则错误的是()A.a2+b2-B.2ah-2 2C.log2z+log2Z?-2 D.Ja+/b 一 1可判断 B,由 Iog2+log2力=log2 ab和（6+扬=1+2 7 结合基本不等式可判断 CD【详解】对于 A,+加=2+0 _）2=2/_2+1当且仅当 a=b=；时，等号成立，故 A 正确；对于 B,a-b=2 a-,所以 2-21=,，故 B 正确；2对于 C,log,a+log2 b=log,ah log,=log2=-2,

6、当且仅当=b=g 时，等号成立，故 C 不正确；对于 D,因为（G+扬）=1+2ah l+a+h=2,所以石+后 4 0,当且仅当”=6=g 时，等号成立，故 D 正确.故选：C.T T 2 仃,则函数/（x）=3sinxcosx+万 sii?x 的值域为（）A 罔 4 C.0,我 D.0,3+向【答案】A【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简原式为/（x）=&sin（2 r-&）+且，结合正弦函数的图像和性质，求解即可.【详解】由题意，y(x)=3sinxcosx+V3si

7、n 2x=|sin2x+4(1-cos2x)=/3 x(sin2x-cos2x)+2 2 2=6 x(cossin2x-sin cos2x)+6 6 2=V3sin(2x)+6 2,冗 2 兀、冗 7 1 71 7 1 17 71 乃当 xe 7，-T 时，有 2x-w V T4 J o J o 6 3 6当即 J 时，ax可（?）=6+乎=；当 2r-?=?，即户斗时，/U）min=r（）=0.0 0 J 3即函数/（X）的值域为卜,故选：A9.在.ABC中，BC=8,一 AfiC的面积为 24,则 Afi.A C 的取值范围是（）A.20,36 B.

8、32,+oo）C.36,+oo）D.20,-H）【答案】D【分析】建立平面直角坐标系，判断 A 点的轨迹，利用坐标法表示 4 b A C，进而求得正确答案.【详解】设 8 c 的中点为。，以。为原点，直线 B C 为 x轴，线段 B C 的垂直平分线为了轴，建立如图所示平面直角坐标系，则以-4,0卜。（4。），设三角形 A 8 C 的 B C 边上的高为，由于三角形 A 8 C 的面积;x 8 x 6=24,所以=6 为定值，不妨设 A 在直线

9、 y=6上，设 A（x,6）,所以 AB.AC=（T x,6）,（4x,6）=x2+20 2 20,即 AB A C 的取值范围是 20,+8）,故选：D1 0.已知数列叫的通项公式为%=盖 sin等,S,为数列%的前项和，则 52022的值为（）A.0 B.1011 C.-3 3 7 G D.-6 7 4 6【答案】C【分析】根据正弦型函数周期公式可得了=$指干的周期为 3,计算可得%人.2+%1+。锹=/空乂正，又 2 0 2 2=3 x 6 7 4,利用等差数列求和公式，即

10、得解.2022 2【详解】由题意，T=2 s=3,故了二红!咛 I n n的周期为 3,亍 3,a3k-2+生女-1+a 3k(3 左一 2)22022三吐也+空/立吐工也 3 2022 3 20222x3k 冗 3=2022 2022 2 2022 2由于 2022=3x674,(一 3)+(-9)+.+(-6(-3)+(-6x674+3)工 2故选：C1 1.函数 f（x）=cos2x+s in x,x e（0,万）的极小值点为方,则 cos%的值为（）A.0 B.-C.-D.-巫 2 2 4【答案】A【分析】求导，令（。）=

11、0,画出导函数图像，列表分析单调性，即得解.详解】由题意，/r（x）=-2sin2x:+cosx=-4sirucosx+cosx=cosxx（-4sinr+1）,/(x)=0的根为占，/(x)的图像如下图所示,X（0凸）*（占,5）715,71、(万，工 2)(七,万)fM+0-0+0-/（x）单增极大单减极小单增极大单减 7F TT故当尸 5 时，函数/(X)取得极小值，即/=5，故 cos%=。.故选：A1 2.已知函数 f(x)=s i n+|(0O)在区间 0,兀上有且仅

12、有 4 条对称轴，则下列四个结论正确的是()A./(x)在区间(0,兀)上有且仅有 3 个不同的零点 B./(x)的最小正周期可能是:4 13 17、c.。的取值范围是 4 4)D./(x)在区间(0,马上单调递增【答案】C【分析】根据已知，利用整体代换技巧以及三角函数的性质进行求解判断.【详解】因为函数/W=sin(3 C+0)在区间 0,兀上有且仅有 4 条对称轴，人兀兀,r rt/(1+4Z)兀,令 a)x+=+ki

13、t,kwZ,则 x=-,k G Z,4 2 4G所以 040 竺注 4 兀有 4 个整数“符合，4a),(1+4%)兀/口 n(1+4攵)八 1 彳由-兀得，0-1,0l+4)t4,4 46y13 17则 k=0,1,2,3,所以 1+4X 3 V 4 G1+4X4,所以工二，故 C 正确；4 4，一,小、兀，兀兀、一、，13 17 兀(7兀 9兀、对于 A,当工(0,兀)，公力+二二,0兀+:，因为-7Vtyc二-,所以切兀+:二，二 7，4 14 4)4 4 4 2 2)TT 兀 77r i当 s+了,丁时，/在区间（0,兀）上有且仅

14、有 3 个不同的零点，4|_4 2 JJr 71 97r、当 0X+六/（X）在区间（0,兀）上有且仅有 4 个不同的零点，故 A 错误；4 14 2 J对于 B,周期 7=,因为则不一所以曾 74萼，co 4 4 17 co 13 17 13 因为、，兀乱（8兀行 8行兀 a故,B 错陕、门；4 十 r w（八花、n（n con E d 13/17对于 D,当汽。旬，cox+-,+-y 因为彳 4”7,所以震+；警，等 1，因为誉 g 所以/（X）在区间 I。，2 上不一定单调递增，16 4

15、 L 64 64 J 64 2 I 故 D 错误.故选：C.二、填空题 13.计算：l.l+en3-0.5-2+lg25+2 1 g 2=.【答案】2【分析】结合指数、对数运算求得正确答案.【详解】1.1+6心-0.5-2+325+2怛 2=1+3-11）+Ig25+lg4=4-4+lg（25x4）=lgl02=2.故答案为：214.已知数列 4 的前项和 S“，且,+5,=1,则 S,的值为.【答案】7764【分析】根据 4=c、。判断出数列 4“是等比数列，进而求得力.七一，_,士 2【详解】依

16、题意,4+s=i,当 27=1 时，q+S1=2%=l,q=；,当 2 2 时，。+S=1,an_x+Sn_y=1,两式相减并化简得 2%=0,=-（n 2）,所以数列 q 是首项为 4=；，公比为;的等比数列，所以$6=2(6.1 641-2故答案为：或 647 T1 5.如图，在 AfiC 中，Z A B C-,点 D 在线段 A C上，且 AD=2O C,8O=4,p llj AABC面积的最大值为.【答案】6 G【分析】根据 S.c=a c,求出加的最大值即可【详解】解：在曲中，设 A8=c

17、,BC=a,A C=b,整理得：b2=a2+。2-a c.又 cosA=c2+AD2-1 6 _ c2+b2-a22c AD-2cb3整理得：/=3/+：/-7 2,.a2+c2-ac=3a2+c2-7 2,2即 2a2+c2+ac=72 f2a2+c2 2 x小 2 2 x；c?=2QC,3ac 72,:24,-.sABC1.兀 6=acsin-=ac2 3 4 6,当且仅当。=2 a时取等号.所以 ABC面积的最大值为 6 G.故答案为：65/3.【点睛】关键点点睛：根据面积公式结构选择用基本不等值求最大

18、值，要注意不等式取等的条件，同时计算量也较大.In v16.已知函数/(x)=屈幻=,归,若存在为(0,+0 时，X,+X,1 当&0 时，2%+e-2 e 当“0时，*+1 当左 0 时，土的最小值为一 1x e【答案】【分析】根据尸(x)可求得/(x)在(。上单调递增，在(e,+2 上单调递减，则可画出/(x)的图像；利用同构可知/(%)=g(W)=无等价于 3=畔=%,结合图像则可判断；当幺 0),X令/(x)0得 04e,/(x)在(0,e)上递增，且

19、值域(-“)：e令/(x)e,/(x)在(a+纥)上递减，且值域(0,3；e作图如下：当 Q 0 时，由/(1)=0知：若办 e(0,+8),使得了(占)=k，则为 1,当无 0时,若办 e(0,+8),使得。西)=3 则 050得 xl,g(x)在(-%1)上递增，且值域(-a?)；e令 g(x)1,g(x)在(1,+8)上递减，且值域(0-)；作出 g。)图象如下:当&0时，由 g(0)=0知：若五 2 W R 使得 g(X2)=&,则 0,当&0时，若 3占 w R 使得 g*2)=&,则 0 时，%+芍 1.故正确.当

20、Q 0 时，由/&)=8仁)=%得：加书，即西二嗒，X X e-可看成?人的两零点，作出、=皿的图象如下：X斗 f(Mx1/W=-；-O-/1 e由图象易知：*或 e*均可趋向于+,故错误；当左 0时，由的讨论知：&，0 x,l,；为+%1.故正确；当人 0时，此时 xy(0,l),由知：X|=e*,/.x2-nxt,则 X=x X1要求迤的最小值即求 H 的最小值即可，百令 fi(k尸 ke火(k0),贝!J h(k)=eA+H=(1+k)ek,令 e+H=0,解得=-1,易知女=-1为

21、极小值点，故取)的最小值为版-1)=.故 e 正确.故答案为：.【点睛】关键点点睛：同构找到 N=e*,通过/(x)与 g(x)的图象及性质判断求解，在处理时，要注意消元思想的运用.三、解答题17.已知数列 4,他,满足且数列 2 的前项和为 g.(1)求数列 q 的通项公式；(2)已知 c”=-,记数列%的前项和为 S“，求证:S.%+i”+2 33【答案】4=竽(2)证明见解析【分析】(1)根据数列也与其前项和的关

22、系，即可求得也的通项公式，从而求得数列 4 的通项公式.(2)根据裂项相消法求得 S“，即可得证.【详解】记数列也的前项和为 2,则 Q,g当“2 2 时.d=Q,_Q“T=g _ y=g,当=1时，4=?，则也=n 二,3 2a,-5 33+5 由题意得，g1 4%+4+2(3+8)(3+11)纣 _13+8 3n+llJ1 1H-3+8 3/?+11招小卜盘 18.如图，在四棱锥 P-4 3 c o 中，已知四边形 ABC。是梯形,AB C D A D 1 ABAB=BC=2CD=

23、2,出?(7是正三角形.(1)求证：BC1PA-,(2)当四棱锥尸-A3C 体积最大时，二面角 8-P 4-C 的大小为。，求 cos。的值.【答案】(1)证明见解析；【分析】(1)取 B C的中点。，连接 A。，可证明 A 0 L 3 C,PO _L 8C由线面垂直的判定定理可证明 BC 平面 P A O,即得证；(2)分析可知当平面平面 A8C。时，四棱锥尸体积最大，建立空间直角坐标系，由二面角的向量公式，计算即可.【详解】证明：

24、如图，取 4 8 的中点 E,连接 CE,AC.V AB=2CD,AB/CD,.CD与 A E平行且相等，二四边形 AEC。是平行四边形，又.四边形 AECO是矩形，：.CE1AB.：.AC=BC=AB,；.AAfiC是等边三角形.取 8 c 的中点 0,连接 A 0,则 A O L 8 C.连接 P 0,V PB=PC,：.POYBC,V POrAO=O,PO,A O u 平面以 0,二 BC_L 平面 BAO,.,匕 l u 平面出。，/.BC PA；(2)由(1)知，AABC是等边三角形，.CE=百，.梯形

25、A B C D 的面积 S=亚为定值，2故当平面 PBC_L平面 ABC。时，四棱锥 P-A 3 C D体积最大.,/P O 1 B C,平面 PBC 平面 ABCD=BC,P O u 平面 PBC：.P 0 1 平面 ABCD,OA,OB u 平面 ABCD,：.PO OA,PO O B.V OP,OA,O B 两两互相垂直，.以 O 为坐标原点，OA,OB,O P 分别为 x 轴、y 轴和 z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(K,0,0),8(0,l,0),C(0,-l,0),P

26、(0,0,宕).，PA=(6,0,-我，尸 8=(),1,-我，CP=(O,-1,-我，/、PA-n=/3x,-V3z.=0设平面附 8 的法向量为=a，y,Z1),贝 L,取 X|=Z|=1,贝 I PB n=yl-/3z1=0n=(1,5/3,1).CP-m=-y-73z=0同理设平面 RIC的法向量为加=(x,y,z),贝 r 厂，取 x=z=l,则 PA-m=yj3x-A/3Z=0m=(l,-/34).m,n 1设平面与平面以。的夹角为。，则网”1 5即为所求二面角 B-P A-C 的余弦值.19.2022年 7 月

27、 6 日 14日，素有“数学界奥运会”之称的第 29届国际数学家大会，受疫情影响，在线上进行，世界各地的数学家们相聚云端、共襄盛举.某学校数学爱好者协会随机调查了学校 100名学生，得到如下调查结果：男生占调查人数的 5 5%,喜欢数学的有 40人，其余的人不喜欢数学；在调查的女生中，喜欢数学的有 20人，其余的不喜欢数学.(1)请完成下面 2x2列联表，并根据 2x2列联

28、表判断是否有 99.5%的把握认为该校学生喜欢数学与学生的性别有关？喜欢数学不喜欢数学合计力生女生合计(2)采用分层抽样的方法，从不喜欢数学的学生中抽取 8 人，再从这 8 人中随机抽取 3人，记 X 为 3 人中不喜欢数学的男生人数，求 X 的分布列和数学期望.参考公式：K=-be)-其中=a+b+c+d.(a+b)(c+d)(a+c)3+d)临界值表:P(KL&)0.10 0.05 0.01 0.005 0

29、.001k。2.706 3.841 6.635 7.879 10.828【答案】（1）列联表答案见解析，有 99.5%的把握认为该校学生喜欢数学与学生的性别有关（2）分布列见解析，数学期望：|O【分析】（1）根据题意，补全列表，求出 y 的值即可得答案；（2）根据分层抽样得抽取的男生有 3 人，女生有 5 人，再求出当 X=0,1,2,3 的概率，列出 X 的分布列，即可求得 X 的期望.【详解】（1）解：调查的男生人数为

30、100 x55%=55（人），调查的女生人数为 100-55=45（人），补全 2x2列联表如下：喜欢数学不喜欢数学合计男生 40 15 55女生 20 25 45合计 60 40 100我 2 100 x(40 x25-15x20)260 x 40 x 55 x 45 8.249 7.879,所以有 99.5%的把握认为该校学生喜欢数学与学生的性别有关.Q（2）在抽取的 8 人中，不喜欢数学的男生人数 1 5 x 2=3人，不喜欢数学的女生人数 40Q2

31、5x，=5 人，40由题意可知，X 的可能取值为 0J,2,3,P(X=。)爷，P(X=l)=等啜尸(x=2)=等卷 Cg Zo C8 Zo C8 DO尸（X=3）$，则 X 的分布列为:X 0 1 2 3P52815281556156故 E（X）=O3+lx+2 4+3/28 28 56 5698【点睛】.元 2 v220.已知椭圆:=+二=1（。0）的左，右焦点分别为耳匕且耳，心与短轴的两个 a b端点恰好为正方形的四个顶点,（1）求 E 的方程；（2）过点工作互相垂直的两

32、条直线分别交 E 于点 A，B 和 C，D,求四边形 A C 8 O 面积的取值范围.【答案】（1）5+丁=1-16 1 V 2【分析】（1）根据已知条件列方程，化简求得/,，从而求得 E 的方程.（2）对直线 A B 的斜率进行分类讨论，结合弦长公式求得四边形 ACBD面积的表达式,利用换元法以及二次函数的性质求得四边形 A C 5 O 面积的取值范围.【详解】（1）设忻名|=2 c,因为两个焦点和短轴的

33、两个端点为正方形的四个顶点，所以 b=c，.因为点 P 坐，堂在 E 上，所以=+士=1，又/=廿+,2，（2 2）4a 4b由解得/=2,b2=1,所以 E 的方程为三十丁=.21 2b2（2）若 A 3 垂直于坐标轴，则 SACBD=-x2ax=2.2 a若 A 3 不垂直于坐标轴，由（1）知工（1,0）,则设 A 3 的方程为丫=攵*-1）,ZwO,代入 E 的方程并整理得：（l+2）x2-4k2x+2（r-l）=0,设人（与,）,3（,%），=16、-4（1+242）x 2（-1）=

34、16公一 16+8左 2+8=8/+8X）,Xj+x24k2 2（r-1）+2 k，X*=1+2产贝 ljAB=yj+k2 x J（x 1+x j-4%51+2 公 1+2&-同理可求|C 0=2f,；i)则,c Q=g|A B|C D|=4（公+1）2（公+2）（2於+1）令=公+1（1,+30）4/4令)=%,=奇不=-j i+in n令”，(),1),则)，=-+2,开口向下，对称轴 r=!，n 2-O2+0+2=2,-+2=:，所以丫=_/+/+2(2,./Q 1 4 1 1 4 fl6 Q即-4+-+2 e V,1 1/9,2 y 1 1/9,-n n y

35、4 J H F 2 L 豆 H 1-2 L犷几 n综上所述，四边形 ACBO的面积的取值范围是 9,2.【点睛】在圆锥曲线中求三角形或四边形的面积的最值，当求得面积的表达式后，可考虑利用基本不等式、二次函数或者导数等知识来求最值.2 1.已知函数 r)=e-a x.若/1(幻=/(-苫+3在(-,+)上单调递增，求的取值范围；(2)当。=-1时，判断曲线 y叶(x)与曲线 y=-4 1 n(2-x)交点的个数，并说明

36、理由.【答案 S T(2)2个，理由见解析【分析】(1)由(x)2 0分离常数“，根据指数函数的知识求得“的取值范围.(2)构造函数 g(x)=e，+x+41n(2-x)(x 2),利用多次求导的方法判断出 g(x)的单调性、最值，结合零点存在性定理求得正确答案.【详解】(1)因为(x)=e、-以-x+3,JLU/z,(x)=er-l(x e R),又因为(x)在 R上单调递增,所以“(X)0恒成立,所以 a 4 e*-1在 R上恒成立，所以。4一 1

37、 gpae(-oo,-l.(2)因为 a=-l,所以 x)=e*+x,设 g(x)=e*+x+41n(2-x),则其定义域为(yo,2),g，(x)=e*+l-=ex-=eA 1-/2-x 2-x2+x(2-x)e，且 g(o)=o.,、.2+x,-、设机=1 一百万(x 2),则 m(x)=0,当且仅当 x=0 时 mx)=0,(2 x)e所以加(x)在(ro,2)上单调递减，所以当 x m(O)=()；当 0 c x 2时，m(x)m(0)=0,即当 x 0；当 0 x 2时，g(x)=e*m(x)0,e?+2取为 2-e 4,2 则 41n(

38、2-x()41ne2+2=41ne 4=-e2-2,所以 g(x()=e*+x()+41n(2-X o)e2+2-e2-2=。，BPg(xo)O；g(-14)=”-14+411116,考虑到 16e1 则 l n l 6 3,即 41nl612,又 e 4 l,所以 g(-14)(),所以 g(x)在(-14,0)和(O,x0)上各有一个零点，即 g(x)有两个零点,故曲线(可与曲线 y=T l n(2-力有两个交点.【点睛】利用导数研究函数的单调性，当一次求导无法求解时，可考虑多次求导来

39、进行求解，求解过程中要注意导函数和对应原函数的关系.x=l+2cos6r22.在平面直角坐标系中，曲线 G 的参数方程为。.（。为参数）.以 Oy=2sma为极点，X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C?的极坐标方程为 0 c o s+=（I）求 G 的普通方程和 C2的直角坐标方程；（2）若 a 与 C?交于相异两点 A,8,且 I 4 8 1=2百，求的值.答案。-1尸+/=4,x-y-y/2m=0c、2+y/2 需 2+（2）

40、2=-或 7=-2 2【分析】（1）平方消参得到 G 的普通方程，利用直角坐标和极坐标互化公式求出 G 的直角坐标方程;（2）由（1）中求出的直角坐标方程，结合垂径定理求解【详解】在 a 的参数方程中消去参数 a,得 G 的普通方程为（x-l）2+y2=4；由 pcos6,+j=机得;ipcos-jpsin 0=m,X/?cos6=x,psin=y,所以 G 的直角坐标方程为 x-y-应机=0.（2）由（1）知曲线 G 是以（1,0）为圆心，

41、2 为半径的圆，曲线 G 为直线,则圆心（1,0）到曲线 G 的距离 a=口一纣，V2因为|48|=2豆，所以+f=2：I J I 2 J解得：W=2+V 2或机=史.2 22 3.已知。0,0,c0,证明：(1)5+8。/注 8；a2h2+h2c2+c2a2.(2)-abc.a+b+c【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）利用均值不等式可证该不等式.(2)利用均值不等式可证%反(a+8+c),从而可证题设中的不等式.【详解】(1)法一：因为。0力 0

42、,所以二+二+8ab=二+1+4ab+4ab 4 与.二 4ab-4ab=8.a h a b V a-b当且仅当-l=4血即。=6=，1 时等号成立.a2 b2 2法二：因为。0力(),所以 3+3?J 当且仅当与=4，即 a=b时等号成立.a-tr ah a b-所以 7+二+89?22+8出?22、区 02abc2,当且仅当。=。时等号成立；c2a2+a2b2 2a2bc,当且仅当匕=c时等号成立，所以 2,疗+b2c2+c2a22eibc(a+h+c)f当且仅当 4=6=C时等号成立.因为。0/0,c。，所以。+人+0,所以 0 2 2ab+bc+c a+/?+c abc.

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