【最新】2020届浙江省杭州市高三下学期教学质量检测数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 17 页2020 届浙江省杭州市高三下学期教学质量检测数学试题一、单选题1设集合2=4Ax yx，ln1Bx yx，则ABI=（）A2,2B2 2,C1,2D1,2【答案】C【解析】计算22Axx，1Bx x，再计算交集得到答案.【详解】2=422Ax yxxx，ln11Bx yxx x，故1,2ABI.故选：C.【点睛】本题考查了交集运算，函数定义域，意在考查学生的计算能力.2设M为不等式1010 xyxy所表示的平面区域，则位于M内的点是（）A(0，2)B2,0C0,2D(2，0)【答案】C【解析】将每个点代入不等式组，验证得到答案.【详解】当0,2xy时，10 xy，不满

2、足，排除A；当2,0 xy时，10 xy，不满足，排除B；当0,2xy时，1010 xyxy满足，C 正确；当2,0 xy时，10 xy，不满足，排除D；故选：C.【点睛】本题考查了不等式表示的区域，逐一验证可以快速得到答案，是解题的关键.3某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）第 2 页 共 17 页A76B54C43D53【答案】A【解析】如图所示，几何体为三棱锥和三棱柱的组合体，计算体积得到答案.【详解】如图所示：几何体为三棱锥和三棱柱的组合体，则1211171 1 21 1 12326VVV.故选：A.【点睛】本题考查了根据三视图求体积，还原几何体是解题的关键，意在考查学

3、生的计算能力和空间想象能力.第 3 页 共 17 页4“3a”是“函数1fxxxaxR的最小值等于2”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C既不充分也不必要条件D充要条件【答案】A【解析】利用绝对值三角不等式得到充分性，取1a时也满足得到不必要，得到答案.【详解】当3a时，13132fxxxxx，当13x时等号成立，充分性；当1a时，11112fxxxxx，当11x时等号成立，不必要；故选：A.【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.5在我国古代数学著作详解九章算法中，记载着如图所示的一张数表，表中除1以外的每一个数都等于它肩上两个数之和，如：6=3+3 则这个表

4、格中第8 行第 6 个数是（）A21 B 28 C35 D56【答案】A【解析】根据题意写出第7 行和第 8 行，得到答案.【详解】根据题意：第7行为 1，6，15，20，15，6，1；第 8 行为 1，7，21，35，35，21，7，1.故第 8 行第 6 个数是 21.故选：A.【点睛】本题考查了求数列的项，意在考查学生的计算能力和阅读理解能力.第 4 页 共 17 页6函数141xyex（其中e为自然对数的底数）的图象可能是（）A BCD【答案】D【解析】当1x时，1041ye，排除 AB；当x时，0y，排除 C，得到答案.【详解】当1x时，1041ye，排除 AB；当x时，0y，排除

5、C.故选：D.【点睛】本题考查了函数图像的识别，取特殊值排除是解题的关键.7抛掷一枚质地均匀的硬币，若出现正面朝上则停止抛掷，至多抛掷in次，设抛掷次数为随机变量i，1,2i.若123,5nn，则（）A12EE，12DDB12EE，12DDC12EE，12DDD12EE，12DD【答案】A【解析】1的可能取值为1，2，3，2的可能取值为1，2，3，4，5，计算概率得到分布列，计算数学期望和方差，比较大小得到答案.【详解】1的可能取值为1，2，3，则1112p，1124p，1134p，分布列为：11 2 3 第 5 页 共 17 页p121414111171232444E，22217171711

6、112342444416D.2的可能取值为1，2，3，4，5，则1112p，1124p，1138p，11416p，11516p，分布列为：11 2 3 4 5 p1214181161162111113112345248161616E，2222223113113113113111234516216416816161616D367256，故12EE，12DD.故选：A.【点睛】本题考查了数学期望和方差的大小比较，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.8已知函数sin()(0)cos(),(0)xaxfxxbx是偶函数，则,a b的值可能是（）A3a，3bB23a，6bC3a，6bD23a，56b【

7、答案】C【解析】当0 x时，sin2fxxb，sinfxxa，得到第 6 页 共 17 页22abk，得到答案.【详解】当0 x时，cossin2fxxbxb，sinsinfxxaxa，函数为偶函数，故fxfx，即22bak，即22abk，kZ，对比选项知C 满足.故选：C.【点睛】本题考查了根据函数的奇偶性求参数，意在考查学生的计算能力和对于函数性质的灵活运用.9设ar，br，cr为非零不共线向量，若1atct bac tRrrrrr则（）AabacrrrrBabbcrrrrCacabrrrrDacbcrrrr【答案】D【解析】11atct bactcbacrrrrrrrrr，化简得到204

8、cbacrrrr，故0cbacrrrr，得到答案.【详解】11atct bactcbacrrrrrrrrr，故221actcbacrrrrrr，化简整理得到：2212 10tcbtcbacrrrrrr，即2222220cbtcbcbactcbcbacrrrrrrrrrrrrrr，204cbacrrrr，故0cbacrrrr，故acbcrrrr.故选：D.【点睛】本题考查了根据向量模求向量的关系，意在考查学生的计算能力和应用能力.10 数列na满足*11344nnaaNn.若存在实数c.使不等式221nnaca对任第 7 页 共 17 页意*nN恒成立，当11a时，c=（）A16B14C13D1

9、2【答案】B【解析】计算217a，3725a，425103a，根据25710325c，排除 ACD，再利用数学归纳法证明22114nnaa成立得到答案.【详解】11344nnaa，故1143nnaa，11a，217a，3725a，425103a，取2n得到43aca，即25710325c，故排除ACD，现证明22114nnaa成立，当1n时，21174a成立，假设nk时成立，即214ka，当1nk时，22221222431114143121333 12134343kkkkkkaaaaaa，易知函数1433 1213yx在0,上单调递增，故2221411133 12133124kkaa，即221

10、4ka成立，故214na恒成立，同理可证2114na.故选：B.【点睛】本题考查根据数列的递推公式判断数列性质，数学归纳法，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.二、双空题11已知,a bR，复数zai且11zbii（i为虚数单位），则ab_，z_第 8 页 共 17 页【答案】6ab10z【解析】复数zai且11zbii()(1)(1)(1)1122aiaiiaaibii11212aab32ab6ab，223(1)10z故答案为6，101261xx的展开式的所有二次项系数和为_常数项为 _【答案】64 20【解析】展开式的二次项系数为6264，再利用二项式定理计算得到答案.【详解】61xx展

11、开式的二次项系数为6264，展开式的通项为：66 21661rrrrrrTC xC xx，取3r得到常数项为3620C.故答案为：64；20.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.13设双曲线222210,0 xyabab的左、右焦点为1F，2F，P为该双曲线上一点且2123PFPF，若1260F PF，则该双曲线的离心率为_渐近线方程为_【答案】76yx【解析】根据题意2123PFPF，122PFPFa得到16PFa，24PFa，利用余弦定理计算得到答案.第 9 页 共 17 页【详解】2123PFPF，122PFPFa，故16PFa，24PFa，在12PF F中，

12、利用余弦定理得到：222436162 64 cos60caaaa，化简整理得到：7ca，故7e，6ba，故渐近线方程为：6yx.故答案为：7；6yx.【点睛】本题考查了双曲线的离心率和渐近线，意在考查学生的计算能力和应用能力.14在ABCV中，若22sin3 sin2AA，sin2cossinBCBC.则A=_，ACAB=_【答案】231【解析】利用三角恒等变换化简得到22sin2 3sincos222AAA，tan32A，BC，得到答案.【详解】22sin3 sin2 3sincos222AAAA，0,A，故tan32A，故23A.sinsincoscossin2cossinBCBCBCBC

13、，即sincoscossinsin0BCBCBC，故 BC，故1ACAB.故答案为：23；1.【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和应用能力.三、填空题15已知nS是等差数列na的前n项和，若24S，416S,，则3a的最大值是 _【答案】5【解析】计算得到311131246284aadadad，代入计算得到答案.【详解】2124Sad，414616Sad，第 10 页 共 17 页故31113131246216458484aadadad.故答案为：5.【点睛】本题考查了数列项的最值，确定3113146284aadad是解题的关键.16安排ABCDEF共 6 名志愿者照顾甲、

14、乙、丙三位老人，每两位志愿者照顾一位老人，考虑到志愿者与老人住址距离问题，志愿者A安排照顾老人甲，志愿者B不安排照顾老人乙，则安排方法共有_种【答案】18【解析】先从 CDEF 中安排两位志愿者照顾乙，再从剩余的除去A 的三位志愿者中选择两位照顾丙，计算得到答案.【详解】先从 CDEF 中安排两位志愿者照顾乙，有24C种选择，再从剩余的除去A 的三位志愿者中选择两位照顾丙，有23C种选择，剩余一位和A 照顾甲，故共有224318CC种安排方法.故答案为：18.【点睛】本题考查了组合的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.17已知函数33,fxxaxb aRb.当0,2x，fx的最大值为,M

15、a b，则,M a b的最小值为 _【答案】7【解析】3333max3,3fxxaxbxxabxxab，设函数，根据单调性得到3max3max,14xxababab，3max3max 2,2xxababab，分别计算最值得到答案.【详解】3333max3,3fxxaxbxxabxxab，设313xabfxx，则21303xfx恒成立，函数单调递增，第 11 页 共 17 页故3max3max,14xxababab；设323fxxxab，则2233311fxxxx，函数在0,1上单调递减，在1,2上单调递增，3max3max,2,2max 2,2xxabababababab，故,max,14,2

16、,2Ma babababab，则2,1414Ma babab，故,7M a b，当7ab时等号成立；且2,224M a babab，故,2M a b，当ab时等号成立.综上所述：,7M a b.故答案为：7.【点睛】本题考查了绝对值函数的最值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.四、解答题18已知函数2133222fxsinxcoxs，0（1）若1.求fx的单调递增区间（2）若13f.求fx的最小正周期T的最大值【答案】（1）单调递增区间是52,266kk，kZ（2）4【解析】（1）化简得到sin3fxx，取22232kxk，解得答案.（2）sin3fxx，13f得到162n，计算得到答

17、案.【详解】（1）当1时，21313sin3cossincossin222223xfxxxxx.第 12 页 共 17 页令22232kxk，kZ，解得52266kxk，kZ.所以fx的单调递增区间是52,266kk，kZ.（2）由213sin3coscossin2223xfxxxx.因为13f，所以sin133，则2332n，nZ.解得162n，又因为函数fx的最小正周期2T，且0，所以当12时，T的最大值为4.【点睛】本题考查了三角函数的单调区间，周期，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.19如图，在四棱锥PABCD中，已知PC底面ABCD，ABAD，/ABCD，2AB，1ADCD，E是

18、PB上一点.（1）求证:平面EAC平面PBC；（2）若E是PB的中点，且二面角PACE的余弦值是63，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】（1）先证明AC平面PBC，然后可得平面EAC平面PBC；（2）建立坐标系，根据二面角PACE的余弦值是63可得PC的长度，然后可求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.【详解】（1）PC平面ABCD，AC平面ABCD，得ACPC.第 13 页 共 17 页又1ADCD，在Rt ADC中，得2AC，设AB中点为G，连接CG，则四边形ADCG为边长为1的正方形，所以CGAB，且2BC，因为222ACBCAB，所以ACB

19、C，又因为BCPCC，所以AC平面PBC，又AC平面EAC，所以平面EAC平面PBC.（2）以C为坐标原点，分别以射线CD?射线CP为y轴和 z 轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，则0,0,0C，1,1,0A，1,1,0B.又设0,0,0Paa，则11,22 2aE，1,1,0CAu uu r，0,0,CPau uu r，11,22 2aCEuuu r，1,1,PAauu u r.由BCAC且BCPC知，1,1,0mCBu ruu u r为平面PAC的一个法向量.设,nx y zr为平面EAC的一个法向量，则0n CAn CEr u uu rr uu u r，即00 xyxyaz，取xa，y

20、a，则,2naar，有26cos,32m nam nmnau rru r ru rr，得2a，从而2,2,2nr，1,1,2PAuu u r.设直线PA与平面EAC所成的角为，则sincos,n PAn PAnPAru uu rr uu u rru uu r22423612.即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为23.【点睛】第 14 页 共 17 页本题主要考查空间平面与平面垂直及线面角的求解，平面与平面垂直一般转化为线面垂直来处理，空间中的角的问题一般是利用空间向量来求解.20已知数列na的各项均为正数，114a，1nnba，nb是等差数列，其前n项和为nS，6281bS.（1）求数列na

21、的通项公式（2）12111nnaaac，312123nnnaaaaTcccc，若对任意的正整数n，都有4nnaTc恒成立，求实数a的取值范围【答案】（1）211nan（2）18a【解析】（1）设nb的公差为d，计算得到1d，故1nbn，得到答案.（2）计算2221nncn，11212nnacnn，根据裂项相消法计算2nnTn，得到23181annn，根据数列的单调性得到答案.【详解】（1）设nb的公差为d，12b，由6281bS，得212 1581dd.即2514190dd，解得1d或195d.因为数列na为各项均为正数，1112ba，所以0d，所以1d.所以1nbn，所以211nan.（2）

22、22222221111 3 24211123232111nnnncnnn，因为22112112212121nnnacnnnnnn，所以11111122334122nnTnnn，所以不等式4nnaTc，化为24221nnann，第 15 页 共 17 页即22231811nan nnnn恒成立，而2311g nnnn单调递减，所以81a，即18a.【点睛】本题考查了求数列通项公式，裂项求和，数列恒成立问题，确定数列的单调性是解题的关键.21如图，已知1,2M为抛物线2:20Cypx p上一点，过点2,2D的直线与抛物线C交于AB两点（AB两点异于M），记直线AM，BM的料率分别为1k，2k（1）

23、求12k k的值（2）记AMDV，BMDV的面积分别为1S，2S，当11,2k，求12SS的取值范围【答案】（1）124k k（2）1,4【解析】（1）将点代入抛物线得到24yx，设直线AB方程为22xm y，联立方程得到124yym，1288y ym，计算得到答案.（2）122,4y，2111222124ADyyssBDy，计算得到答案.【详解】（1）将1,2M代入抛物线2:2C ypx方程，得2p，所以抛物线方程为24yx，设直线AB方程为22xm y，代入抛物线方程，得24880ymym，设11,A x y，22,B xy，则124yym，1288y ym，第 16 页 共 17 页12

24、12122212121212122222161641122241144yyyyk kyyxxyyy yyy，所以124k k.（2）由（1）知1141,22ky，所以122,4y，2242ky，即1244422yy，所以211122211,424ADyyssBDy.【点睛】本题考查了抛物线中的斜率定值问题，面积问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合应用能力.22已知函数lnxafxexa，0 x.其中0a，（1）若1a.求证：0fx.（2）若不等式21 1 ln2f xx a对0 x恒成立，试求a的取值范围【答案】（1）证明见解析；（2）01a【解析】（1）求导得到111xfxex，存在

25、00,1x，使00fx，010101xex，故00ln11xx，代入0100minln1xfxfxex，计算得到证明.（2）将1x代入不等式，得到1ln 131 ln 20aaae，根据函数1gln 131 ln2aaaae的单调性得到01a；再设1ln122xh xxxe，求导得到单调性，计算11ln 2h xh得到答案.【详解】（1）由1a，得1ln1xfxex，0 x，所以有111xfxex，所以fx在0,上单调递增，且1010fe，1102f，所以存在00,1x，使00fx，第 17 页 共 17 页所以当00,xx时，0fx，当0,xx时，0fx，所以0100minln1xfxfxe

26、x，（）且010101xex，即01011xex，两边取对数，得00ln11xx，代入（），有2000min0011011xfxfxxxx，得证.（2）由题意得ln211ln 2xaexaxa对0 x成立，（）必要性，将1x代入上述不等式，得1ln 131ln2aeaa，即1ln 131ln 20aaae，令1gln 131 ln 2aaaae，易知g a在0,上单调递增，且10g，所以01a.（）下证当01a时，ln21 1ln2xaexaxa对0 x成立.即证ln211ln2xaxaxae，因为01a，所以1ln21ln122x axxaxaexxe，设1ln122xh xxxe，则111122xhxexx，显然hx在0,上单调递减，且10h，所以h x在0,1上单调递增，在1,上单调递减，故11ln 2h xh，不等式得证.由（）和（）可知01a.【点睛】本题考查了利用导数证明不等式，不等式恒成立问题，先通过必要性得到范围再证明是解题的关键.