初中三角形总结.docx

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1、 初中三角形总结 初中三角形总结 初中三角形的有关总结 内角和定理：三角形三个内角和等于180；三角形的面积=外角等于和它不相邻的来两个内角的和。 三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。推论：三角形的两边之差小于第三边。 三角形中的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。（区分三角形中线与中位线）；三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有： 结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。 结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平

2、行四边形。结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线相互平分。 结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。角的平分线及其性质：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。角的平分线有下面的性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。三角形 1底高；三角形的一个2锐角三角形：三个角都是锐角一般三角形：斜三角形钝角三角形：有一个角为钝角等边对等角，等角对等边一般等腰三角形三线合一：顶角的角平分线、底边的中线和高亦可反之用来等腰三角形等腰直角三角形两腰上的中线和高、两底角的角平分线分别相判定等腰三角等，且

3、它们的各自交点究竟边两端的距离相等如有一个角为30，则其所对应的直角边的长度为斜边的一半斜边上的中线等于斜边的一半三角形222特别三角形直角三角形勾股定理：abc(a、b为直角边，c为斜边)射影定理：斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是CD2ADBD2ACB90它们在斜边上的射影和斜边的比例中项：ACADABCDAB2BCBDAB等边三角形：三边相等，三角相等且为 扩展阅读：初中数学 三角形专题学问总结与练习答案 专题八三角形一目标： （1）把握三角形、三角形的全等、相像及解直角三角形的有关概念。 （2）利用三角形的相像、全等及解直角三角形的学问进展计算、解答有关综合题。

4、（3）培育学生的转化、数形结合、及分类争论的数学思想的力量二重点、难点： 三角形、三角形的相像及全等、解直角三角形的根底学问、根本技能是本节的重点。难点是综合应用这些学问解决问题的力量。三学问要点： 学问点1三角形的边、角关系 三角形任何两边之和大于第三边；三角形任何两边之差小于第三边；三角形三个内角的和等于180；三角形三个外角的和等于360； 三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。学问点2三角形的主要线段和外心、内心三角形的角平分线、中线、高； 三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的外心，三角形的外心到各顶点的距离相等；三角形的

5、三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心，三角形的内心到三边的距离相等； 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。学问点3等腰三角形等腰三角形的识别： 有两边相等的三角形是等腰三角形； 有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）；三边相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形； 有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。等腰三角形的性质：等边对等角； 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合；等腰三角形是轴对称图形，底边的中垂线是它的对称轴；等边三角形的三个内角都等于60。学问点4直角三角形直角三角形的识别：

6、 有一个角等于90的三角形是直角三角形；有两个角互余的三角形是直角三角形； 勾股定理的逆定理：假如一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。直角三角形的性质： 直角三角形的两个锐角互余； 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。学问点5全等三角形定义、判定、性质学问点6相像三角形 定义,夹角相等两对应边的比相等相像三角形判定方法两个对应角相等三条对应边的比相等对应边的比对应高的比等于相像比相像三角形的性质周长比面积比相像比平方学问点7锐角三角函数 三角函数sin 00 30 45 60 901 12 cos1 tan

7、0 323322221 32120 3 33不存在 cot不存在 310 例题精讲 例1.（1）已知：等腰三角形的一边长为12，另一边长为5，求第三边长。（2）已知：等腰三角形中一内角为80，求这个三角形的另外两个内角的度数。分析：利用等腰三角形两腰相等、两底角相等即可求得。解：（1）分两种状况： 若腰长为12，底边长为5，则第三边长为12。 若腰长为5，底边长为12，则第三边长为5。但此时两边之和小于第三边，故不合题意。因此第三边长为12。（2）分两种状况： 若顶角为80，则另两个内角均为底角分别是50、50。若底角为80，则另两个内角分别是80、20。 因此这个三角形的另外两个内角分别是5

8、0、50或80、20。 说明：此题运用“分类争论”的数学思想，此题着重考察等腰三角形的性质、三角形的三边关系。例2.已知：如图，ABC和ECD都是等腰三角形，ACBDCE90，ADEBD为AB边上的一点，求证：（1）ACEBCD，（2）ADAEDE。 分析：要证ACEBCD，已具备ACBC，CECD两个条件，还需AEBD或ACEBCD，而ACEBCD明显能证;要证ADAEDE， 222222C需条件DAE90，由于BAC45，所以只需证CAEB45，由ACEBCD能得证。 证明：（1）DCEACB90，DCEACDACBACD， 即ACEBCD，ACBC，CECD，ACEBCD。 （2）ACE

9、BCD，CAEB45，BACB45，DAE90，ADAEDE。 例3.已知：点P是等边ABC内的一点，BPC150，PB2，PC3，求PA的长。 分析：将BAP绕点B顺时针方向旋转60至BCD，即可证得BPD为等边三角形，PCD为直角三角形。 解：BCBA， 将BAP绕点B顺时针方向旋转60，使BA与BC重合，得BCD，连结PD。 BDBP2，PADC。BPD是等边三角形。BPD60。DPCBPCBPD1506090。 DCPD2PC2223213PADC13。 【变式】若已知点P是等边ABC内的一点，PA13，PB2，PC3。能求出BPC的度数吗？请试一试。 例4.如图，P是等边三角形ABC

10、内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作PBQ60，且BQBP，连结CQ （1）观看并猜测AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论 （2）若PA：PB：PC3：4：5，连结PQ，试推断PQC的外形，并说明理由 解：（1）把ABP绕点B顺时针旋转60即可得到CBQ利用等边三角形的性质证ABPCBQ，得到APCQ （2）连接PQ，则PBQ是等边三角形PQPB，APCQ故CQ：PQ：PCPA：PB：PC3：4：5，PQC是直角三角形 点评：利用等边三角形性质、判定、三角形全等、直角三角形的判定等学问点完成此题的证明例5.如图，有两个长度一样的滑梯（即BCEF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方

11、向的长度DF相等，则ABCDFE_ 分析：ABC与DFE分布在两个直角三角形中，若说明这两个直角三角形全等则问题便会迎刃而解 解答：在RtABC和RtDEF中，BCEF，ACDF，ABCDEF，ABCDEF，ABCDFE90，因此填90 点评：此例主要依据用所探究的直角三角形全等的条件来识别两个直角三角形全等，并运用与它相关的性质进展解题 DBPCA2 例6.中华人民共和国道路交通治理条例规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时”一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶（如下图），在距离路边25米处有“车速检测仪O”，测得该车从北偏西60的A点行驶到北偏西30的B点，所用时间为1

12、.5秒 （1）试求该车从A点到B的平均速度；（2）试说明该车是否超过限速解析：（1）要求该车从A点到B点的速度只需求出AB的距离， 在OAC中，OC25米OAC906030，OA2CO50米 由勾股定理得CAOA2OC2502252253（米）在OBC中，BOC30BC 125OB。（2BC）2BC2252BC232533（米） 503ABACBC253（2） 35033（米）从A到B的速度为31.5 10093（米/秒） 10093米/秒69.3千米/时 69.3千米/时 又DAE105，DABCAE75又DABADBABC75，CAEADB，ADBEAC， 1ABBD1x,即，y xECA

13、Cy1（2）当、满意 190，y仍成立 x2此时DABCAE，DABADB，CAEADB 又ABDACE，ADBEAC，y 1x点评：确定两线段间的函数关系，可利用线段成比例、找相等关系转化为函数关系 例9.如图，梯形ABCD中，ABCD，且AB2CD，E，F分别是AB，BC的中点，EF与BD相交于点M （1）求证：EDMFBM；（2）若DB9，求BM （1）证明：E是AB中点，AB2BE，AB2CD，CDEB，又ABCD，四边形CBED是平行四边形，CBDE，DEMBFM，EDMFBM EDMFBMDMDE，BMBF1DB33（2）解：EDMFBM， F是BC中点，DE2FB，DM2BM，B

14、M 例10.已知ABC中，ACB90，CDAB于D，ADBD23且CD6。求（1）AB；（2）AC。 分析：设AD2k，BD3k。依据直角三角形和它斜边上的高，可知ABCACDCBD。通过相像三角形对应边成比例求出其中k的大小；但是假如依据射影定理，那么就可以直接计算出k的大小。 解：设AD2k，BD3k（k0）。 ACB90，CDAB。CD2ADBD， 622k3k，k6。AB56。又AC2ADAB，AC215。 例11.已知ABC中，ACB90，CHAB，HEBC，HFAC。求证：（1）HEFEHC；（2）HEFHBC。 分析：从已知条件中可以获得四边形CEHF是矩形，要证明三角形全等要收

15、集到三个条件，有公共边EH，依据矩形的性质可知EFCH，HF EC。 要证明三角形相像，从条件中得FHECHB90，由全等三角形可知，HEFHCB，这样就可以证明两个三角形相像。 证明：HEBC，HFAC， CEHCFH90。又ACB90，四边形CEHF是矩形。EFCH，HFEC，FHE90。又HEEH， HFEEHC。HEFHCB。FHECHB90，HEFHBC。 说明：在这一题的分析过程中，走“两头凑”比拟快捷，从已知动身，发觉有用的信息，从结论动身，查找解决问题需要的条件。解题中还要留意上下两小题的“台阶”关系。培育学生良好的思维习惯。 例12.两个全等的含30，60角的三角板ADE和A

16、BC如下图放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连结ME，MC。试推断EMC是什么样的三角形，并说明理由。 分析：推断一个三角形的外形，可以结合所给出的图形作出假设，或许是等腰 三角形。这样就可以转化为另一个问题：尝试去证明EMMC，要证线段相等可以查找全等三角形来解决，然而图中没有外形大小一样的两个三角形。这时思索的问题就可以转化为这样一个新问题：如何构造一对全等三角形？依据已知点M是直角三角形斜边的中点，产生联想：直角三角形斜边上的中点是斜边的一半，得：MDMBMA。连结MA后，可以证明MDEMAC。 答：EMC是等腰直角三角形。证明：连接AM，由题意得， DEAC，

17、ADAB，DAEBAC90。DAB90。DAB为等腰直角三角形。又MDMB， MAMDMB，AMDB，MADMAB45。MDEMAC105，DMA90。MDEMAC。 DMEAMC，MEMC。又DMEEMA90，AMCEMA90。MCEM。 EMC是等腰直角三角形。 说明：构造全等三角形是解决这个问题的关键，那么构造全等又如何进展的呢？对条件的充分熟悉和对学问点的联想可以找到添加帮助线的途径。构造过程中要不断地转化问题或转化思维的角度。会转化，擅长转化，更能表达思维的敏捷性。在问题中创设以三角板为情境也是考题的一个热点。 MDECBA 课后练习 1.如图，ABC中，D、E分别是AC、AB上的点

18、，BD与CE交于点O，给出以下三个条件：EBODCO；BEOCDO；BECD （1）上述三个条件中，哪两个条件可判定ABC是等腰三角形（用序号写出全部情形）；（2）选择第（1）小题中的一种状况，证明ABC是等腰三角形 2.（1）已知如图，在AOB和COD中，OAOB，OCOD，AOBCOD60。求证：ACBD，APB60。 （2）如图，在AOB和COD中，OAOB，OCOD，AOBCOD，则AC与BD间的等量关系式为_；APB的大小为_。 （3）如图，在AOB和COD中，OAkOB，OCkOD（k1），AOBCOD，则AC与BD间的等量关系式为_；APB的大小为_。 ODODODCAPBCAB

19、PCABP 3.一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5m，面积为1.5m2，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形，请两位同学设计加工方案，甲设计方案如图（1），乙设计的方案如图（2）。你认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由。（加工损耗忽视，计算结果可保存分数） CBDBEAADEPC 4.一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm3.5cm，放映的荧屏的规格为2m2m，若放映机的光源距胶片20cm时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？ F(1)GHF(2) 5.如图，已知MON90，等边三角形ABC的一个顶点A是射线OM上的肯定点，顶点B与点O

20、重合，顶点C在MON内部。 （1）当顶点B在射线ON上移动到B1时，连结AB1为一边的等边三角形AB1C1（保存作图痕迹，不写作法和证明）； （2）设AB1与OC交于点Q，AC的延长线与B1C1交于点D。求证：ACADAB1AQ；（3）连结CC1，试猜测ACC1为多少度？并证明你的猜测。 6.如下图，设A城气象台测得台风中心在A城正西方向600km的B处，正以每小时200km的速度沿北偏东60的BF方向移动，距台风中心500km的范围是受台风影响的区域 （1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？ （2）若A城受到这次台风的影响，那么A城患病这次台风的影响有多长时间？ 7.（1）如图，在RtAB

21、C中，C90，AD是BAC的角平分线，CAB60，CD3，BD23，求AC，AB的长 （2）“试验中学”有一块三角外形的花园ABC，有人已经测出A30，AC40米，BC25米，你能求出这块花园的面积吗？ （3）某片绿地外形如下图，其中ABBC，CDAD，A60，AB200m，CD100m，求AD、BC的长 8.高为12米的教学楼ED前有一棵大树AB，如下图 （1）某一时刻测得大树AB，教学楼ED在阳光下的投影长分别是BC2.5米，DF7.5米，求大树AB的高度； （2）现有皮尺和高为h米的测角仪，请你设计另一种测量大树AB高度的方案，要求：在图中，画出你设计的图形（长度用字母m，n表示，角度用

22、希腊字母，表示）；依据你所画出的示意图和标注的数据，求出大树的高度并用字母表示 9.如下图，某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼，该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32时 （1）问超市以上的居民住房采光是否受影响，为什么？ （2）若要使超市采光不受影响，两楼至少应相距多少米？（结果保存整数，参考数据：sin32cos32 ） 53，1 练习答案 1.解：（1）或 （2）已知求证ABC是等腰三角形 证：先证EBODCO得OBOC，得DBCECBABCACB即ABC是等腰三角形2.证明：AOB和COD为正

23、三角形， OAOB，ODOC，AOB60，COD60。 AOBBOCCODBOC，AOCBOD。AOCBOD，ACBD。OACOBD，APBAOB60。 （2）AC与BD间的等量关系式为ACBD；APB的大小为。 （3）AC与BD间的等量关系式为ACkBD；APB的大小为180。3.解：方案（1）：有题意可知，DEBA，得CDECBA。 x2x6,x.；1.527方案（2）：作BHAC于H。DEAC，得BDEBAC。 x1.2x30630,x,图（1）加工出的正方形面积大。2.51.237737综上所得，甲同学设计的方案较好。4.解：胶片上的图象和荧屏上的图象是位似的，镜头就相当于位似中心，因

24、此此题可以转化为位似问题解答： 80m75.解：（1）如下图； 证明：（2）AOC与AB1C1是等边三角形，ACBAB1D60。 又CAQB1AD，ACQAB1D； ACAQ,AB1AD 即ACADAQAB1.（3）猜测ACC190。 证明：AOC和AB1C1为正三角形，AOAC，AB1AC1，OACC1AB1， OACCAQC1AB1CAQ，OAB1CAC1。AOB1ACC1。ACC1AOB190。 6.（1）作AMBF可计算AM300km （2）受影响时间为 40024小时201*.解：（1）AC3，AB6 （2）能，分两种状况，SABC201*150和SABC201*150 C3030CA ADBDB （3）延长BC，AD交于E，AD4001003，BC201*200 8.解：连结AC，EF， （1）太阳光线是平行的，ACEF，ACBEFD，ABCEDF90，ABCEDF，AB4米 （2）如下图： ABBCAB2.5,，EDDF127.5 AB（mtanh）米 9.解：（1）超市以上居民住房采光受影响，由计算知新楼在居民楼上的投影高约11米，故受影响 （2）若要使超市采光不受影响，两楼至少相距： 2082032（米） tan3 友情提示：本文中关于初中三角形总结给出的范例仅供您参考拓展思维使用，初中三角形总结：该篇文章建议您自主创作。