三角形全等之截长补短(整理编辑.).doc

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1、 三角形全等之截长补短（讲义）三角形全等之截长补短（讲义）一、知识点睛一、知识点睛截长补短：题目中出现_时，考虑截长补短；截长补短的作用是 _ _ 二、精讲精练二、精讲精练1.已知：如图，在ABC 中，1=2，B=2C求证：AC=AB+BD2.如图，在四边形 ABCD 中，A=B=90，点 E 为 AB 边上一点，且 DE 平分ADC，CE 平分BCD求证：CD=AD+BC21DCBA21DCBA21DCBAEDCBA3.已知：如图，在正方形 ABCD 中，AD=AB，B=D=BAD=90，E，F 分别为 CD，BC 边上的点，且EAF=45，连接 EF 求证：EF=BF+DEFEDCBA4.

2、已知：如图，在ABC 中，ABC=60，ABC 的角平分线 AD，CE 交于点 O求证：AC=AE+CDOEDCBAFEDCBA5.已知：如图，在ABC 中，A=90，AB=AC，BD 平分ABC，CEBD 交 BD 的延长线于点 E求证：CEBD21OEDCBAEDCBAEDCBA【参考答案参考答案】【知识点睛知识点睛】线段间的和差倍分；把几条线段间的数量关系转为两条线段的等量关系【精讲精练精讲精练】1.补短法：证明：如图，延长 AB 到 E，使 BE=BD，连接 DEABD 是BDE 的一个外角ABD=EBDEBE=BDE=BDEABD=2EABD=2CE=C 在ADE 和ADC 中E21

3、DCBAFABCD1 212ECADAD ADEADC（AAS）AE=ACAC=ABBE =ABBD 截长法：证明：如图，在 AC 上截取 AF=AB，连接 DF在ABD 和AFD 中12ABAFADAD ABDAFD（SAS）B=AFD，BD=FDB=2CAFD=2CAFD 是DFC 的一个外角AFD=C +FDCFDC=CDF=FCBD=FCAC=AF+FC =AB+BD 2.证明：如图，在 CD 上截取 CF=CBCE 平分CBD1=2 在CFE 和CBE 中12CFCBCECE CFECBE（SAS）CFE=BB=90CFE=DFE =90A=90DFE=A4321FEDCBA32 1

4、GCDBAEF87 654321FOCDBEADE 平分ADC3=4 在DEF 和DEA 中34DFEADEDE DEFDEA（AAS）DF=ADCD=DF+CF=AD+BC 3.证明：如图，延长 FB 到 G，使 BG=DE，连接 AGD=ABC=90ABG=D=90 在ABG 和ADE 中AB=AD ABG= D BG=DE ABGADE（SAS）AG=AE，1=2BAD=90，EAF=452+3=451+3=45 即GAF=45GAF=EAF 在AGF 和AEF 中AGAEGAFEAF AFAF AGFAEF（SAS）GF=EFGF=BF+BGEF=BF+DE 4.证明：如图，在 AC

5、上截取 AF=AE，连接 OFAD，CE 为ABC 的角平分线1=2，3=4 在AEO 和AFO 中54321FEDCBA12AEAFAOAO AEOAFO（SAS）5=6ABC=601+2+3+4=180B=18060=1202+3=60AOC=18060=1205=6=7=8=60 在OFC 和ODC 中8734OCOC OFCODC（ASA）CF=CDAC=AF+FC=AE+CD 5.证明：如图，延长 CE，交 BA 的延长线于点 FCEBDBEF=BEC=90BAC=90CAF=BAD=903=41=5 在BAD 和CAF 中15ABACBADCAF BADCAF（ASA）BD=CFB

6、E 平分ABC1=2 在BEF 和BEC 中 12BEBEBEFBEC BEFBEC（ASA）EF=ECCE=CF1 2CE=BD1 2 三角形全等之截长补短每日一题三角形全等之截长补短每日一题1.（4 月 28 日）在ABC 中，ADBC 于 D，B=2C求证：CD=AB+BD2.（4 月 29 日）如图，在ABC 中，ABAC，1=2，P 为AD 上任意一点，连接 BP，CP求证：ABACPBPCDCBA21PDCBA3.（4 月30 日）已知：如图，1=2，P 为 BN 上一点，且PDBC 于点 D，A+C=180 求证：BD=AB+CD4.（5 月 2 日）如图，在正方形 ABCD 中

7、，E 为 BC 边上任意一点，AF 平分DAE，连接 EF求证：AE=BE+DF21N PDCBAFEDCBA【参考答案参考答案】1.证明：如图，在线段 DC 上截取 DE=BD，连接 AEE21ABCDADBCADB=ADE=90 在ABD 和AED 中ADADADBADEDBDE ABDAED（SAS）B=1，AB=AEB=2C1=2C1 是AEC 的一个外角1=C+2C=2AE=CECD=CE+ED =AE+BD =AB+BD （如果延长 DB 到点 F，使 BF=AB，连接 AF 也可进行证明）2.证明：如图，在线段 AB 上截取 AE=AC，连接 PEEABCDP1 2则 ABAC=

8、ABAE=EB在AEP 和ACP 中12AEACAPAP AEPACP（SAS）PE=PC 在PEB 中，PBPEPBPC （延长 AC 到点 F，使 AF=AB，连接 PF，也可证明结论）3.证明：如图，在 BC 上截取 BE=BA，连接 PE43 E21N PDCBA在ABP 和EBP 中12BABEBPBP ABPEBP（SAS）A=3A+C=180，3+4=1804=CPDBCPDE=PDC=90 在PDE 和PDC 中4CPDEPDCPDPD PDEPDC（AAS）DE=DCBD=BE+ED =AB+CD （过点 P 作 PFBA 于 F，也可进行证明）4.证明：如图，延长 EB 到

9、点 G，使 BG=DF，连接 AG54321GFEDCBA四边形 ABCD 为正方形AB=AD，D=ABC=BAD=90ABG=D=90 在ABG 和ADF 中ABADABGADFBGDF ABGADF（SAS）1=2，5=GAF 平分DAE1=31+5=903+G=901+3+4=902+3+4=902+4=GAE=EGEG=BE+BGAE=BE+DF三角形全等之截长补短（随堂测试）三角形全等之截长补短（随堂测试）6.已知：如图，在四边形 ABCD 中，BCAB，AD=DC，C=60，BD 平分ABC求证：BC=AB+ADDCBA【参考答案参考答案】1.证明略提示：在 BC 上截取 BE=A

10、B，证明ABDEBD，再证明CE=AD三角形全等之截长补短三角形全等之截长补短（作业）（作业）1.如图，在ABC 中，BAC=60，ABC=80，AD 是BAC 的平分线求证：AC=AB+BDABCDABCD2.如图，AC 平分BAD，CEAB 于 E，B+D=180求证：AE=AD+BEABCDCDBAECDBAE3.如图，在ABC 中，A=100，ABC=40，BD 是ABC 的平分线，延长 BD 至 E，使DE=AD，连接 EC求证：BC=AB+CEBEADCBEADC4.如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，CEAB 于 E，BDC 为等腰直角三角形，BDC=90，BD=CD，CE 与

11、 BD 交于 F，连接 AF求证：CF=AB+AFADECFBADECFB87654321MADECFB【参考答案参考答案】1.证明略提示：方法一：在 AC 上截取 AE=AB，连接 DE，证明ABDAED，再证明 CE=DE；方法二：延长 AB 到 E，使 BE=BD，证明ADEADC2.证明略提示：在 AE 上截取 AF=AD，证明CDACFA，再证明BE=FE3.证明略提示：在 BC 上截取 BF=BA，连接 DF，证明ABDFBD，再证明DFCDEC4.截长法：截长法：证明：如图，在 CF 上截取 CM=BA，连接 DMBDC 为等腰直角三角形，BD=CD1=DCB=45CEAB，BD

12、C=90CEB=BDC=902=34=5 在ABD 和MCD 中45ABMCBDCD ABDMCD（SAS）DA=DM，6=7ADBC7=1=456=458=457=8 在ADF 和MDF 中78DADMDFDF ADFMDF（SAS）AF=MFCF=CM+MF =AB+AF 补短法：补短法：证明：如图，延长 BA 交 CD 的延长线于点 GBDC 为等腰直角三角形GDB=BDC=90，5=45CEABCEB=BDC=901=23=4 在GBD 和FCD 中34GDBFDCDBDC GBDFCD（ASA）BG=CF，DG=DFADBC6=5=457=456=7 在GDA 和FDA 中76DGDFDADA GDAFDA（SAS）AG=AFBG=AB+AGCF=AB+AF1234567GADECFB