第5讲 信源编码：相关信源的编码,信道编码.ppt

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1、信道编码信道编码例如：假设要传送例如：假设要传送例如：假设要传送例如：假设要传送A A、B B两个消息两个消息两个消息两个消息编码一：编码一：编码一：编码一：消息消息消息消息A-“0”A-“0”；消息；消息；消息；消息B-“1”B-“1”若产生错码（若产生错码（若产生错码（若产生错码（“0”0”错成错成错成错成“1”1”或或或或“1”1”错成错成错成错成“0”0”）收端无法发）收端无法发）收端无法发）收端无法发现，该编码无检错纠错能力现，该编码无检错纠错能力现，该编码无检错纠错能力现，该编码无检错纠错能力此此此此时时时时的的的的编码编码编码编码没有冗余没有冗余没有冗余没有冗余编码二：编码二：编

2、码二：编码二：消息消息消息消息A-“0A-“00 0”；消息；消息；消息；消息B-“1B-“11 1”若一位产生错码，变成若一位产生错码，变成若一位产生错码，变成若一位产生错码，变成“01”01”或或或或“10”10”，因，因，因，因“01”“10”01”“10”为禁为禁为禁为禁用码组，收端可发现有错，但无法确定错码位置，不能纠正，用码组，收端可发现有错，但无法确定错码位置，不能纠正，用码组，收端可发现有错，但无法确定错码位置，不能纠正，用码组，收端可发现有错，但无法确定错码位置，不能纠正，增加一位冗余后具有增加一位冗余后具有增加一位冗余后具有增加一位冗余后具有检检检检出一位出一位出一位出一位

3、错码错码错码错码的能力的能力的能力的能力编码三：编码三：编码三：编码三：消息消息消息消息A-“0A-“00000”；消息；消息；消息；消息B-“1B-“11111”传输中产生一位或是两位错码，都将变成禁用码组，具有检出传输中产生一位或是两位错码，都将变成禁用码组，具有检出传输中产生一位或是两位错码，都将变成禁用码组，具有检出传输中产生一位或是两位错码，都将变成禁用码组，具有检出两位错码的能力两位错码的能力两位错码的能力两位错码的能力在产生一位错码情况下，收端可根据在产生一位错码情况下，收端可根据在产生一位错码情况下，收端可根据在产生一位错码情况下，收端可根据“大数大数大数大数”法则进行正确判法

4、则进行正确判法则进行正确判法则进行正确判决，能够纠正这一位错码，该编码具有纠正一位错码的能力决，能够纠正这一位错码，该编码具有纠正一位错码的能力决，能够纠正这一位错码，该编码具有纠正一位错码的能力决，能够纠正这一位错码，该编码具有纠正一位错码的能力在产生两位错码情况下，只具有检错能力在产生两位错码情况下，只具有检错能力在产生两位错码情况下，只具有检错能力在产生两位错码情况下，只具有检错能力这表明增加两位冗余码元后码具有检出两位错码及纠正一位错这表明增加两位冗余码元后码具有检出两位错码及纠正一位错这表明增加两位冗余码元后码具有检出两位错码及纠正一位错这表明增加两位冗余码元后码具有检出两位错码及纠

5、正一位错码的能力码的能力码的能力码的能力上述编码方法被称为重复码，记为上述编码方法被称为重复码，记为上述编码方法被称为重复码，记为上述编码方法被称为重复码，记为(n n,1),1)，编码方法：，编码方法：，编码方法：，编码方法：把每个信息比特把每个信息比特把每个信息比特把每个信息比特u u重复重复重复重复n n遍形成一个码组遍形成一个码组遍形成一个码组遍形成一个码组c c=(=(u u,u u,u u)译码方法：译码方法：译码方法：译码方法：若译码器收到的一个若译码器收到的一个若译码器收到的一个若译码器收到的一个n n个比特码组个比特码组个比特码组个比特码组y y=(=(y yn n-1-1,

6、y yn n-2-2,y y0 0 )，判决码组，判决码组，判决码组，判决码组y y中比特中比特中比特中比特“1 1”和和和和“0 0”的个数：的个数：的个数：的个数：1 1）若比特）若比特）若比特）若比特“1 1”的个数多则判决发送的的个数多则判决发送的的个数多则判决发送的的个数多则判决发送的“1 1”码；码；码；码；2 2）若比特若比特若比特若比特“0 0”的个数多则判决发送的的个数多则判决发送的的个数多则判决发送的的个数多则判决发送的“0 0”码码码码仍然出错的概率（其中仍然出错的概率（其中仍然出错的概率（其中仍然出错的概率（其中p p为信道误码率）：为信道误码率）：为信道误码率）：为信

7、道误码率）：n n表示表示表示表示码组长码组长码组长码组长度，度，度，度，1 1表表表表示信息示信息示信息示信息码码码码元的个数元的个数元的个数元的个数信信信信源源源源编编编编码码码码信信信信道道道道编编编编码码码码发发发发送送送送滤滤滤滤波波波波器器器器接接接接收收收收滤滤滤滤波波波波器器器器信信信信道道道道译译译译码码码码信信信信源源源源解解解解码码码码调调调调制制制制器器器器解解解解调调调调器器器器信信信信源源源源信信信信道道道道信信信信宿宿宿宿信道信道信道信道编码编码编码编码的相关概念：的相关概念：的相关概念：的相关概念：码码码码重、重、重、重、码码码码距等距等距等距等简单简单简单简单

8、的信道的信道的信道的信道编码编码编码编码汉汉汉汉明明明明码码码码循循循循环码环码环码环码卷卷卷卷积码积码积码积码原因：原因：原因：原因：在数字信号的传输过程中，实际信道不理想，存在噪声和干扰，在数字信号的传输过程中，实际信道不理想，存在噪声和干扰，在数字信号的传输过程中，实际信道不理想，存在噪声和干扰，在数字信号的传输过程中，实际信道不理想，存在噪声和干扰，导致接收端的误判，产生差错导致接收端的误判，产生差错导致接收端的误判，产生差错导致接收端的误判，产生差错控制差错的方法：控制差错的方法：控制差错的方法：控制差错的方法：1 1）合理的设计基带信号；）合理的设计基带信号；）合理的设计基带信号；

9、）合理的设计基带信号；2 2）选择调制、解调方式；）选择调制、解调方式；）选择调制、解调方式；）选择调制、解调方式；3 3）均衡技术；）均衡技术；）均衡技术；）均衡技术；4 4）增大发送功率）增大发送功率）增大发送功率）增大发送功率在此基础之上再采用信道编码技术控制差错在此基础之上再采用信道编码技术控制差错在此基础之上再采用信道编码技术控制差错在此基础之上再采用信道编码技术控制差错信道信道信道信道编码编码编码编码的目的的目的的目的的目的添加冗余位添加冗余位添加冗余位添加冗余位信道编码：信道编码：信道编码：信道编码：1 1）保持信息的位数不变的情况下，采用增加码长的方法降低误）保持信息的位数不变

10、的情况下，采用增加码长的方法降低误）保持信息的位数不变的情况下，采用增加码长的方法降低误）保持信息的位数不变的情况下，采用增加码长的方法降低误码率码率码率码率2 2）基本思想：通过对信息码元序列作某种变换：）基本思想：通过对信息码元序列作某种变换：）基本思想：通过对信息码元序列作某种变换：）基本思想：通过对信息码元序列作某种变换：使原来彼此相互独立，没有关联的信息码元序列，经过这种使原来彼此相互独立，没有关联的信息码元序列，经过这种使原来彼此相互独立，没有关联的信息码元序列，经过这种使原来彼此相互独立，没有关联的信息码元序列，经过这种变换后，产生某种规律性或相关性；变换后，产生某种规律性或相关

11、性；变换后，产生某种规律性或相关性；变换后，产生某种规律性或相关性；在接收端可根据这种规律性来检查，或者纠正传输序列中的在接收端可根据这种规律性来检查，或者纠正传输序列中的在接收端可根据这种规律性来检查，或者纠正传输序列中的在接收端可根据这种规律性来检查，或者纠正传输序列中的差错差错差错差错3 3）实现：发送端按照某种规则在信息序列上附加）实现：发送端按照某种规则在信息序列上附加）实现：发送端按照某种规则在信息序列上附加）实现：发送端按照某种规则在信息序列上附加监督码元监督码元监督码元监督码元，接，接，接，接收端则按照同一规则检查两者间关系收端则按照同一规则检查两者间关系收端则按照同一规则检查

12、两者间关系收端则按照同一规则检查两者间关系信源编码信源编码信源编码信源编码：是指将信源中多余的信息除去，即降低冗余度，以提高：是指将信源中多余的信息除去，即降低冗余度，以提高：是指将信源中多余的信息除去，即降低冗余度，以提高：是指将信源中多余的信息除去，即降低冗余度，以提高传输的效率，即有效性编码传输的效率，即有效性编码传输的效率，即有效性编码传输的效率，即有效性编码1 1）去除冗余）去除冗余）去除冗余）去除冗余2 2）提高传输速率）提高传输速率）提高传输速率）提高传输速率信道编码信道编码信道编码信道编码：为了对抗信道中的噪音和衰减，通过增加冗余，来提高：为了对抗信道中的噪音和衰减，通过增加冗

13、余，来提高：为了对抗信道中的噪音和衰减，通过增加冗余，来提高：为了对抗信道中的噪音和衰减，通过增加冗余，来提高抗干扰能力以及纠错能力，即可靠性编码抗干扰能力以及纠错能力，即可靠性编码抗干扰能力以及纠错能力，即可靠性编码抗干扰能力以及纠错能力，即可靠性编码1 1）添加冗余）添加冗余）添加冗余）添加冗余2 2）降低差错率：牺牲通信的有效性（信息传输速率）来提高可）降低差错率：牺牲通信的有效性（信息传输速率）来提高可）降低差错率：牺牲通信的有效性（信息传输速率）来提高可）降低差错率：牺牲通信的有效性（信息传输速率）来提高可靠性靠性靠性靠性因此信道编码又可称为差错控制编码因此信道编码又可称为差错控制编

14、码因此信道编码又可称为差错控制编码因此信道编码又可称为差错控制编码按照差错的类型可将信道分为：按照差错的类型可将信道分为：按照差错的类型可将信道分为：按照差错的类型可将信道分为：1 1）独立随机差错信道）独立随机差错信道）独立随机差错信道）独立随机差错信道差错随机出现，且相互独立，主要有高斯白噪声引起差错随机出现，且相互独立，主要有高斯白噪声引起差错随机出现，且相互独立，主要有高斯白噪声引起差错随机出现，且相互独立，主要有高斯白噪声引起2 2）突发差错信道）突发差错信道）突发差错信道）突发差错信道信道传输的不理想，存在比较大的脉冲干扰导致差错成串出现信道传输的不理想，存在比较大的脉冲干扰导致差

15、错成串出现信道传输的不理想，存在比较大的脉冲干扰导致差错成串出现信道传输的不理想，存在比较大的脉冲干扰导致差错成串出现信道中差信道中差信道中差信道中差错错错错的的的的种种种种类类类类差错控制方式差错控制方式检错重发检错重发能能能能够发现错误够发现错误够发现错误够发现错误的的的的码码码码判决信号判决信号判决信号判决信号发发发发收收收收1.检错检错检错检错重重重重发发发发（ARQARQ）接收端按一定接收端按一定接收端按一定接收端按一定规则对规则对规则对规则对收到的收到的收到的收到的码组进码组进码组进码组进行有无行有无行有无行有无错误错误错误错误的判的判的判的判别别别别。若若若若发现发现发现发现有有

16、有有错错错错，则则则则通知通知通知通知发发发发送端重送端重送端重送端重发发发发，直到正确收到，直到正确收到，直到正确收到，直到正确收到为为为为止止止止具体具体具体具体实现时实现时实现时实现时，通常有，通常有，通常有，通常有3 3种形式种形式种形式种形式2 2发发发发送端：送端：送端：送端：接收端：接收端：接收端：接收端：1 13 33 31 12 24 4ACKACKACKACKNAKNAK发现发现发现发现错误错误错误错误(a a)停止等待停止等待停止等待停止等待重重重重发发发发T Ti iT Tw w1 1）如果未）如果未）如果未）如果未发现错误发现错误发现错误发现错误，则发则发则发则发回回

17、回回ACKACK信号信号信号信号给发给发给发给发送端，送端，送端，送端，发发发发送端收到送端收到送端收到送端收到ACKACK信号再信号再信号再信号再发发发发下一个下一个下一个下一个码组码组码组码组2 2）若）若）若）若检测检测检测检测到到到到错误错误错误错误，则发则发则发则发回回回回NAKNAK信号，信号，信号，信号，发发发发送端收到送端收到送端收到送端收到NAKNAK信号后重信号后重信号后重信号后重发发发发前一前一前一前一码组码组码组码组，并再次等候，并再次等候，并再次等候，并再次等候ACKACK信号或信号或信号或信号或NAKNAK信号信号信号信号发发发发送端：送端：送端：送端：接收端：接收

18、端：接收端：接收端：1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 2 2 3 3 4 41 1 0 0 3 3 4 4 5 5 6 6 2 2 3 3 4 45 5 6 6 7 7 8 8 9 95 5 6 6 7 7 8 8 9 9发现错误发现错误发现错误发现错误NAKNAK从从从从码组码组码组码组2 2开始重开始重开始重开始重发发发发(b b)返回重返回重返回重返回重发发发发1 1）不停地送出一个个）不停地送出一个个）不停地送出一个个）不停地送出一个个连续码组连续码组连续码组连续码组，不再等候收端返回的，不再等候收端返回的，不再等候收端返回的，不再等候收端返回的ACKACK信信信信号，收

19、到到号，收到到号，收到到号，收到到NAKNAK则则则则开始重开始重开始重开始重发发发发2 2）N N的大小取决于信号的大小取决于信号的大小取决于信号的大小取决于信号传递传递传递传递及及及及处处处处理所理所理所理所带带带带来的延来的延来的延来的延时时时时发发发发送端：送端：送端：送端：接收端：接收端：接收端：接收端：1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 2 2 7 7 8 81 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 2 2 7 7 8 89 99 9发现错误发现错误发现错误发现错误NAKNAK重重重重发码组发码组发码组发码组2 2(c c)选择选择选择选择重重重重发发发发与返回重

20、与返回重与返回重与返回重发发发发不同的是，不同的是，不同的是，不同的是，发发发发端并不重端并不重端并不重端并不重发错误码组发错误码组发错误码组发错误码组后的所有后的所有后的所有后的所有码组码组码组码组，而，而，而，而只重只重只重只重发发发发有有有有错错错错的那个的那个的那个的那个码组码组码组码组能够纠正错误的码发收2.2.前向前向前向前向纠错纠错纠错纠错（FECFEC）发发发发送端将信息序列送端将信息序列送端将信息序列送端将信息序列编码编码编码编码成能成能成能成能够纠够纠够纠够纠正正正正错误错误错误错误的的的的码码码码，接收端根据，接收端根据，接收端根据，接收端根据编码编码编码编码规则进规则进

21、规则进规则进行行行行检查检查检查检查，如果有，如果有，如果有，如果有错错错错自自自自动纠动纠动纠动纠正，特点如下：正，特点如下：正，特点如下：正，特点如下：1.1.1.1.不需要反不需要反不需要反不需要反馈馈馈馈信道，特信道，特信道，特信道，特别别别别适合只能提供适合只能提供适合只能提供适合只能提供单单单单向信道向信道向信道向信道场场场场合合合合2.2.2.2.自自自自动纠错动纠错动纠错动纠错，不要求，不要求，不要求，不要求检错检错检错检错重重重重发发发发，延，延，延，延时时时时小，小，小，小，实时实时实时实时性好性好性好性好3.3.3.3.纠错码纠错码纠错码纠错码必必必必须须须须与信道的与信

22、道的与信道的与信道的错误错误错误错误特性密切配合特性密切配合特性密切配合特性密切配合4.4.4.4.若若若若纠错较纠错较纠错较纠错较多，多，多，多，则编则编则编则编、译码设备译码设备译码设备译码设备复复复复杂杂杂杂，传输传输传输传输效率低效率低效率低效率低差错控制方式差错控制方式前向纠错前向纠错能能能能够发现够发现够发现够发现和和和和纠纠纠纠正正正正错误错误错误错误的的的的码码码码发发发发收收收收3.3.混合混合混合混合纠错检错纠错检错纠错检错纠错检错（HECHEC）判决信号判决信号判决信号判决信号 FECFEC与与与与ARQARQ的结合的结合的结合的结合 发端发出同时具有检错和纠错能力的码，

23、收端收到后，检查错发端发出同时具有检错和纠错能力的码，收端收到后，检查错发端发出同时具有检错和纠错能力的码，收端收到后，检查错发端发出同时具有检错和纠错能力的码，收端收到后，检查错误情况：误情况：误情况：误情况：如果错误在纠错能力之内，则自动纠正；如果错误在纠错能力之内，则自动纠正；如果错误在纠错能力之内，则自动纠正；如果错误在纠错能力之内，则自动纠正；若超出纠错能力，但在检错能力之内，则经反向信道要求重发若超出纠错能力，但在检错能力之内，则经反向信道要求重发若超出纠错能力，但在检错能力之内，则经反向信道要求重发若超出纠错能力，但在检错能力之内，则经反向信道要求重发差错控制方式差错控制方式混合

24、混合纠错检错纠错检错信道编码的几个基本概念信道编码的几个基本概念1 1）码重码重码重码重：码字中非零位的数目定义为该码组的重量，即所含：码字中非零位的数目定义为该码组的重量，即所含：码字中非零位的数目定义为该码组的重量，即所含：码字中非零位的数目定义为该码组的重量，即所含“1 1”的个数简称码重，记为的个数简称码重，记为的个数简称码重，记为的个数简称码重，记为WWc c。如。如。如。如“10011”10011”码组的码重为码组的码重为码组的码重为码组的码重为3 32 2）码距码距码距码距：两个码组中对应码位上具有不同二进制码元的位数被定：两个码组中对应码位上具有不同二进制码元的位数被定：两个码

25、组中对应码位上具有不同二进制码元的位数被定：两个码组中对应码位上具有不同二进制码元的位数被定义为两码组的距离，称为汉明（义为两码组的距离，称为汉明（义为两码组的距离，称为汉明（义为两码组的距离，称为汉明（HammingHamming）距离，简称码距，）距离，简称码距，）距离，简称码距，）距离，简称码距，记为记为记为记为d d(c ci i,c cj j)。如两码组。如两码组。如两码组。如两码组“10011”10011”与与与与“11010”11010”间码距为间码距为间码距为间码距为2 23 3）编码效率编码效率编码效率编码效率：指一个码组中信息位所占比重，用指一个码组中信息位所占比重，用指一

26、个码组中信息位所占比重，用指一个码组中信息位所占比重，用 表示表示表示表示 =k k/n n 其中其中其中其中k k为信息码元的数目，为信息码元的数目，为信息码元的数目，为信息码元的数目，n n为码长为码长为码长为码长。值越大表明信息位所占值越大表明信息位所占值越大表明信息位所占值越大表明信息位所占的比重越大，码组传输信息的有效性越高的比重越大，码组传输信息的有效性越高的比重越大，码组传输信息的有效性越高的比重越大，码组传输信息的有效性越高若某信源若某信源若某信源若某信源产产产产生两个符号生两个符号生两个符号生两个符号A A与与与与B B，假，假，假，假设设设设分分分分别别别别用两个用两个用两

27、个用两个长长长长度度度度为为为为4 4的的的的码组码组码组码组（已被信道（已被信道（已被信道（已被信道编码编码编码编码）进进进进行表示：行表示：行表示：行表示：A=0110A=0110；B=1100B=1100，码码码码距距距距d d=2=2，此，此，此，此时时时时只有只有只有只有这这这这两个两个两个两个码组码组码组码组是是是是许许许许用用用用码组码组码组码组，其，其，其，其他他他他4 4位二位二位二位二进进进进制比特位的制比特位的制比特位的制比特位的组组组组合均合均合均合均为为为为禁用禁用禁用禁用码组码组码组码组（不能代表任何消息）（不能代表任何消息）（不能代表任何消息）（不能代表任何消息）

28、1.1.假假假假设这设这设这设这种信道种信道种信道种信道编码编码编码编码方式具有方式具有方式具有方式具有检错检错检错检错能力，下面分析能力，下面分析能力，下面分析能力，下面分析码码码码距与距与距与距与检错检错检错检错能力的关系能力的关系能力的关系能力的关系 1 1）消息）消息）消息）消息A A经过传输经过传输经过传输经过传输后后后后发发发发生一位生一位生一位生一位错误错误错误错误后的情况可能后的情况可能后的情况可能后的情况可能为为为为：A(0110)1110A(0110)1110，00100010，01000100，0111 0111 2 2）消息）消息）消息）消息A A经过传输经过传输经过传

29、输经过传输后后后后发发发发生二位生二位生二位生二位错误错误错误错误后的情况可能后的情况可能后的情况可能后的情况可能为为为为：A(0110)1010A(0110)1010，00000000，01010101，11001100，11111111，0011 0011 A A码组码组码组码组的的的的误码误码误码误码集合中存在集合中存在集合中存在集合中存在许许许许用用用用码组码组码组码组B B，可知，可知，可知，可知该编码该编码该编码该编码方法不能方法不能方法不能方法不能检查检查检查检查二位以上的二位以上的二位以上的二位以上的错误错误错误错误因此因此因此因此编码编码编码编码的的的的检错检错检错检错能力与

30、能力与能力与能力与码码码码距有关距有关距有关距有关最小码距与检、纠错能力关系最小码距与检、纠错能力关系在一个在一个在一个在一个码组码组码组码组集合中，任意两集合中，任意两集合中，任意两集合中，任意两个个个个码组间码组间码组间码组间距离的最小距离的最小距离的最小距离的最小值值值值，即，即，即，即码组码组码组码组集合中任意两元素集合中任意两元素集合中任意两元素集合中任意两元素间间间间的的的的最小距离，最小距离，最小距离，最小距离，记为记为记为记为d dminmin有上述分析可知：假设一个码能检测有上述分析可知：假设一个码能检测有上述分析可知：假设一个码能检测有上述分析可知：假设一个码能检测e e个

31、个个个独立错误独立错误独立错误独立错误，则要求其最小，则要求其最小，则要求其最小，则要求其最小码距码距码距码距 d dminmin e e+1+1反之，若反之，若反之，若反之，若码码的最小距离的最小距离的最小距离的最小距离为为d dminmin，则则最多能最多能最多能最多能检测检测d dminmin-1-1个个个个错码错码若某信源若某信源若某信源若某信源产产产产生两个符号生两个符号生两个符号生两个符号A A与与与与B B，假，假，假，假设设设设分分分分别别别别用两个用两个用两个用两个长长长长度度度度为为为为4 4的的的的码组码组码组码组（已被信道（已被信道（已被信道（已被信道编码编码编码编码）

32、进进进进行表示：行表示：行表示：行表示：A=0110A=0110；B=1000B=1000，码码码码距距距距d d=3=31.1.假假假假设这设这设这设这种信道种信道种信道种信道编码编码编码编码方式具有方式具有方式具有方式具有纠错纠错纠错纠错能力，下面分析能力，下面分析能力，下面分析能力，下面分析码码码码距与距与距与距与纠错纠错纠错纠错能力的关系能力的关系能力的关系能力的关系1 1）若信道中只可能）若信道中只可能）若信道中只可能）若信道中只可能发发发发生一位或两位生一位或两位生一位或两位生一位或两位错误错误错误错误，则则则则消息消息消息消息A A与消息与消息与消息与消息B B经过传输经过传输经

33、过传输经过传输后后后后发发发发生一位生一位生一位生一位错误错误错误错误后的情况分后的情况分后的情况分后的情况分别别别别可能可能可能可能为为为为：A(0110)1110A(0110)1110，00100010，01000100，0111 0111 B(1000)0000B(1000)0000，11001100，10101010，1001 1001 若若若若该该该该种种种种编码编码编码编码方法可以方法可以方法可以方法可以纠纠纠纠正正正正t t=1=1个个个个错误错误错误错误，即，即，即，即d d 2 2t t+1+1，对对对对于上面两个于上面两个于上面两个于上面两个误码误码误码误码集合是没集合是没

34、集合是没集合是没有交集的。有交集的。有交集的。有交集的。因此可以完全的因此可以完全的因此可以完全的因此可以完全的纠错纠错纠错纠错，即可以分，即可以分，即可以分，即可以分别别别别将将将将误码误码误码误码集合中的集合中的集合中的集合中的码码码码字字字字纠纠纠纠正正正正为为为为A A或或或或B B2 2）若信道中最多可以）若信道中最多可以）若信道中最多可以）若信道中最多可以发发发发生两位以内生两位以内生两位以内生两位以内错误错误错误错误，消息，消息，消息，消息A A与消息与消息与消息与消息B B经过传输经过传输经过传输经过传输后后后后发发发发生一位或生一位或生一位或生一位或两位两位两位两位错误错误错

35、误错误后的情况分后的情况分后的情况分后的情况分别别别别可能可能可能可能为为为为：A(0110)A(0110)11101110，00100010，01000100，01110111，10101010，00000000，01010101，11001100，11111111，0011 0011 B(1000)B(1000)00000000，11001100，10101010，1001 1001，01000100，11101110，10111011，10101010，10011001，1101 1101 每个每个每个每个误码误码误码误码集合中前集合中前集合中前集合中前4 4个个个个码组为误码码组为误码

36、码组为误码码组为误码一位的一位的一位的一位的码组码组码组码组，后，后，后，后6 6个位个位个位个位误码误码误码误码两位的两位的两位的两位的码组码组码组码组若若若若该该该该种种种种编码编码编码编码方法可以方法可以方法可以方法可以纠纠纠纠正正正正t t=2=2个个个个错误错误错误错误，即，即，即，即d d 2 2t t+1+1；观观观观察察察察发现发现发现发现两个两个两个两个误码误码误码误码集合存在交集，交集中的集合存在交集，交集中的集合存在交集，交集中的集合存在交集，交集中的码组码组码组码组用相用相用相用相应应应应的的的的颜颜颜颜色色色色标标标标出；出；出；出；两个集合中黑色字体的两个集合中黑色

37、字体的两个集合中黑色字体的两个集合中黑色字体的码组码组码组码组都可以被正确的都可以被正确的都可以被正确的都可以被正确的纠纠纠纠正，但正，但正，但正，但对对对对于其他于其他于其他于其他颜颜颜颜色的色的色的色的码组码组码组码组，比如，比如，比如，比如11101110，它在两个集合中都存在，此，它在两个集合中都存在，此，它在两个集合中都存在，此，它在两个集合中都存在，此时时时时接收端不知道接收端不知道接收端不知道接收端不知道该纠该纠该纠该纠正正正正为为为为A A还还还还是是是是B B。因此当因此当因此当因此当d d 2 t t)纠正纠正纠正纠正t t个错码，同时能检测个错码，同时能检测个错码，同时能

38、检测个错码，同时能检测e e个错码个错码个错码个错码，称为纠检结合，错码数较少时，称为纠检结合，错码数较少时，称为纠检结合，错码数较少时，称为纠检结合，错码数较少时执行纠错方式，错码数较多时执行检错方式执行纠错方式，错码数较多时执行检错方式执行纠错方式，错码数较多时执行检错方式执行纠错方式，错码数较多时执行检错方式有限域的简单知识有限域的简单知识所谓有限域是指包含有限个元素的集合，按照所规定的运算规则运所谓有限域是指包含有限个元素的集合，按照所规定的运算规则运所谓有限域是指包含有限个元素的集合，按照所规定的运算规则运所谓有限域是指包含有限个元素的集合，按照所规定的运算规则运算后的结果仍为集合中

39、的元素算后的结果仍为集合中的元素算后的结果仍为集合中的元素算后的结果仍为集合中的元素编码理论中有限域为编码理论中有限域为编码理论中有限域为编码理论中有限域为0,10,1二元集合，记为二元集合，记为二元集合，记为二元集合，记为GF(2)GF(2)GF(2)GF(2)的加法与乘法：的加法与乘法：的加法与乘法：的加法与乘法：1 1）加法：相同为）加法：相同为）加法：相同为）加法：相同为0 0，相异为，相异为，相异为，相异为1 1；2 2）乘法：除了）乘法：除了）乘法：除了）乘法：除了11=111=1，其他均为，其他均为，其他均为，其他均为0 0二元扩展域，记为二元扩展域，记为二元扩展域，记为二元扩展

40、域，记为GF(2GF(2n n)：由：由：由：由GF(2)GF(2)中的元素构成的长为中的元素构成的长为中的元素构成的长为中的元素构成的长为n n的序列的的序列的的序列的的序列的集合，若集合，若集合，若集合，若 1 1）加法）加法）加法）加法 2 2）乘法）乘法）乘法）乘法二、线性分组码二、线性分组码线性分组码的数学定义：线性分组码的数学定义：线性分组码的数学定义：线性分组码的数学定义：信道编码可表示为由编码前的信息码元空间信道编码可表示为由编码前的信息码元空间信道编码可表示为由编码前的信息码元空间信道编码可表示为由编码前的信息码元空间U Uk k到编码后的码字空到编码后的码字空到编码后的码字

41、空到编码后的码字空间间间间C Cn n的一个映射的一个映射的一个映射的一个映射f f，即：，即：，即：，即：f f：U Uk k C Cn n 其中其中其中其中(n n k k)若若若若f f进一步满足线性关系：进一步满足线性关系：进一步满足线性关系：进一步满足线性关系：则称则称则称则称f f为线性编码映射，若为线性编码映射，若为线性编码映射，若为线性编码映射，若f f为一一对应映射，则称为一一对应映射，则称为一一对应映射，则称为一一对应映射，则称f f为唯一可译线性为唯一可译线性为唯一可译线性为唯一可译线性编码，由编码，由编码，由编码，由f f编写的码编写的码编写的码编写的码c c=(=(c

42、 cn n-1-1c cn n-2-2c c0 0)称为线性分组码，称为线性分组码，称为线性分组码，称为线性分组码，u u=(=(u un n-1-1u un n-2-2 u u0 0)为编码前的信息分组，其中为编码前的信息分组，其中为编码前的信息分组，其中为编码前的信息分组，其中k k为信息位数，为信息位数，为信息位数，为信息位数，n n为码长，其编码效为码长，其编码效为码长，其编码效为码长，其编码效率为率为率为率为=k k/n n数学定义的解释：数学定义的解释：数学定义的解释：数学定义的解释：1 1）“线性线性线性线性”是指码组中码元之间的约束关系为线性；是指码组中码元之间的约束关系为线性

43、；是指码组中码元之间的约束关系为线性；是指码组中码元之间的约束关系为线性；2 2）“分组分组分组分组”是在编码时将每是在编码时将每是在编码时将每是在编码时将每k k个信息位分为一组进行独立处理；个信息位分为一组进行独立处理；个信息位分为一组进行独立处理；个信息位分为一组进行独立处理；3 3）将其变换成长度为）将其变换成长度为）将其变换成长度为）将其变换成长度为n n（n n k k）的二进制码组，一般称为（）的二进制码组，一般称为（）的二进制码组，一般称为（）的二进制码组，一般称为（n n,k k）线性分组码线性分组码线性分组码线性分组码线性分组码的特征：线性分组码的特征：线性分组码的特征：线

44、性分组码的特征：1 1）加法封闭性：码组集合中任意两个码组相加仍为集合中的一）加法封闭性：码组集合中任意两个码组相加仍为集合中的一）加法封闭性：码组集合中任意两个码组相加仍为集合中的一）加法封闭性：码组集合中任意两个码组相加仍为集合中的一个许用码组；个许用码组；个许用码组；个许用码组；2 2）全零序列是线性分组码中的一个码字；）全零序列是线性分组码中的一个码字；）全零序列是线性分组码中的一个码字；）全零序列是线性分组码中的一个码字；3 3）码组集合中码组之间的最小码距等于某非零码字的最小码重）码组集合中码组之间的最小码距等于某非零码字的最小码重）码组集合中码组之间的最小码距等于某非零码字的最小

45、码重）码组集合中码组之间的最小码距等于某非零码字的最小码重偶监督偶校验码偶监督偶校验码偶监督偶校验码偶监督偶校验码发送端编码：将一位监督码元附加在信息码元后，使得码组中发送端编码：将一位监督码元附加在信息码元后，使得码组中发送端编码：将一位监督码元附加在信息码元后，使得码组中发送端编码：将一位监督码元附加在信息码元后，使得码组中“1”1”码元个数为偶数（偶监督）码元个数为偶数（偶监督）码元个数为偶数（偶监督）码元个数为偶数（偶监督）接收端译码校验：接收端译码校验：接收端译码校验：接收端译码校验：1 1）计数接收码组中）计数接收码组中）计数接收码组中）计数接收码组中“1”1”码元个数是否为偶数，

46、即计算码元个数是否为偶数，即计算码元个数是否为偶数，即计算码元个数是否为偶数，即计算 S S=a an-1n-1+a an-2n-2+a a0 0 2 2）S S=0=0认为没错，认为没错，认为没错，认为没错，S S=1=1认为有错认为有错认为有错认为有错 3 3）上式称为监督方程（监督关系式），其中）上式称为监督方程（监督关系式），其中）上式称为监督方程（监督关系式），其中）上式称为监督方程（监督关系式），其中S S 称为校正子（校验称为校正子（校验称为校正子（校验称为校正子（校验子、伴随式）子、伴随式）子、伴随式）子、伴随式）4 4）S S只能判断有错无错，而不能纠错只能判断有错无错，而不

47、能纠错只能判断有错无错，而不能纠错只能判断有错无错，而不能纠错汉明码的构造汉明码的构造 假设有假设有假设有假设有1 1个信息码组由个信息码组由个信息码组由个信息码组由4 4位二进制位组成，在其后添加位二进制位组成，在其后添加位二进制位组成，在其后添加位二进制位组成，在其后添加3 3位二进制位位二进制位位二进制位位二进制位作为监督码元，最后所组成的码组表示为：作为监督码元，最后所组成的码组表示为：作为监督码元，最后所组成的码组表示为：作为监督码元，最后所组成的码组表示为：c c=(=(u u6 6u u5 5u u4 4u u3 3c c2 2c c1 1c c0 0)并且令：并且令：并且令：并

48、且令：1 1）c c2 2监督监督监督监督u u6 6 u u5 5 u u4 4，即，即，即，即 2 2）c c1 1监督监督监督监督u u6 6 u u5 5 u u3 3，即，即，即，即 3 3）c c0 0监督监督监督监督u u6 6 u u4 4 u u3 3，即，即，即，即接收端译码校验，得到监督方程：接收端译码校验，得到监督方程：接收端译码校验，得到监督方程：接收端译码校验，得到监督方程：对于上式，若无错误发生，三个校验子均为对于上式，若无错误发生，三个校验子均为对于上式，若无错误发生，三个校验子均为对于上式，若无错误发生，三个校验子均为0 0；假设传输过程中有且仅有一位发；假设

49、传输过程中有且仅有一位发；假设传输过程中有且仅有一位发；假设传输过程中有且仅有一位发生错误：生错误：生错误：生错误：1 1）若）若）若）若c c0 0发生错误，观察监督方程，则三个校验子发生错误，观察监督方程，则三个校验子发生错误，观察监督方程，则三个校验子发生错误，观察监督方程，则三个校验子S S2 2 S S1 1 S S0 0的组合为的组合为的组合为的组合为001001；2 2）若）若）若）若c c1 1发生错误，发生错误，发生错误，发生错误，S S2 2 S S1 1 S S0 0=010=010；3 3）若）若）若）若c c2 2发生错误，发生错误，发生错误，发生错误，S S2 2

50、S S1 1 S S0 0=100=100；4 4）若）若）若）若u u3 3发生错误，发生错误，发生错误，发生错误，S S2 2 S S1 1 S S0 0=011=011；5 5）若）若）若）若u u4 4发生错误，发生错误，发生错误，发生错误，S S2 2 S S1 1 S S0 0=101=101；6 6）若）若）若）若u u5 5发生错误，发生错误，发生错误，发生错误，S S2 2 S S1 1 S S0 0=110=110；7 7）若）若）若）若u u6 6发生错误，发生错误，发生错误，发生错误，S S2 2 S S1 1 S S0 0=111=111；因此依据监督关系式因此依据监