自测习题(4).ppt

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1、高等数学总复习高等数学总复习 自测习题自测习题 v填空题填空题v选择题选择题v计算题计算题v综合综合 应用应用 证明题证明题v综合综合 应用应用 证明题证明题解解 原式原式 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 v综合综合 应用应用 证明题证明题解解 在在 x=0 处连续处连续 v综合综合 应用应用 证明题证明题令令 得得 代入原方程得代入原方程得 驻点为驻点为 x=1(y=1).x=1 为极小值点为极小值点.解解 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (1)(1)式两边对式两边对 x 求导

2、得求导得 将将 x=y=1,代入得代入得 v综合综合 应用应用 证明题证明题周长为周长为 唯一驻点唯一驻点最大周长为最大周长为 解解 如图示如图示:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 v综合综合 应用应用 证明题证明题解解 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 v综合综合 应用应用 证明题证明题解解 原式原式 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 v综合综合 应用应用 证明题证明题解解 (1)(2)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 v综合综合 应用应用 证明题证明题解解 机动机动 目录目录 上页上页

3、下页下页 返回返回 结束结束 OA方程为方程为 v综合综合 应用应用 证明题证明题唯一驻点唯一驻点最大体积为最大体积为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解 OA方程为方程为 v综合综合 应用应用 证明题证明题机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 提升抓斗中的污泥提升抓斗中的污泥:克服缆绳重克服缆绳重:抓斗升至抓斗升至 x 处所需时间处所需时间:克服抓斗自重克服抓斗自重:解解 作作 x 轴如图轴如图.将抓起污泥的抓斗由将抓起污泥的抓斗由x 提升提升 dx 所所作的功为作的功为 v综合综合 应用应用 证明题证明题机动机动 目录目录 上页上页 下页下

4、页 返回返回 结束结束 v综合综合 应用应用 证明题证明题记记则则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 v综合综合 应用应用 证明题证明题设设 由由夹逼法夹逼法得得 证明证明则则 由此可知由此可知显然显然机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 v综合综合 应用应用 证明题证明题证明证明 令令 由由零点定理零点定理在在(a,b)内存在内存在 x0 使使 F(x0)=0,则则 设在设在(a,b)内存在方程内存在方程 f(x)=x 的另一根的另一根 x1,即即 F(x1)=0.x0 即为即为方程方程 f(x)=x 的一个根的一个根.由由罗尔定理罗尔定理在在

5、x0 与与 x1 之间存在之间存在 c 使使矛盾矛盾.所以方程所以方程 f(x)=x 在在(a,b)内有且仅有内有且仅有一个根一个根.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 用罗尔定理证明方程用罗尔定理证明方程 F (x)=0 在在(a,b)内存在根内存在根分析分析化为化为猜测猜测v综合综合 应用应用 证明题证明题机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证明证明 令令由由罗尔定理罗尔定理,使得使得因此必定有因此必定有则则v综合综合 应用应用 证明题证明题机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 v综合综合 应用应用 证明题证明题机动机动

6、 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证明证明设点设点 A,B 的坐标分别为的坐标分别为(a,f(a),(b,f(b),由题设由题设,过曲线过曲线 y=f(x)上点上点 A 的切线斜率为的切线斜率为不妨设不妨设 ab,因因 f(x)二阶可导二阶可导,由拉格朗日中值定理由拉格朗日中值定理,在在(a,b)内存在一点内存在一点 h h,使使再由罗尔定理再由罗尔定理,在在(a,h h)内存在一点内存在一点 x x,使使证法一证法一令令得得驻驻点点即得所证即得所证.v综合综合 应用应用 证明题证明题机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 令令单调减少单调减少 即即因此因

7、此于是于是,v综合综合 应用应用 证明题证明题证法二证法二机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 曲曲线线v综合综合 应用应用 证明题证明题证法三证法三为为凸曲凸曲线线.如如图图示示:线线段段 OA 的方程的方程为为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证明证明令令得得驻驻点点当当 0 x e 时时,值值域域为为在在上上单调单调减少减少,v综合综合 应用应用 证明题证明题机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 当当 k e-1 时时,方程方程 lnx=kx 无无实实根根;当当 k=e-1 时时,方程方程 lnx=kx 有一个有一个实实根根;当当 0 k 1 时时,v综合综合 应用应用 证明题证明题证明证明 令令则则即得所即得所证证.由积分中值定理由积分中值定理f(x)在在 上的平均值上的平均值机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 v综合综合 应用应用 证明题证明题证明证明机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 v综合综合 应用应用 证明题证明题证明证明 由由积分中值定理积分中值定理,在在(0,1)内存在内存在 x0 使得使得由由罗尔定理罗尔定理,在在(0,x0)内存在内存在 c 使得使得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束