第一章数制与码制 逻辑代数基础.ppt

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1、第一,二章讲授者：徐新民讲授者：徐新民Email:Email: 数字电路数字电路 教材：教材：1 1、数字电子技术基础数字电子技术基础 阎阎 石石 主编主编2 2、脉冲电路脉冲电路 何小艇何小艇 主编主编3 3、FPGAFPGA原理、设计和应用原理、设计和应用赵雅兴主编赵雅兴主编4 4、数字系统设计和数字系统设计和VerilogVerilog HDL HDL王金明主编王金明主编 2022/12/19第1页第一,二章第2页第一章第一章 逻辑代数基础逻辑代数基础 概述概述 -数制数制 -编码编码三种基本运算三种基本运算基本公式和常用公式基本公式和常用公式逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法公式

2、化简法公式化简法卡诺图化简法卡诺图化简法具有无关项的具有无关项的逻辑函数化简逻辑函数化简2022/12/19第一,二章数字信号和模拟信号数字信号和模拟信号模拟信号：表示模拟量的信号，如：热电偶的电压信号(温度变化时，电压随之改变)。数字信号：表示数字量的电信号1.1 概述1.1.1数字量和模拟量数字量和模拟量模拟量：模拟量：在时间上和数量上都是连续的物理量，如：温度、压力、距离和时间等。数字量：数字量：在时间上和数量上都是离散的物理量，如：自动生产线上的零件记录量，台阶的阶数2022/12/19第3页第一,二章第4页1.1.2 1.1.2 数制和编码数制和编码1.十进制：日常生活和工作最常使用

3、的进位计数制，在十进制中，每一位有09十个数码，所以计数的基数是十。超过9的数必须用多位表示，其中低位与相邻高位的关系是“逢十进一”。例：十进制数的一般形式十进制数的一般形式：同样可得同样可得,N,N进制数的一般形式进制数的一般形式：Ni为第为第i i位的位的权权；ki为第为第i i位的系数；位的系数；N为计数为计数基数基数。一、数制一、数制143.75=110241013100710151022022/12/19第一,二章第5页 十六进制十六进制中有16个数字：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F；每位的权为16的幂 二进制中有2个数字：0、1；每位的权为2的幂10

4、1.11=1220211201211222.2.二进制二进制：同一个数值的二进制表示比十进制位数多，故常采用八进制和十六进制。3.3.二进制的缩写形式：二进制的缩写形式：八进制和十六进制八进制和十六进制 八进制八进制中有8个数字：0、1、2、3、4、5、6、7；每位的权为8的幂2022/12/19第一,二章第6页1 1.非十进制换成十进制非十进制换成十进制方法：展开相加即可展开相加即可2 2.十进制换成其他进制十进制换成其他进制方法：整数部分采用基数除法基数除法，小数部分采用基数乘法基数乘法。例1：(1011.01)2 =1*23+0*22+1*21+1*20+0*2-1+1*2-2=(11.

5、25)10二、数制转换：二、数制转换：例2：(463)8=4*82+6*81+3*80=(307)10例3：(2FA.2)16=2*162+15*161+10*160+2*16-1=(762.125)102022/12/19第一,二章第7页1731286低位高位余数 0.8125 2(1).6250 2(1).2500 2(0).5000 2(1).0000高位低位(173)10=(10101101)2(0.8125)10=(0.1101)2例例4 4：(173.8125)10=（？）2243211052222221200110101=(10101101.1101)22022/12/19第一,

6、二章第8页5433616160低位高位余数 0.3916(6).2416(3).8416(13).4416(7).04高位低位(54)10=(36)16(0.39)10=(0.63D7)16例5：(54.39)10=(=(？)1616=(36.63D7)=(36.63D7)16162022/12/19第一,二章第9页3.3.二进制八进制之间的转换二进制八进制之间的转换方法：3位二进制数刚好等于1位八进制数（一）二进制转换成八进制（一）二进制转换成八进制例例6 6 二进制：（二进制：（110011101.011110011101.011）2 2=（110 011 101.011110 011 1

7、01.011）2 2 =（635.3635.3）8 8 例例7 7 二进制二进制 （10011101.0110011101.01）2 2=（0 010 011 101.0110 011 101.010 0）2 2 =（235.2235.2）8 8（二）八进制转换成二进制（二）八进制转换成二进制例例8 8 八进制：（八进制：（345.1345.1）8 8=（0 011 100 101.00111 100 101.001）2 22022/12/19第一,二章第10页4.4.二进制十六进制相互转换二进制十六进制相互转换方法：4位二进制数刚好等于1位十六进制数例例9 9 二进制：二进制：（111101

8、000.011111101000.011）2 2 =（0001 1110 1000.01100001 1110 1000.0110）2 2 =（1E8.61E8.6）1616（二）十六进制转换成二进制（二）十六进制转换成二进制例例10 10 十六进制：（十六进制：（AF.26AF.26）1616 =（1010 1111.0010 01101010 1111.0010 0110）2 2（一）二进制转换成十六进制一）二进制转换成十六进制2022/12/19第一,二章第11页三、编码三、编码3.3.编码方法：编码方法：方法很多，常用如下表所示。方法很多，常用如下表所示。1 1.定义：定义：用二进制数

9、表示文字、符号等信息的过程。用二进制数表示文字、符号等信息的过程。2.BCD2.BCD码码（二十进制编码）：（二十进制编码）：用用4 4位二进制数码表示十进制数的位二进制数码表示十进制数的0 09 9十个数字的编码方法。十个数字的编码方法。2022/12/19第一,二章第12页(1)8421 BCD码码各位权值依次为8、4、2、1。特点：特点：1010、1011、1100、1101、1110和1111为禁用码组。每个码组的二进制值与所表示的十进制一致。（直观）2022/12/19第一,二章第13页(2)2421 BCD码码特点：特点：各位权值依次为2、4、2、1。2022/12/19第一,二章

10、第14页(3)余余3码码特点：特点：例11：5+8便于加法（自动进位）。无权码；每个码组的二进制值与所表示的十进制大3。8421BCD 0101 (5)+1000 (8)1101(禁用码）禁用码）（1）0011+0110（修正修正）进位结论：结论：用电路实现时，余用电路实现时，余3码加法码加法速度速度快（快（进位快进位快)。(1)0011 1000 （5）+1011 （8）进位余余3码码2022/12/19第一,二章第15页(4)余余3 3循环码循环码无权码；每个码组的循环码值与所表示的十进制（循环码）大3。例12：分别用各种BCD码表示（11011001）2（11011001）2=1316+

11、9=217=（10 0001 0111）8421BCD=（10 0001 1101）2421BCD=（0101 0100 1010）余3码=（0111 0110 1111）余3循环码特点：特点：相邻码组（包括0与9）只有一个码 元发生变化。2022/12/19第一,二章第16页四、格雷码（循环码）四、格雷码（循环码）四位格雷码如右表：1.特点：相邻码组（包括0与15）只有一个码元发生变化2.构成方法：镜像法1位格雷码 0 12位格雷码 01镜面100011（0）（1）（2）（3）3位格雷码 00011110镜面1011010000001111（0）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）20

12、22/12/19第一,二章第17页3.3.二进制与格雷码的转换二进制与格雷码的转换二进制Bn-1 Bn-2B0;格雷码Rn-1 Rn-2R0.（1）二进制-格雷码例13：（1011）2=（？）G1 0 1 11110（1011）2=（1110）G（2）格雷码-二进制例14：（1110）G=（？）21 1 1 01011（1110）G=（1011）22022/12/19第一,二章第18页1.2 逻辑代数中的三种基本运算逻辑代数中的三种基本运算变量取值：命题正确1；命题错误 0.二、逻辑函数二、逻辑函数定义：复杂的逻辑命题，逻辑函数取值受（多输入）逻辑变量控 制。即Y=F（A,B,C).一、逻辑变

13、量一、逻辑变量定义：定义：简单的逻辑命题,内容可对可错，但不能模棱两可。设定变量：逻辑代数定义的变量，并用字母A、B、C、表示例：“开关S断开”为逻辑命题。“开关S可能断开”就不是逻辑命题2022/12/19第一,二章第19页三、逻辑代数中的三种基本运算（与、或、非）三、逻辑代数中的三种基本运算（与、或、非）1 1、逻辑与（逻辑乘）、逻辑与（逻辑乘）：AB+Y_定义：定义：只有决定事物结果的只有决定事物结果的全部条件全部条件同时具备时，结果才发生同时具备时，结果才发生。条件：开关A合上（变量A）、开关B合上（变量B）结果：灯Y亮（Y是A、B的函数）真值表表达式：“与”运算规律与门ABY&国标国

14、标ABY国外常用国外常用2022/12/19第一,二章第20页2 2、逻辑或（逻辑加）：、逻辑或（逻辑加）：定义：定义：在决定事物结果的诸条件中只要有在决定事物结果的诸条件中只要有一个或一个以上一个或一个以上满足，结果就会发生。满足，结果就会发生。条件：开关A合上（变量A）、开关B合上（变量B）结果：灯Y亮（Y是A、B的函数）真值表表达式：“或”运算规律或门+_ABYABY1国标国标ABY国外常用国外常用2022/12/19第一,二章第21页3 3、逻辑非：、逻辑非：定义：定义：只要条件具备了，结果便不会发生。只要条件具备了，结果便不会发生。而此条件不具备时，结果一定发生而此条件不具备时，结果

15、一定发生条件：开关A合上（变量A）结果：灯Y亮（Y是A的函数）真值表表达式：“非”运算规律非门AY1国标国标AY国外常用国外常用A+Y_E2022/12/19第一,二章第22页四、几种常用的逻辑运算2.“或非”运算：1.“与非”运算：3.“与或非”运算：ABYABY1AB&CDY1ABY&国标国标ABY国外常用国外常用2022/12/19第一,二章第23页AB&CDY12022/12/19第一,二章第24页4.“异或异或”运算：运算：表达式：真值表：逻辑符号特性（1）奇校验:变量值是1的变量个数变量个数为奇数ABY=1ABY2022/12/19第一,二章第25页5.“同或同或”运算：运算：表达

16、式：真值表：逻辑符号特性（1）“0”的偶校验变量值是0的变量个数为偶数Y=ABABY=ABYY=AB C2022/12/19第一,二章第26页1.3 1.3 基本公式和常用公式基本公式和常用公式1.3.1 基本公式返返回回2022/12/19第一,二章2022/12/19第27页基本公式验证方法：真值表基本公式验证方法：真值表例：证明反演律结论：变量A、B的任意取值组合，等式两边均相等，所以等式成立。第一,二章第28页1.3.2若干常用公式公式证明公式证明一、式21:=A二、式22：=A+B分配律三、式24:返返回回2022/12/19第一,二章第29页1.4 1.4 逻辑代数的基本定理逻辑代

17、数的基本定理1.4.1 代入定理:1、含有变量A的等式所有变量A，用函数Y代替新的等式成立2、应用：反演律的扩展用Y=B+C代替结论：结论：2022/12/19第一,二章第30页1.4.2 反演反演定理定理:求反函数函数Y反函数原变量反变量，反变量原变量用反演律用反演律：用反演定理用反演定理：注意运算次序：如上例，若不注意，会得到错误结果避免方法：加括号原变量：A,B,C反变量：概念：概念：2022/12/19第一,二章第31页1.4.2 对偶定理函数Y变量名不变新函数等式的对偶等式成立注意运算次序一、对偶函数Y与互为对偶函数例：Y=A+BC=A（B+C）二、对偶定理：乘对加分配律：加对乘分配

18、律：互为对偶等式前面介绍的前面介绍的基本公式基本公式和和常用公式常用公式都是成双成对：对偶都是成双成对：对偶2022/12/19第一,二章第32页四种表示方法：真值表，函数式，逻辑图，卡诺图1.5 1.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法+ABCY等效电路图1.5.1 逻辑函数逻辑函数 例举重裁判电路，规则：在一名主裁判和两名副裁判中，必须有两人以上（而且必须包括主裁判）认定运动员动作合格，试举才算成功。逻辑抽象：输出：指示灯Y，Y=1表示灯亮，Y=0表示灯亮.输入：主裁判开关A、两名副裁判开关分别B、C；开关闭合变量取1，开关断开变量取0.显然，Y是A、B、C的函数：Y=F(A,B,

19、C)2022/12/19第一,二章第33页逻辑函数式：Y=A(B+C)三、逻辑图1.5.2 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法一、真值表输 入输出 YA B C0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 1二、表达式灯亮两个条件：1、B和C至少有一个合上：B+C2、A合上：AABCY1&“或或”关系关系必须同时满足“与与”关系关系2022/12/19第一,二章第34页四、各种方法间的相互转换四、各种方法间的相互转换1 1、从真值表写出函数式：从真值表写出函数式：输 入输出 YA B C0 0 0 00 0 1 00 1 0

20、 00 1 1 01 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 1方法：方法：找出真值表中使找出真值表中使Y Y1 1的变量输入组合的变量输入组合（Y Y1 1的条件）的条件）写出表达式：上述条件只要一个满足，写出表达式：上述条件只要一个满足，Y Y1 1。“或或”关系关系A=1、B=0、C=1：A=1、B=1、C=0：A=1、B=1、C=1：其它的方式的转换呢其它的方式的转换呢2022/12/19第一,二章第35页1.5.3 逻辑函数的两种标准形式：逻辑函数的两种标准形式：最小项之和与最大项之积最小项之和与最大项之积(1)(1)定义：定义：一、一、最小项与最大项最小项与最大项1.最小

21、项最小项 设有设有n n个逻辑变量，由它们组成具有个逻辑变量，由它们组成具有n n个变量的个变量的与项与项中，每个变量以原变量或中，每个变量以原变量或反变量的形式出现一次且仅出现一次，则称这个与项为最小项。反变量的形式出现一次且仅出现一次，则称这个与项为最小项。例：三变量A、B、C，八个八个与项与项为三变量的八个最小项。为三变量的八个最小项。而不是三变量的三变量的最小项。(2)(2)表示方法：表示方法：最小项记作最小项记作mi,其中其中i=0(2n-1)。i取值取值：最小项取值为：最小项取值为1 1时，各输入变量的取值看成二进制数，其对应的时，各输入变量的取值看成二进制数，其对应的十进制数十进

22、制数i i作为最小项的编号。作为最小项的编号。对于对于n n个变量来说，可有个变量来说，可有2 2n n个个最小最小项；项；ABC取值为101，例：使例：使为1时，记为记为m5所以2022/12/19第一,二章第36页任意两个最小项之积为0；即：(3)(3)真值表：以三变量为例真值表：以三变量为例 A B C0 0 0100000000 0 1010000000 1 0001000000 1 1000100001 0 0000010001 0 1000001001 1 0000000101 1 100000001(4)(4)性质：性质：只有一种变量取值使mi=1；全体最小项之和为1；2022/

23、12/19第一,二章第37页（5）用最小项表示逻辑函数用最小项表示逻辑函数(逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式)输 入输出 YA B C0 0 0 0f(0)0 0 1 0f(1)0 1 0 1f(2)0 1 1 1f(3)1 0 0 1f(4)1 0 1 0f(5)1 1 0 0f(6)1 1 1 1f(7)（6 6）逻辑函数的通式：）逻辑函数的通式：n个输入变量X=i时的函数值最小项例对应左边的真值表：最小项之和与真值表关系最小项之和与真值表关系2022/12/19第一,二章第38页2.最大项最大项(1)(1)定义：定义：设有设有n n个逻辑变量，由它们组成具有个逻辑变量，由它们组成具有

24、n n个变量的个变量的或项或项中，每个变量以原变量或中，每个变量以原变量或反变量的形式出现一次且仅出现一次，则称这个或项为最大项。反变量的形式出现一次且仅出现一次，则称这个或项为最大项。例：三变量A、B、C，共有而不是三变量的最大项。(2)(2)表示方法：表示方法：最大项记作最大项记作Mi,其中其中i=0(2n-1)。i取值取值：最大项取值为：最大项取值为0 0时，各输入变量的取值看成二进制数，其对应的时，各输入变量的取值看成二进制数，其对应的十进制数十进制数i i作为最大项的编号。作为最大项的编号。对于对于n n个变量来说，可有个变量来说，可有2 2n n个最大项；个最大项；例：使例：使为0

25、时，ABC取值为010，所以记为M2八个与项为最大项。2022/12/19第一,二章第39页任意两个最大项之和为1；即：(3)(3)真值表：以三变量为例真值表：以三变量为例 A B C0 0 0011111110 0 1101111110 1 0110111110 1 1111011111 0 0111101111 0 1111110111 1 0111111011 1 111111110(4)(4)性质：性质：只有一种变量取值使Mi=0；全体最大项之积为0；2022/12/19第一,二章第40页（5）用最大项表示逻辑函数(逻辑函数的标准形式)输 入输出 YA B C0 0 0 0f(0)0

26、0 1 0f(1)0 1 0 1f(2)0 1 1 1f(3)1 0 0 0f(4)1 0 1 1f(5)1 1 0 1f(6)1 1 1 1f(7)（6）逻辑函数的通式n个输入变量X=i时的函数值最大项例对应左边的真值表：最大项之积与真值表关系最大项之积与真值表关系2022/12/19第一,二章第41页例例2 23.最大项与最小项的关系最大项与最小项的关系Mi与与mi互补关系互补关系4.4.逻辑函数的两种标准形式的相互转换，逻辑函数的两种标准形式的相互转换，例例3 3例例12022/12/19第一,二章第42页1.6 逻辑函数的函数的公式化简法1.6.1逻辑函数的最简形式逻辑函数的最简形式一

27、.化简目的：简化电路简化电路。例：与是同一逻辑函数。显然实现后者电器简单得多。二.逻辑函数的最简逻辑函数的最简“与或与或”形式形式与与项最少，而且与项中的因子最少。三.逻辑函数的最简逻辑函数的最简“或与或与”形式形式或或项最少，而且或项中的因子最少。2022/12/19第一,二章第43页1.6.2常用的公式化简方法常用的公式化简方法例1.6.7：例1.6.9：公式法化简的缺点：1.难；2.难以判断是否最简。解决方法：解决方法：卡诺图法。卡诺图法。2022/12/19第一,二章第44页图2 三变量的卡诺图图3 四变量的卡诺图图1 二变量的卡诺图1.7逻辑函数的卡诺图化简法1.7.1逻辑函数的卡诺

28、图表示法一、卡诺图1.结构：正方形或矩形格雷码坐标每个小方格代表1个mi或Mi。2022/12/19第一,二章第45页2.卡诺图特点：（1）优点：几何相邻逻辑相邻逻辑相邻：两个 mi或Mi只有一个变量发生变化。发生变化的变量是互补，因此逻辑相邻的mi或Mi是可合并，例：ABC与是逻辑相邻，可合并AC.几何相邻：相接：相对:相重:五变量和六变量卡诺图时介绍。（2）缺点：最多只能适用六变量。和m15（ABCD）例m13和m10例m82022/12/19第一,二章第46页二、用卡诺图表示逻辑函数例：最小项卡诺图最大项卡诺图10 xx=（8，9，10，11）01x0=（4，6）1x11=（11，15）

29、m12022/12/19第一,二章第47页1.7.2 用卡诺图化简逻辑函数一、合并最小项的规则1.若两个最小项相邻，则可合并为一项并消去一个因子。2.若四个最小项相邻并排成矩形组，则可合并为一项并消去二个因子。2022/12/19第一,二章第49页圈法次序：先圈大圈？检查：发现大圈为冗余。6个圈，没有冗余。最简？不是！但无法检查。1.先弱后强。弱者：只有一种圈法。原则：红“1”为强，黑“1”为弱2.都强：先画一圈，然后先弱后强。m1的两种圈法结论：结论：用卡诺图化简，没有多余的圈，不一定最简用卡诺图化简，没有多余的圈，不一定最简。2022/12/19第一,二章第50页三、五变量的卡诺图相重：相

30、重：以中心线左右对折，重合在一起的最小项相邻，例：m27与m30、m11与m15左右可看成两个四变量的卡诺图：m31与m28、m8与m10可看成相对。两种画法六变量的卡诺图不再介绍2022/12/19第一,二章第51页四 最大项卡诺图的化简原则与最小项卡诺图相同，结果为最简“或-与”式注意：或与式0：原变量；1：反变量。2022/12/19第一,二章第52页1.8 具有无关项的逻辑函数化简例：水箱有A、B、C三个水位检测元件，只有当水面低于检测元件时，检测元件输出高电平。1.8.1 无关项约束项任意项1、约束项A、B、C只是000（高于A）、100（A、B之间）、110（B、C之间）、111（低于C）当中的某一种，而不能是001、010、011、101中的任何一种。因此，上例ABC取值必须满足：或上式称为约束条件，而称为约束项。2、任意项：某些变量取值下，函数取值1和0皆可。在这些变量取值下，其值等于1的最小项为任意项.2022/12/19第一,二章第53页3 无关项的表示方法（1）表达式或：或：（2）真值表、卡诺图无关项在真值表、卡诺图中用“”或“”表示方法2022/12/19第一,二章第54页1.8.2 用卡诺图化简具有无关项的逻辑函数原则“”取值：有利于化简。在一个卡诺图中“”既可取1，也可取02022/12/19