合情推理归纳推理与类比推理.pptx

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1、华罗庚教授曾举过一个例子：华罗庚教授曾举过一个例子：从一个袋子里摸出来一个红玻璃球，第二个是红玻璃球，从一个袋子里摸出来一个红玻璃球，第二个是红玻璃球，甚至第三个、第四个、第五个都是红玻璃球的时候，我们甚至第三个、第四个、第五个都是红玻璃球的时候，我们立刻会出现一种猜想：立刻会出现一种猜想：“是不是袋里的东西全部都是红玻是不是袋里的东西全部都是红玻璃球？璃球？”但是，当我们有一次摸出一个白玻璃球的时候，但是，当我们有一次摸出一个白玻璃球的时候，这个猜想失败了；这时我们会出现另外一个猜想：这个猜想失败了；这时我们会出现另外一个猜想：“是不是不是袋里的东西全部都是玻璃球？是袋里的东西全部都是玻璃球

2、？”但是，当我们有一次摸但是，当我们有一次摸出一个木球的时候，这个猜想又失败了；那时我们又会出出一个木球的时候，这个猜想又失败了；那时我们又会出现第三个猜想：现第三个猜想：“是不是袋里的东西全部都是球？是不是袋里的东西全部都是球？”这个这个猜想对不对，还必须加以检验猜想对不对，还必须加以检验从上面的情境中，我们看到了探索活动是一个不断地提出猜想验证猜想再提出猜想再验证猜想的过程第1页/共46页已知的判断已知的判断新的判断新的判断确定确定 根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫推理推理.第2页/共46页问题情境问题情境11

3、、对自然数、对自然数n，考，考查查n012345611111331172341都是质数结论：结论：对所有的自然数对所有的自然数n，都是质数。都是质数。第3页/共46页2、前提前提：矩形的对角线的平方等于其长和宽的平：矩形的对角线的平方等于其长和宽的平方和。方和。结论结论：长方体的对角线的平方等于其长、宽、：长方体的对角线的平方等于其长、宽、高的平高的平 方和。方和。3、前提前提：所有的树都是植物，：所有的树都是植物，梧桐是树。梧桐是树。结论结论：梧桐是植物。：梧桐是植物。思考思考:这三个情境有什么共同特这三个情境有什么共同特点？点？这三个情境各什么特点？这三个情境各什么特点？都由前提和结论两都

4、由前提和结论两部分构成部分构成推理的结构形式推理的结构形式有不同的特点有不同的特点推理推理第4页/共46页推理：推理：从一个或几个已知命题得出另一个新命题从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为的思维过程称为推理推理.说明：说明：（1 1）任何推理都包括）任何推理都包括前提前提和和结论结论两个部两个部分；分；（2 2）前提是推理所依据的命题，它告诉我们已知什么；）前提是推理所依据的命题，它告诉我们已知什么；结论是根据前提推得的命题，它告诉我们推出什么结论是根据前提推得的命题，它告诉我们推出什么（3 3）推理包括：）推理包括：合情推理合情推理和和演绎推理演绎推理 其中合情推理包括其中合

5、情推理包括归纳推理归纳推理和和类比类比推理推理第5页/共46页第6页/共46页 3 37 71010 3 3171720201313171730301010 3 37 72020 3 317173030 131317176 63+33+3，8 83+5,3+5,10105+5,5+5,1000100029+97129+971，1002=139+863,1002=139+863,猜想任何一个不小于猜想任何一个不小于6 6的的偶数都等于两个奇质数的和偶数都等于两个奇质数的和.数学皇冠上璀璨的明珠数学皇冠上璀璨的明珠哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想一个规律：一个规律：偶数奇质数奇质数偶数奇质数奇质数第7页/

6、共46页哥德巴赫猜想的过程：哥德巴赫猜想的过程：具体的材料观察分析猜想出一般性的结论归纳推理的过程：第8页/共46页 由某类事物的由某类事物的 具有某些特征具有某些特征,推出该类事物的推出该类事物的 都具有这些特征都具有这些特征的推理的推理,或者由或者由 概括出概括出 的推理的推理,称为称为归纳推理归纳推理(简称归纳简称归纳).).部分对象部分对象全部对象全部对象个别事实个别事实一般结论一般结论第9页/共46页例例1.蛇是用肺呼吸的蛇是用肺呼吸的,鳄鱼是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟也是用肺呼吸的，海龟也是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的，蛇蛇、鳄鱼鳄鱼、海龟海龟、蜥蜴都是爬

7、行动物。蜥蜴都是爬行动物。例例2 三角形的内角和是三角形的内角和是 ,凸四边形的内角和是凸四边形的内角和是 ,凸五边形的内角和是凸五边形的内角和是 例题解析：例题解析：由此我们猜想:凸n边形的内角和是所以，所有的爬行动物都是用肺呼吸的。第10页/共46页例3:由此我们猜想:第11页/共46页归纳推理的一般模式:S S1 1具有具有P,P,S S2 2具有具有P,P,S Sn n具有具有P,P,(S(S1 1,S,S2 2,S,Sn n是是A A类事物的对象）类事物的对象）所以A类事物具有P第12页/共46页归纳推理的几个特点归纳推理的几个特点;1.1.归纳是依据特殊现象推断一般现象归纳是依据特

8、殊现象推断一般现象,因而因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围.2.2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性因而结论具有猜测性.3.3.归纳的前提是特殊的情况归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上于观察、经验和实验的基础之上.归纳是立足于观察、经验归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资实验和对有限资料分析的基础上料分析的基础上.提出带有规律性的结论提出带有规律性的结论.需证明需证明第13页/共46页归纳推理的基础归纳推

9、理的基础归纳推理的作用归纳推理的作用归纳推理观察、分析发现新事实、获得新结论由部分到整体、个别到一般的推理注意注意归纳推理的结论不一定成立第14页/共46页第15页/共46页（3）地图的“四色猜想”：数学家猜想，任何地图着色只需四种颜色就足够了。直到1976年9月，美国伊利诺斯大学的两位教授阿贝尔和哈根，利用电子计算机证明了地图的四色猜想是正确的!他们将地图的四色问题化为2000个特殊的图的四色问题，然后在电子计算机上计算了1200个小时，终于证明了四色问题。第16页/共46页（4）哥尼斯堡七桥猜想：18世纪在哥尼斯堡城的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图1所示。城中的居民经

10、常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。这就是七桥问题，一个著名的图论问题。第17页/共46页第18页/共46页 除了归纳，在人们的创造发明活动中，除了归纳，在人们的创造发明活动中，还常常应用类比。例如：还常常应用类比。例如：2.2.人们仿照鱼类的外型和它们在人们仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理水中沉浮的原理,发明了潜水艇发明了潜水艇.1.1.古代工匠鲁班类比带齿的草叶古代工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿和蝗虫的牙齿,发明了锯发明了锯3 3、火星上是否存在生命？、火星上是否存在生命？第19页/共46页可能有生命存在可能有生命存在有

11、生命存在有生命存在温度适合生物的生存温度适合生物的生存一年中有四季的变更一年中有四季的变更有大气层有大气层大部分时间的温度适合地大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存球上某些已知生物的生存一年中有四季的变更一年中有四季的变更有大气层有大气层行星、围绕太阳运行、绕行星、围绕太阳运行、绕轴自转轴自转行星、围绕太阳运行、绕行星、围绕太阳运行、绕轴自转轴自转火星火星地球地球第20页/共46页火星火星与与地球地球类比的思维过程：类比的思维过程：火星火星地球地球存在类似特征存在类似特征地球上有生命存在地球上有生命存在猜测火星上也可能有生命存在猜测火星上也可能有生命存在第21页/共46页.试将平面上的

12、圆与空间的球进行类比试将平面上的圆与空间的球进行类比第22页/共46页圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合长的点的集合.球的定义：到一个定点的距离等于定长的点球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合的集合.圆圆弦弦直径直径周长周长面积面积球球截面圆截面圆大圆大圆表面积表面积体积体积第23页/共46页圆的概念和性质圆的概念和性质球的类似概念和性质球的类似概念和性质圆心圆心与与弦弦(非直径非直径)中点连线垂直中点连线垂直于弦于弦.与与圆心圆心距离相等的两距离相等的两弦弦相等相等;与与圆圆心心距离不等的两距离不等的两弦弦不等不等,距距圆心圆心较

13、较近的近的弦弦较长较长.以点以点P(x0,y0)为圆心为圆心,r为半径的圆为半径的圆的方程为的方程为(x-x0)2(y-y0)2=r2.球心与截面圆(不经过球心的截面圆)圆心连线垂直于截面圆.与球心距离相等的两截面圆面积相等;与球心距离不等的两截面圆面积不等,距球心较近的截面圆面积较大.以点P(x0,y0,z0)为球心,r为半径的球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2.第24页/共46页 由 具有 ，在此基础上，根据 ,推出 ，我们把这种的推理称为类比推理.两类对象某些类似特征一类对象的某些已知特征另一类对象也另一类对象也具有这些特征具有这些特征第25页/共46页1、进

14、行类比推理的步骤：(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；(2)用一类对象的已知特征去猜测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；(3)检验这个猜想.2、类比推理的一般模式:所以B类事物可能具有性质d.A类事物具有性质a,b,c,d,B类事物具有性质a,b,c,(a,b,c与a,b,c相似或相同）观察、比较观察、比较联想、类推联想、类推猜想新结论猜想新结论第26页/共46页类比推理类比推理类比推理类比推理以以旧旧的知识为基础的知识为基础,推测推测新新的结果，具有的结果，具有发现的功能，发现的功能，启发思路、提供线索、启发思路、提供线索、举一反三、触类旁通举一反三、触类旁通的作用。的作用。由由

15、特殊到特殊特殊到特殊的推理的推理类比推理的结论类比推理的结论不一定成立不一定成立注意注意第27页/共46页1下面几种推理是类比推理的是()A因为三角形的内角和是180(32)，四边形的内角和是180(42)，所以n边形的内角和是180(n2)B由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质C某校高二年级有20个班，1班有51位团员，2班有53位团员，3班有52位团员，由此可以推测各班都超过50位团员D4能被2整除，6能被2整除，8能被2整除，所以偶数能被2整除答案：B第28页/共46页2已知bn为等比数列，b52，则b1b2b3b8b929，若an为等差数列，a52，则an类似的结论为()Aa1a2

16、a3a929 Ba1a2a929 Ca1a2a3a929 Da1a2a929 解析：在等差数列中“积”变“和”得a1a2a929.答案：D第29页/共46页第30页/共46页例题：类比平面内直角三角形的勾股定理，例题：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想。试给出空间中四面体性质的猜想。第31页/共46页直角三角形直角三角形C C90902 2条直角边条直角边a a，b b和和1 1条斜条斜边边c c3个面两两垂直的四面体个面两两垂直的四面体PDFPDFPDEPDEEDFEDF9090三个两两垂直的面三个两两垂直的面S S1 1，S S2 2，S S3 3和和1 1个个“

17、斜面斜面”S S例题例题:类比平面内直角三角形的勾股定理，类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想。试给出空间中四面体性质的猜想。ABCbacs1s3PEF的面积为的面积为SPEs2D DF？c c2 2=a=a2 2+b+b2 2分析分析：M第32页/共46页PEF的面积为S下面证明猜想是否成立：下面证明猜想是否成立：过过D点作点作DM EF,垂足为垂足为M，连接，连接PM，则，则PM EFPED DFM第33页/共46页 变式练习：在三角形ABC中有结论：AB+BCAC，类似地在四面体P-ABC中有 .PABCS1S2S3PAB的面积为S第34页/共46页平面图形（二维

18、）平面图形（二维）立体图形（三维）立体图形（三维）点点点或线点或线线线线或面线或面平面直角坐标系平面直角坐标系空间直角坐标系空间直角坐标系几何中常见的类比对象几何中常见的类比对象第35页/共46页几何中常见的类比对象几何中常见的类比对象三角形三角形四面体四面体（各面均为（各面均为三角形三角形）四边形四边形六面体六面体（各面均为（各面均为四边形四边形）圆圆球球代数中常见的类比对象代数中常见的类比对象复数复数向量向量方程方程函数函数不等式不等式交集，并集，补集交集，并集，补集且，或，非运算且，或，非运算第36页/共46页数数有限有限相等相等四面体四面体（各面均为（各面均为三角形三角形）球球面面线线

19、几何中常见的类比对象几何中常见的类比对象三角形三角形圆圆向量向量无限无限 不等不等代数中常见的类比对象代数中常见的类比对象线线平面几何平面几何立体几何立体几何点点第37页/共46页例例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。、试根据等式的性质猜想不等式的性质。等式的性质：等式的性质：(1)a=ba+c=b+c;(2)a=b ac=bc;(3)a=ba2=b2;猜想不等式的性质：猜想不等式的性质：(1)aba+cb+c;(2)ab acbc;(3)aba2b2;例题解析：例题解析：问：这样猜想出的结论是否一定正确？问：这样猜想出的结论是否一定正确？第38页/共46页例例2 类比实数的加法和乘法类比

20、实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质列出它们相似的运算性质.类比角度类比角度实数的加法实数的加法实数的乘法实数的乘法运算结果运算结果若若a,b R,则则a+b R运算律运算律(交换律和交换律和结合律结合律)a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)逆运算逆运算加法的逆运算是减法加法的逆运算是减法,使得使得方程方程a+x=0有唯一解有唯一解x=-a单位元单位元a+0=a若若a,b R,则则ab Rab=ba(ab)c=a(bc)乘法的逆运算是除法乘法的逆运算是除法,使得使得ax=1有唯一解有唯一解x=1/aa1=a第39页/共46页圆的概念和性质圆的概念和性质球的概念和性质球的概念和性质与

21、圆心距离相等的两弦相等与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离不相等的两弦不相与圆心距离不相等的两弦不相等等,距圆心较近的弦较长距圆心较近的弦较长以点以点(x(x0 0,y,y0 0)为圆心为圆心,r,r为半径为半径的圆的方程为的圆的方程为(x-x(x-x0 0)2 2+(y-y+(y-y0 0)2 2=r=r2 2圆心与弦圆心与弦(非直径非直径)中点的连线中点的连线垂直于弦垂直于弦球心与不过球心的截面球心与不过球心的截面(圆面圆面)的圆心的连线垂直于截面的圆心的连线垂直于截面与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离不相等的两截面面积不与球心距离不相等的两截面面积不相等

22、相等,距球心较近的面积较大距球心较近的面积较大以点以点(x(x0 0,y,y0 0,z,z0 0)为球心为球心,r,r为半为半径的球的方程为径的球的方程为(x-x(x-x0 0)2 2+(y-+(y-y y0 0)2 2+(z-z+(z-z0 0)2 2=r=r2 2利用圆的性质类比得出球的性质利用圆的性质类比得出球的性质球的体积球的体积球的表面积球的表面积圆的周长圆的周长 圆的面积圆的面积第40页/共46页练习练习.在平面上在平面上,设设ha,hb,hc是三角形是三角形ABC三条边上的高三条边上的高.P为三角形内任一点为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为到相应三边的距离分别为pa,pb

23、,pc,我们可以得到结论我们可以得到结论:试通过类比试通过类比,写出在空间中的类似结论写出在空间中的类似结论.平面上平面上 空间中空间中图图形形结结论论ABCPpapbpcABCDP第41页/共46页分析：面积法分析：面积法第42页/共46页ABCDOO第43页/共46页 小结小结归纳推理和类比推理的过程归纳推理和类比推理的过程从具体问从具体问题出发题出发观察、分析、观察、分析、比较、联想比较、联想归纳、归纳、类比类比提出提出猜想猜想通俗地说，合情推理是指通俗地说，合情推理是指“合乎情理合乎情理”的推理的推理.合情推理合情推理归纳推理归纳推理类比推理类比推理第44页/共46页2 2、类比推理、类比推理由由特殊特殊到到特殊特殊的推理的推理;以旧的知识为基础以旧的知识为基础,推测推测新新的结果；的结果；结论不一定成立结论不一定成立.1 1、归纳推理、归纳推理由由部分部分到到整体整体、特殊特殊到到一般一般的推理的推理;以观察分析为基础以观察分析为基础,推测推测新新的结论的结论;具有具有发现发现的功能的功能;结论不一定成立结论不一定成立.具有具有发现发现的功能的功能;比较两个推理：比较两个推理：合情推理第45页/共46页感谢您的观看。第46页/共46页