2020届河南省安阳市高三第二次模拟考试数学(理)试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 21 页2020 届河南省安阳市高三第二次模拟考试数学（理）试题一、单选题1已知全集1,0,1,2,3,4,5U，集合12,2,3,4,5AxZ xB，则UABIe（）A4,5B2,3,5C1,3D3,4【答案】A【解析】根据全集1,0,1,2,3,4,5U，集合1,0,1,2,3A，求得4,5UAe，再根据集合B 求解UABe.【详解】因为全集1,0,1,2,3,4,5U，集合1,0,1,2,3A，所以4,5UAe，又因为2,3,4,5B，所以4,5UABe.故选：A【点睛】本题考查集合的交集运算及简单的绝对值不等式的解法，还考查运算求解能力，属于基础题.2复数212izi的

2、共轭复数为（）A1355iB4255iC1355iD4255i【答案】D【解析】分子分母同时乘以2+i化简，再实部相同虚部互为相反数即可求得共轭复数.【详解】因为211 1422255iziii所以其共轭复数4255zi故选：D 第 2 页 共 21 页【点睛】本题考查复数的运算和复数的概念，考查运算求解能力，属于简单题目.3设0.50.20.76,0.3alogbc，则,a b c的大小关系为（）AbacBcabC acbDcba【答案】C【解析】分布和0,1进行比较即可判断大小.【详解】因为0.500.200.7log60,1,00.30.31abc，所以 acb.故选：C【点睛】本题考查

3、指对数函数的单调性，考查数学运算能力,属于较易题目.4已知向量3,1,4abxrr.若()abarrr，则向量ar与br的夹角为（）A4B3C23D34【答案】D【解析】先通过向量坐标运算求出abrr，再根据()abarrr求出x，代入公式即可求得向量ar与br的夹角.【详解】因为(3,3),()abxabarrrrr所以3(3)1(3)0 x，解得2x.设向量a与b的夹角，则2cos|2a ba b.又因0,，所以34故选：D【点睛】本题考查向量的坐标运算以及数量积的运算，考查化归与转化以及运算求解能力.属于较易题目.5要想得到函数3sincosxyx的图象，可将函数sin3 cosyxx的

4、图象第 3 页 共 21 页（）A向左平移2个单位长度B向右平移2个单位长度C向左平移3个单位长度D向右平移3个单位长度【答案】A【解析】先通过辅助角公式进行化简，在利用诱导公式即可求解平移变化.【详解】因为313sincos2sincos2sin226yxxxxx又因sin3cos2sin3yxxx因为2sin2sin632yxx，所以函数3sincosyxx的图象可由函数sin3 cosyxx的图象向左平移2个单位长度得到.故选：A【点睛】本题考查三角函数的图象，性质以及平移伸缩变换，考查学生的数学运算和逻辑推理能力.属于较易题目.6向一块长度为4，宽度为 3 的矩形区域内，随机投一粒豆子

5、(豆子大小忽略不计)，豆子的落地点到矩形各边的距离均不小于1 的概率为（）A16B14C12D56【答案】A【解析】到矩形各边的距离均不小于1 的概率为矩形内长度为2，宽度为 1 的矩形区域，面积比即为概率.【详解】豆子的落地点到矩形各边的距离均不小于1 的概率为矩形内长度为2，宽度为 1 的矩形区域面积与原矩形的面积比，所以所求概率2 114 36P【点睛】本题考查几何概型的概率计算，考查学生理解能力及数学运算能力,属于简单题目.7已知,m l是两条不同的直线，,是两个不同的平面，则下列可以推出的第 4 页 共 21 页是（）A,ml mlB,mll mC/,ml mlD,/,/lml m【

6、答案】D【解析】A，有可能出现，平行这种情况.B，会出现平面，相交但不垂直的情况.C，根据面面平行的性质定理判断.D，根据面面垂直的判定定理判断.【详解】对于 A，ml，m，若l，则/，故 A 错误；对于 B，会出现平面，相交但不垂直的情况，故B 错误；对于 C，因为/m l，m，则l，又因为l，故 C 错误；对于 D，l，mlm，又由m，故 D 正确.故选：D【点睛】本题考查空间中的平行、垂直关系的判定，还考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.8执行如图所示的程序框图，若输出的S为 154，则输入的n为（）A18 B 19 C20 D21【答案】B【解析】找到输出的S的规律为等差

7、数列求和，即可算出i，从而求出n.【详解】由框图可知，101231154Si，第 5 页 共 21 页即1 231153i，所以11532ii，解得18i，故最后一次对条件进行判断时18 119i，所以19n.故选：B【点睛】本题考查程序框图，要理解循环结构的程序框图的运行，考查学生的逻辑推理能力.属于简单题目.9设fx和g x是定义在,a b上的函数，且图象都是一条连续不断的曲线.定义:max,df gfxg x则000,()xa b f xg x 是(,)0d f g 的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】如果前面可以推出后面则充分性满足，

8、后面可以推出前面必要性满足，所以依次假设代入判断即可.【详解】若000,xa bfxg x，则00MAX,0df gfxg xfxg x，所以充分性成立.反过来，若,0df g，则00000,0,xa bfxg xfxg x即，所以必要性成立.故选：C【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断,关键点理解清楚题意根据假设能否推导出结论，属于较易题目.10已知3(,),2sin 21cos22，则tan2（）A532B532C152D512【答案】D【解析】先根据二倍角公式和角的范围求出sincos，再利用半角公式即可求解第 6 页 共 21 页tan2.【详解】由2sin 21cos2，得24s

9、incos2sin因为3,2所以sin0,cos0，所以sin2cos，又22sincos1，联立解得2 5555sincos，所以21sinsincossinsin512222tan121 cos2coscos1cos222.故选：D【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系二倍角和半角公式的应用,注意根据角所在范围进行根的判断，属于较易题目.11已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，其右支上存在一点M，使得120MFMFuuuu r u uu u r，直线:0l bxay.若直线2/MFl，则双曲线C的离心率为（）A2B 2 C5D5【答案】C【解析】根据

10、120MFMFuu uruuu u r和直线:0l bxay，2/MFl，得到l是线段1MF的垂直平分线，从而直线1MF的方程为()ayxcb，由()ayxcbbyxa，得到2,aabNcc，又1(,0)Fc，利用中点坐标公式，得222,aabMccc，由双曲线的定义结合12MFMF得2122MFMFb，再利用等面积法，得到点M的纵坐标为第 7 页 共 21 页2122MMFMFbycc，然后由22babcc求解.【详解】如图所示：因为120MFMFu uu ruuuu r，所以12MFMF.因为直线:0l bxay为双曲线的一条渐近线，即l的方程为byxa，且1MFl，从而l是线段1MF的垂

11、直平分线，所以直线1MF的方程为()ayxcb.设1MF与l相交于点(,)N x y.由()ayxcbbyxa解得2axcabyc.即2,aabNcc.又1(,0)Fc，由中点坐标公式，得222,aabMccc.由双曲线的定义得122MFMFa，由12MFMF得，222124MFMFc，联立，可得2122MFMFb，所以点M的纵坐标为2122MMFMFbycc，所以22babcc，即2ba，第 8 页 共 21 页所以215bea.故选：C【点睛】本题考查双曲线性质的综合问题，还考查了数形结合思想和运算，逻辑推理得能力，属于难题.12设抛物线2:20C ypx p的焦点为F，抛物线C与圆225

12、25:()416Cxy于,A B两点，且5AB若过抛物线C的焦点的弦MN的长为 8，则弦 MN 的中点到直线2x的距离为（）A2 B 5 C7 D9【答案】B【解析】易得圆C过原点，抛物线22ypx也过原点，联立圆和抛物线方程由AB求得交点坐标，从而解出抛物线方程，根据抛物线定义即可求得弦MN 的中点到直线2x的距离.【详解】圆:22525:,416Cxy即为2252xyy,可得圆经过原点.抛物线22ypx也过原点.设0,0,0AB m nm.由5AB可得225mn，又2252mnn联立可解得2,1nm.把1,2B代人22ypx，解得2p，故抛物线方程为24yx，焦点为1,0F，准线l的方程为

13、1x.如图，过,MN分别作MEl于E，NKl于K，第 9 页 共 21 页可得,MFMENKNF，即有MNMFNFMEKN|.设MN的中点为0P，则0P到准线l的距离11(|)422EMKNIMN，则MN的中点0P，到直线2x的距离是415.故选：B【点睛】本题考查抛物线的几何性质，考查学生的分析问题，解决问题的能力，数形结合思想.属于一般性题目.二、填空题13在某歌唱比赛中，一名参赛歌手的得分为169，162，150，160，159，则这名歌手得分的方差为_.【答案】18637.25【解析】五个歌手总分之和除以5 得到平均数，再利用方差计算公式即可求解.【详解】根据题意，歌手的得分为169，

14、162，150，160，159，则这名歌手得分的平均数11691621501601591605x，方差28141001186.55s故答案为：18637.25【点睛】本题考查数据的平均数，方差问题，考查学生的分析数据解决问题的能力.属于简单题目.14ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c已知460,2,3AaAC ABuuu r uuu r则ABCV的周长为 _.【答案】2 32第 10 页 共 21 页【解析】根据向量积求得bc，再利用余弦定理求得bc，即可求得周长.【详解】由43AC ABuuu r uuu r，得4cos603bc所以83bc，又因2,60aA，所以由余弦定理得

15、222604bcbcos，即224bcbc，所以24312bcbc，所以2 3.bc所以2 32abc故答案为：2 32【点睛】本题考查三角形周长，向量数量积以及余弦定理，注重对学生运算能力的考查.属于较易题目.15已知定义在R上的奇函数fx满足2fxfx，且当(?1,0)x)时1()25xf x，则220f log_.【答案】1【解析】先根据奇函数和2fxfx，求得周期为4，再将220log通过周期和奇偶性转化到区间 1,0上代入表达式计算即可.【详解】因为yfx是定义在R上的函数，且2fxfx，所以24fxfxfx，所以两数fx是周期为4 的函数.又由22241620325logloglo

16、g，得2222252020420164flogf logfloglogflog又因为函数fx是奇函数，所以2255loglog.44ff第 11 页 共 21 页又当1,0 x时，12,5xfx所以25log4251log2145f所以22255log 20loglog144fff故答案为：1【点睛】本题考查函数的奇偶性，周期性，函数解析式以及函数求值问题，注重对学生运算能力的考查.属于较易题目.16下图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的，且前后，左右、上下均对称，每个四棱柱的底面都是边长为2的正方形，高为4，且两个四棱柱的侧棱互相垂直.则这个几何体的体积为_.【

17、答案】16 2323【解析】该几何体体积等于两个四棱柱的体积和减去两个四棱柱交叉部分的体积，根据直观图分别进行求解即可.【详解】该几何体的直观图如图所示，该几何体的体积为两个四棱柱的体积和减去两个四棱柱交叉部分的体积.两个四棱柱的体积和为222 432V.交叉部分的体积为四棱锥SABCD的体积的2 倍.在等腰ABSV中，2 2,SBSB边上的高为2，则6.SA第 12 页 共 21 页由该几何体前后，左右上下均对称，知四边形ABCD为边长为6的菱形.设AC的中点为H，连接,BH SH易证SH即为四棱锥SABCD的高，在Rt ABHV中，22622.BHABAH又2 2ACSB所以122 224

18、 22ABCDSY因为BHSH，所以118 224 22333ABCDSABCDVSY四棱柱，所以求体积为8 216 232232.33故答案为：16232.3【点睛】本题考查空间组合体的结构特征.关键点弄清楚几何体的组成，属于较易题目.三、解答题17记数列na的前n项和为S，已知221nnSan.（1）求数列na的通项公式；（2）记224(1)log(4),33nnnba数列nb的前n项和为nT，求nT【答案】（1）13 22nna；（2）,21,nnnTnnn为偶数为奇数【解析】(1)根据1nnnaSS得到na和1na的关系，再构造数列即可求解na.(2)讨论n的奇偶性代入即可求和.【详解

19、】（1）当1n时，由221nnSan，可得111221aSa，即有11a当2n时，112212211nnnnnaSSanan，即为122nnaa，可得1222nnaa，显然，120na.所以数列,2na是首项为3，公比为2 的等比数列，第 13 页 共 21 页则123 2nna，即有13 22nna（2）122241log3 221log 2133nnnnnnbn当n为偶数时,12341,2nnTnnL当n为奇数时，11122nnnnnTTbn综上可得，,21,nnnTnnn为偶数为奇数【点睛】本题考查等比数列的通项公式以及前n项和，对数的运算性质的综合问题，对数值n的奇偶性进行分类讨论求解

20、，考查学生的分类讨论思想和数学运算能力.属于一般性题目.18截至 2019 年，由新华社瞭望东方周刊与瞭望智库共同主办的中国最具幸福感城市 调查推选活动已连续成功举办12 年，累计推选出60 余座幸福城市，全国约9亿多人次参与调查，使 城市幸福感 概念深入人心.为了便于对某城市的 城市幸福感 指数进行研究，现从该市抽取若干人进行调查，绘制成如下不完整的2 2 列联表(数据单位:人).男女总计非常幸福1115比较幸福9总计30（1）将列联表补充完整，并据此判断是否有90%的把握认为城市幸福感指数与性别有关；（2）若感觉 非常幸福 记 2 分，比较幸福 记 1 分，从上表男性中随机抽取3 人，记3

21、 人得分之和为，求的分布列，并根据分布列求4的概率附:22()()()()()n adbcKa b cd ac bd，其中nabcd.第 14 页 共 21 页20)P Kk（）0.100.050.0100.0010k2.7063.8416.63510.828【答案】（1）表格见解析，没有90%的把握认为城市幸福感指数与性别有关；（2）分布列见解析，23【解析】(1)根据题意补充完整表格，代入公式即可求得2K，再和表格数据比较即可求解.(2)的可能取值有3，4，5，6,分别求出概率，写出分布列，则434PPP,.【详解】（1）表格如下所示:男女总计非常幸福4 11 15 比较幸福6 9 15

22、总计10 20 30 因为22304 9 11 60.62.70615 15 10 20K所以没有90%的把握认为城市幸福感指数与性别有关（2）由题可知，的可能取值有3，4，5，6，则36310136CPC，第 15 页 共 21 页21123646443331010101314,5621030CCCCCPPPCCC，所以的分布列为3 4 5 6 P 1612310130所以112434.623PPP,【点睛】本题以生活实际为背景，考查独立性检验，随机变量的分布列以及概率问题，对学生的分析问题，解决问题的能力要求较高.属于一般性题目.19在如图所示的几何体中，底面ABCD是矩形，平面MAD平面

23、ABCD，平面MABI平面MCDMN，MAD是边长为4 的等边三角形，22CDMN.（1）求证：MNMD；（2）求二面角MBDN的余弦值【答案】（1）见解析；（2）154【解析】(1)先证明AB平面MAD，又MNABP，从而证明MN平面MAD.即可得证.(2)以AD的中点为O为原点建立空间之间坐标系，标出点的坐标，求出平面MBD的法向量为1nu r，平面NBD的法向量2nu u r代入公式即可求解.【详解】（1）由底面ABCD为矩形可得ABAD，又平面MAD平面ABCD，平面MAD平面ABCDAD，AB 平面ABCD，所以AB平面MAD因为,ABCD CDP平面MCD，AB平面MCD，所以AB

24、平面MCD，而平面MAB I平面MCDMN，所以MNABP，所以MN平面MAD.第 16 页 共 21 页又MD平面MAD，所以MNMD.（2）如图，设AD的中点为O，过O作OHABP交BC于H.易知,OA OH OM两两垂直，以O为原点，分别以,OA OH OM为,x y z，轴建立空间直角坐标系Oxyz则2,2,0,2,0,0BD，0,0,230,1,2,23MN，所以4,2,0BDu uu r，2,2,23BMuuuu r，2,1,2 3DNuuu r设平面MBD的法向量为1111,nx y zu r.由1100nBDnBMu v uuu vu v uu u u v可得111114202

25、22 30 xyxyz可令13x，可得13,6,3n设平面NBD的法向量2222,.nxyzu u r由2200nBDnDNu u v uuu vu u v uu uv可得22222420222 30 xyxyz令21x，可得21,2,0nu u r则1212121515cos(,.44 35nnn nnnu r u u ru r uu ru ru u r易知二面角MBDN为锐角，所以二面角MBDN的余弦值为154【点睛】本题考查立体几何中的垂直关系判定及二面角问题.考查学生的空间想象能力，逻辑推理能力以及运算能力.属于一般性题目.20已知椭圆2222:10 xyCaab的中心为原点O，左焦点

26、为F，离心率为53，不与坐标轴垂直的直线l与椭圆C交于,M N两点.（1）若2,1K为线段MN的中点，求直线l的方程.（2）求点P是直线255ax上一点，点Q在椭圆C上，且满足0PF QFuuu r uu u r，设直第 17 页 共 21 页线PQ与直线 OQ 的斜率分别为12,k k，问：12k k是否为定值？若是，请求出12k k的值；若不是，请说明理由.【答案】（1）89250 xy（2）12k k的值是定值，且值为49【解析】（1）设椭圆C的半焦距为c，根据22534caac求得椭圆C的方程，再根据2,1K为线段MN的中点，利用点差法求解。（2）根据（1）求得直线255ax，点F的坐

27、标，设点9 5,5Pt，00,Q xy，根据0PF QFu uu r uuu r，得00,t yx间的关系，再计算12k k.【详解】（1）设椭圆C的半焦距为c，由题意可得22534caac，解得3a.故椭圆C的方程为22194xy.设11,Mx y，22,N xy.易知12xx，由于点M，N都在椭圆上，所以22112222194194xyxy，所以22222121094xxyy.因为(2,1)K为线段MN的中点，所以212121214899MNxxyykxxyy.故直线l的方程为81(2)9yx，即89250 xy.（2）由（1）可知，直线259 555ax，点(5,0)F.第 18 页 共

28、 21 页设点9 5,5Pt，00,Q xy，易知00 x.因为0PF QFuu u r uuu r，所以009 55,5,05txy，得004 545tyx.因为点00,Q xy在椭圆C上，所以2200194xy，即22004 19xy.所以22000000122200000044 54449599 59 59 5555xxytyytykxxxxkxx，所以12k k的值是定值，且值为49.【点睛】本题主要考查向量与椭圆方程结合的综合问题及与直线结合的斜率之积的求解问题，还考查了运算求解能力，属于中档题.21已知2124()xfxeax aR.（1）若1ae，求fx在0 x处的切线与两坐标轴

29、围成的三角形的面积；（2）若fx在1,2上的最大值为33e，求a的值.【答案】（1）14e；（2）38ea【解析】(1)先求出切线方程从而得到在坐标轴上的截距，即可求得面积.(2)先求导后2144xfxea，讨论0a和0a不同情况fx在1,2 上的最大值位置不同进行求解即可.【详解】（1）由题易知2142xfxexe可得2144xfxee则11,0802fefe则切线方程为1128yee x令0 x可得12ye，令0y可得14x第 19 页 共 21 页所以切线与两坐标轴围成的三角形面积为11112244See（2）2144xfxea.(i)当0a时0fx，故fx在1,2 上单调递增，所以fx

30、在1,2上的最大值为332283feae所以38ea.()当0a时，由0fx可得1ln12xa.当1ln()112a，即0ea时，fx在1,2 上单调递增，所以fx在1,2上的最大值为332283feae所以308ea舍去，当1ln12,2a即3ae时fx在1,2上单调递减，所以fx在1,2上的最大值为31243feae，所以33142aee不满足3ae，舍去 当11ln122a，即3eae时，在11,ln12a上0fx，在1ln1,22a上0fx.所以fx在11,ln12a单调递减，在1ln1,22a上单调递增，由上面分析可知，当3eae时,2f不可能是最大值.3124,228fea fea

31、由32142 ee0ffa可得311aee22此时21,fffx的最大值31243efea所以331ee42a，不符合311ee22a.舍去.综上可知，38ea【点睛】第 20 页 共 21 页本题考查利用求导法求解函数的切线方程，函数在区间上的最值及参数的值，对学生的分类讨论思想，化归与转化以及运算求解能力要求较高.属于较难题目.22在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方2cos2sinxtyt（其中t为参数，0,)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2.sin（1）若点,P x y在直线l上，且24xyxy求sin的值；（2）若4求曲线C上的点到直线l

32、的距离的最大值.【答案】（1）1010；（2）3 212【解析】（1）设点2,2Ptcostsin代入4xyxy进行化简即可求得sin的值.(2)先求出曲线C 和直线l的直角坐标方程，最远距离即是圆心到直线的距离加上半径.【详解】（1）设点2,2Ptcostsin，则sincossincos24cossincossinxyttxytt整理可得3sincos，再结合221,0,sincos，可得10sin10（2）曲线C的方程可化为22 sin化成普通方程可得222xyy，即2211xy曲线C表示圆心为0,1C，半径为 1 的圆.直线l的参数方程化成直角坐标方程为40 xy.圆心C到直线l的距离

33、|0 14|3 222d则曲线C上的点到直线l的距离的最大值为3 212【点睛】第 21 页 共 21 页本题考查直线的参数方程和圆的极坐标方程，考查学生的化归与转化能力，运算求解能力.属于一般性题目.23已知12()fxxaxa aR.（1）若1a，求fx的值域；（2）若不等式4fxx在2,9x上恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）1,1；（2）3 3,7 7【解析】(1)由绝对值不等式可得1212fxxxxx即可求解.(2)由4fxx在2,9x上恒成立化简得23a x恒成立，分离参数即可求解.【详解】（1）当1a时12fxxx.所以|12|121fxxxxx，所以11fx，即fx的值域为 1,1.（2）当29x时12fxxa x.由4fxx可得23a x.当2x时，不等式显然成立；当29x时，可得3|2ax,当2,9x时，3327x，故只需37a,即3377a剟所以a的取值范围是3 3,7 7【点睛】本题考查绝对值不等式解法，函数的值域，以及含参不等式恒成立问题，考查学生的化归与转化思想.属于较易题目.