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1、第四章第四章 几何图形初步几何图形初步 初中数学（人教版）初中数学（人教版）七年级 上册知识点知识点点、线、面、体点、线、面、体重要提示(1)几何图形都是由点、线、面、体组成的,点是构成图形的基本元素.点、线、面、体经过运动变化,就能组合成各种各样的几何图形,形成多姿多彩的图形世界.(2)一般地,有曲面的几何体都可以由某个平面图形旋转得到.将一个平面图形旋转成立体图形,既与平面图形的形状有关,也与平面图形旋转时所绕的轴有关,因此在分析平面图形旋转后得到的立体图形时,要综合分析平面图形的形状和旋转轴两个因素.例例1观察下列几何体:正方体;长方体;圆柱;圆锥;三棱锥;球.回答下面的问题(用序号填空
2、):(1)表面都是平的面的是,表面没有平的面的是,表面既有平的面又有曲的面的是;(2)只有一个表面的是,有两个表面的是,有三个表面的是,有四个表面的是,有六个表面的是;(3)面与面相交都是直线的是,面与面相交都是曲线的是.解析解析利用构成立体图形的面的特点解题,在纸上作出几何体的示意图,观察组成每个几何体的各个平的面或曲的面之间的关系,得出面与面的交线的情况.答案答案(1);(2);(3);例例2如图4-1-2-1,将直角三角形绕一条边所在直线旋转一周后形成的几何体不可能是()图4-1-2-1解析解析直角三角形绕较长直角边所在直线旋转一周后形成选项A中的圆锥;绕较短直角边所在直线旋转一周后形成
3、选项D中的圆锥;绕斜边所在直线旋转一周后形成选项B中的呈纺锤体的几何图形,而选项C中的圆柱不能由直角三角形绕一边所在直线旋转一周而成.答案答案C题型一题型一平面图形旋转成几何体平面图形旋转成几何体例例1图4-1-2-3中的几何体分别是由图4-1-2-2中哪个平面图形旋转后得到的?图4-1-2-2图4-1-2-3解析解析A是由4旋转得到的,B是由2旋转得到的,C是由1旋转得到的,D是由3旋转得到的.点拨点拨利用面动成体这一性质解题.题型二题型二探索几何体的顶点、棱、面之间的关系探索几何体的顶点、棱、面之间的关系例例2新年晚会会场上,悬挂着五彩缤纷的小装饰,其中有各种各样的立体图形,多面体是其中的
4、一部分,多面体中围成立体图形的每一个面都是平的,没有曲的,如棱柱、棱锥等,如图4-1-2-4.图4-1-2-4请你数一下图4-1-2-4中每一个多面体具有的顶点数(V)、棱数(E)和面数(F),并把结果记入下表中,你会发现什么规律?多面体顶点数(V)面数(F)棱数(E)V+F-E正四面体正方体正八面体正十二面体解析解析填表如下:规律:顶点数+面数-棱数=2.多面体顶点数(V)面数(F)棱数(E)V+F-E正四面体4464+4-6=2正方体86128+6-12=2正八面体68126+8-12=2正十二面体20123020+12-30=2点拨点拨一般地,对于任意多面体有:顶点数+面数-棱数=2,这
5、个关系式是伟大的数学家欧拉得出来的,被称为欧拉公式.知识点知识点点、线、面、体点、线、面、体1.(2018湖南长沙宁乡中学月考)下列现象能说明“面动成体”的是()A.天空划过一道流星B.旋转一扇门,门在空中运动的痕迹C.抛出一块小石子,石子在空中飞行的路线D.汽车雨刷在挡风玻璃上刷出的痕迹答案答案BA.天空划过一道流星说明“点动成线”,故本选项不符合题意;B.旋转一扇门,门在空中运动的痕迹说明“面动成体”,故本选项符合题意;C.抛出一块小石子,石子在空中飞行的路线说明“点动成线”,故本选项不符合题意;D.汽车雨刷在挡风玻璃上刷出的痕迹说明“线动成面”,故本选项不符合题意.故选B.2.下列图形绕
6、图中的虚线旋转一周,能形成圆锥的是()答案答案B3.圆锥的侧面与底面的相交线是(填“直”或“曲”)的.答案答案曲解析解析圆锥的侧面与底面的相交线是圆.4.一个五棱柱有个侧面,个底面,个顶点.答案答案5;2;105.硬币在桌面上快速旋转时,我们看到的几何体是.答案答案球解析解析面动成体,硬币在桌面上快速旋转时,我们看到的几何体是球.1.下列图形中有十四条棱的是()答案答案DA中有12条棱,B中有8条棱,C中没有棱,D中有14条棱.2.小军将一个直角三角尺绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成一个几何体,将这个几何体的侧面展开得到的大致图形是()答案答案D直角三角尺绕它的一条直角边所在直线旋转一周
7、形成圆锥,圆锥的侧面展开图是扇形,故选D.3.(2018四川巴中雪山中学月考)将如图所示的直角梯形绕直线l旋转一周,得到的立体图形是()答案答案D题中的图是一个直角梯形,上底短,下底长,绕直线l旋转后上底形成的圆面小于下底形成的圆面,因此得到的立体图形应该是一个圆台.故选D.4.将三角形沿直线l旋转一周,可以得到如图所示的立体图形的是()答案答案B5.如图,第二行的图形绕虚线旋转一周,便形成第一行的某个图形(几何体),将对应的两个图形用线连接起来.解析解析1.(2017江西赣州大余期末)圆柱是由长方形绕着它的一边所在直线旋转一周得到的,那么图4-1-2-1是以下四个图形中的哪一个绕着直线旋转一
8、周得到的()图4-1-2-1答案答案A根据题图中立体图形是由两个圆柱组成的,可知该几何体应该是由选项A中图形绕直线旋转一周得到的.2.假如我们把水滴看作一个点,当水滴向下落时,就能形成水线,说明了;钟的时针旋转时,形成了一个面,说明了;正方形铁丝框架绕它的一边所在的直线旋转,形成一个圆柱,说明了.答案答案点动成线;线动成面;面动成体3.如图4-1-2-2所示:图4-1-2-2名称底面侧面顶点棱三棱柱2369四棱柱24812五棱柱251015六棱柱261218由此可推测n(n为大于或等于3的正整数)棱柱有多少个面?多少个顶点?多少条棱?解析解析n棱柱有(n+2)个面,2n个顶点,3n条棱.1.如
9、图所示的图形绕虚线旋转一周,所形成的几何体是()答案答案B2.(2018江苏江阴期末)如图,把左边的图形绕着给定的直线旋转一周后形成的几何体是()答案答案D左边的图形绕着给定的直线旋转一周后形成的几何体是空心圆柱,故选D.3.如图所示的棱柱:(1)这个棱柱的底面是.(2)这个棱柱有个侧面,侧面的形状是边形.(3)侧面的个数与底面的边数.(填“相等”或“不相等”)(4)这个棱柱有条侧棱,一共有条棱.(5)如果CC=3cm,那么BB=cm.答案答案(1)三角形(2)3;四(3)相等(4)3;9(5)34.如图所示,在直角三角形中,两直角边长分别为6cm,8cm,斜边长为10cm,若分别以一边所在直
10、线为轴旋转一周,得到的三个几何体的体积哪个最大?(圆锥的体积=底面积高)解析解析分三种情况进行讨论.以8cm长的边所在直线为轴,旋转得到的圆锥的体积V1=628=96(cm3).以6cm长的边所在直线为轴,旋转得到的圆锥的体积V2=826=128(cm3).以10cm长的边所在直线为轴,旋转得到的几何体是由两个同底面的圆锥组成的,设圆锥底面的半径为rcm,则有68=10r,解得r=4.8.所以几何体的体积V3=4.8210=76.8(cm3).通过比较,可知以6cm长的边所在直线为轴旋转得到的圆锥的体积最大.选择题选择题1.(2018贵州毕节模拟,4,)如图4-1-2-3,矩形绕它的一条边MN
11、所在的直线旋转一周形成的几何体是()图4-1-2-3答案答案C矩形绕它的一条边MN所在的直线旋转一周形成的几何体是圆柱,故选C.2.(2018海南海口十四中期末,5,)将如图4-1-2-4所示的直角ABC绕直角边AB所在直线旋转一周,所得几何体从正面看,所看到的形状图为()图4-1-2-4答案答案C由题意可知RtABC绕直角边AB所在直线旋转一周,所得几何体为圆锥,从正面看所看到的形状图为等腰三角形.1.(2018河南南阳内乡月考,2,)下列说法:一点在平面内运动的过程中,能形成一条线段;一条线段在平面内运动的过程中,能形成一个平行四边形;一个三角形在空间内运动的过程中,能形成一个三棱柱;一个
12、圆形在空间内平移的过程中,能形成一个球体.其中正确的是()A.B.C.D.答案答案B一点在平面内运动的过程中,能形成一条线段是正确的;一条线段在平面内运动的过程中,能形成一个平行四边形是正确的;一个三角形在空间内运动的过程中,能形成一个三棱柱是正确的;一个圆形在空间内平移的过程中,能形成一个圆柱,原来的说法错误.故选B.2.(2016云南宜良二中期末,3,)如图所示,梯形绕虚线旋转一周所形成的图形是()答案答案D将梯形绕虚线旋转一周,形成的图形是上面和下面是圆锥,中间是一个圆柱的组合体.3.(2017甘肃临夏三中单元检测,19,)如图,回答下列问题:(1)图是由几个面组成的?这些面有什么特征?
13、(2)图是由几个面组成的?这些面有什么特征?(3)图中共形成了多少条线?这些线都是直的吗?图呢?(4)图和图中各有几个顶点?解析解析(1)题图是由6个面组成的,这些面都是平的.(2)题图是由2个面组成的,1个是平面,1个是曲面.(3)题图中共形成了12条线,这些线都是直的;题图中形成了1条线,是曲线.(4)题图中有8个顶点;题图中只有1个顶点.选择题选择题1.(2016四川雅安中考改编,5,)将图4-1-2-5绕AB边所在直线旋转一周,从上面看所得几何体,看到的图形为()图4-1-2-5答案答案B题图绕AB边所在直线旋转一周,所得几何体如图所示,它由一个圆锥和一个圆柱组合而成,从上面看该几何体
14、,看到的图形为选项B中的图形.2.(2013广西南宁中考,2,)如图4-1-2-6所示,将平面图形绕轴旋转一周,得到的几何体是()图4-1-2-6答案答案A球既可以由圆绕着直径所在直线旋转半周得到,也可以由半圆绕直径所在直线旋转一周得到,故选A.(2014浙江宁波中考,10,)如果一个多面体的一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,那么这个多面体叫做棱锥.如图所示的是一个四棱柱和一个六棱锥,它们各有12条棱.下列棱柱中和九棱锥的棱数相等的是()A.五棱柱B.六棱柱C.七棱柱D.八棱柱答案答案B九棱锥有18条棱,而六棱柱也有18条棱,故选B.1.图4-1-2-7是一个直七棱柱,它的底面
15、边长都是2cm,侧棱长是5cm,观察这个棱柱,请回答下列问题:(1)这个七棱柱共有多少个面,它们分别是什么形状?哪些面的形状、面积完全相同?侧面的面积是多少?(2)这个七棱柱一共有多少条棱?它们的长度分别是多少?(3)这个七棱柱一共有多少个顶点?(4)通过对棱柱的观察,你能说出n棱柱的顶点数与n的关系及棱的条数与n的关系吗?图4-1-2-7解析解析(1)这个七棱柱共有九个面,上、下两个底面是七边形,七个侧面都是长方形.上、下两个底面的形状相同,面积相等;七个侧面的形状相同,面积相等.要求侧面的面积只需求出一个长方形的面积,再乘7即可.S侧=257=70(cm2).(2)七棱柱一共有21条棱,侧
16、棱长是5cm,其余棱长为2cm.(3)七棱柱一共有14个顶点.(4)通过观察棱柱可知,n棱柱共有2n个顶点,3n条棱.2.图4-1-2-8的正方体切去一块,得到图4-1-2-8的几何体.图4-1-2-8(1)所得几何体各有多少个面?多少条棱?多少个顶点?(2)举例说明其他形状的几何体也切去一块,所得到的几何体的面数、棱数和顶点数各是多少;(3)若面数记为f,棱数记为e,顶点数记为v,则f,v,e应满足什么关系?解析解析(1)题图有7个面、15条棱、10个顶点,题图有7个面、14条棱、9个顶点,题图有7个面、13条棱、8个顶点,题图有7个面、12条棱、7个顶点.(2)例如:三棱锥被切去一块,如图所示,所得到的几何体有5个面、9条棱、6个顶点.(3)f+v-e=2.观察下列图形,然后填表并总结规律.(1)数一数每个图形各有多少个顶点、多少条边、这些边围成了多少块区域(不重叠).将结果填入下表中:图形顶点数区域数边数(2)观察上表,你能发现一个平面图形的顶点数、区域数、边数之间的关系吗?如果能,写出你所发现的关系.解析解析(1)如表所示.(2)能.边数=顶点数+区域数-1.图形顶点数区域数边数436851264910615
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