3.3柯西积分公式.ppt

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1、第三节第三节 柯西积分公式柯西积分公式一、一、解析函数的柯西积分公式解析函数的柯西积分公式二、二、解析函数的任意阶可导性与莫勒拉定理解析函数的任意阶可导性与莫勒拉定理三、柯西不等式与刘维尔定理三、柯西不等式与刘维尔定理四、调和函数四、调和函数一、一、解析函数的柯西积分公式解析函数的柯西积分公式1.问题的提出问题的提出根据多连通区域上的柯西积分定理得根据多连通区域上的柯西积分定理得该积分值不随闭曲线该积分值不随闭曲线 L 的变化而改变。的变化而改变。如何求这个值？如何求这个值？2.柯西积分公式柯西积分公式引理引理3.3.1证证根据多连通区域上的柯西积分定理得根据多连通区域上的柯西积分定理得定理定

2、理3.3.1(柯西积分公式柯西积分公式)证证例例1 1解解例例1 1解解由柯西积分公式由柯西积分公式例例2 2解解例例2 2解解例例2 2解解例例2 2解解根据多连通区域上的柯西积分定理得根据多连通区域上的柯西积分定理得例例2 2解解根据多连通区域上的柯西积分定理得根据多连通区域上的柯西积分定理得例例3 3解解例例3 3解解二二、解析函数的任意阶可导性和莫勒拉定理解析函数的任意阶可导性和莫勒拉定理1.问题的提出问题的提出问题问题:(1)解析函数是否有高阶导数解析函数是否有高阶导数?(2)若有高阶导数若有高阶导数,其定义和求法是否与实变函其定义和求法是否与实变函数相同数相同?回答回答:(1)解析

3、函数有各高阶导数解析函数有各高阶导数.(2)高阶导数的值可以用函数在边界上的值通高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示过积分来表示,这与实变函数完全不同这与实变函数完全不同.解析函数高阶导数的定义是什么解析函数高阶导数的定义是什么?定理定理3.3.2证证2.解析函数的任意阶导数解析函数的任意阶导数根据导数的定义根据导数的定义,从柯西积分公式得从柯西积分公式得根据导数的定义根据导数的定义,从柯西积分公式得从柯西积分公式得根据导数的定义根据导数的定义,从柯西积分公式得从柯西积分公式得推论推论3.3.1证证注注例例4 4解解例例4 4解解例例4 4解解例例5 5解解例例6 6解解例例6 6

4、解解定理定理3.3.3(莫勒拉莫勒拉(Morera)定理定理)证证3.莫勒拉定理莫勒拉定理定理定理3.3.3(莫勒拉莫勒拉(Morera)定理定理)证证3.莫勒拉定理莫勒拉定理三三、柯西不等式与刘维尔定理柯西不等式与刘维尔定理1.整函数整函数定义定义3.3.1如：如：三三、柯西不等式与刘维尔定理柯西不等式与刘维尔定理1.整函数整函数定义定义3.3.1如：如：2.柯西不等式柯西不等式定理定理3.3.4(柯西不等式柯西不等式)证证证证3.刘维尔定理刘维尔定理定理定理3.3.5(刘维尔定理刘维尔定理)证证3.刘维尔定理刘维尔定理定理定理3.3.5(刘维尔定理刘维尔定理)证证例例7 7解解例例8 8解

5、解四四、调和函数调和函数1.调和函数调和函数定义定义3.3.2 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中有很重要的应用问题中有很重要的应用.四四、调和函数调和函数1.调和函数调和函数定义定义3.3.2 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中有很重要的应用问题中有很重要的应用.四四、调和函数调和函数1.调和函数调和函数定义定义3.3.2 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中有很重要的应用问题中有很重要的应用.2.解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系3.共轭调和函数共

6、轭调和函数 区域区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数和函数.定理定理3.3.6定理定理3.3.6定理定理3.3.64.共轭调和函数的求法偏积分法共轭调和函数的求法偏积分法 如果已知一个调和函数如果已知一个调和函数 u,那末就可以利用那末就可以利用柯西黎曼方程求得它的共轭调和函数柯西黎曼方程求得它的共轭调和函数 v,从而从而构成一个解析函数构成一个解析函数u+vi.这种方法称为这种方法称为偏积分法偏积分法.例例9 9解解解解例例10 解解例例10 得一个解析函数得一个解析函数这个函数可以化为这个函数可以化为得一个解析函数得一个解析函数这个函数可以化为这个函数可以化为