柯西积分公式讲稿.ppt

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1、关于柯西积分公式第一页，讲稿共十三页哦一、一、柯西积分公式柯西积分公式定理定理.(柯西积分公式柯西积分公式)如果 f(z)在区域D内处处解析,C为D内的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于D,z0为C内的任一点,则第二页，讲稿共十三页哦 证DCKzz0R 由于f(z)在 z0连续,任给 ,存在 ,当|z-z0|时,|f(z)-f(z0)|.设以 z0为中心,R 为半径的圆周K:|z-z0|=R全部在C的内部,且R .第三页，讲稿共十三页哦例例例例1 1解解第四页，讲稿共十三页哦例题例题2 解：第五页，讲稿共十三页哦二、二、解析函数的高阶导数解析函数的高阶导数 一个解析函数不仅有一阶导数,而

2、且有各高阶导数,它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示.这一点和实变函数完全不同.第六页，讲稿共十三页哦定理定理 解析函数f(z)的导数仍为解析函数,它的n阶导数为:其中C为在函数 f(z)的解析区域D内围绕 z0的任何一条正向简单曲线,而且它的内部全含于D.证 设z0为D内任意一点,先证n=1的情形,即 因此就是要证第七页，讲稿共十三页哦按柯西积分公式有因此第八页，讲稿共十三页哦现要证当Dz0时I0,而 f(z)在C上连续,则有界,设界为M,则在C上有|f(z)|M.d为 z0 到C上各点的最短距离,则取|Dz|适当地小使其满足|Dz|1.解 1)函数 在C内的z=1处不解析,但cospz在C内却是处处解析的.第十一页，讲稿共十三页哦例例2 若n为自然数，试证明：证：比较等式两边的实部与虚部得：第十二页，讲稿共十三页哦感谢大家观看第十三页，讲稿共十三页哦