解析几何第四版吕林根课后习题答案.pdf

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1、第三章 平面与空间直线 平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程：（1）通过点)1,1,3(1M和点)0,1,1(2M且平行于矢量2,0,1的平面（2）通过点)1,5,1(1M和)2,2,3(2M且垂直于xoy坐标面的平面；（3）已知四点)3,1,5(A，)2,6,1(B，)4,0,5(C)6,0,4(D。求通过直线 AB 且平行于直线CD 的平面，并求通过直线 AB 且与ABC平面垂直的平面。解：（1）1,2,221MM，又矢量2,0,1平行于所求平面，故所求的平面方程为：一般方程为：07234zyx（2）由于平面垂直于xoy面，所以它平行于z轴，即1,0,0与所求的平面平行，

2、又3,7,221MM，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为：一般方程为：0)5(2)1(7yx，即01727yx。（3）（）设平面通过直线 AB，且平行于直线 CD：1,5,4AB，2,0,1CD 从而的参数方程为：一般方程为：0745910zyx。（）设平面通过直线 AB，且垂直于ABC所在的平面 1,5,4AB，1,1,144,4,41,1,01,5,4 ACAB 均与平行，所以的参数式方程为：一般方程为：0232zyx.2.化一般方程为截距式与参数式：042:zyx.解：与三个坐标轴的交点为：)4,0,0(),0,20(),0,0,4(，所以，它的截距式方程为：1424zyx.又

3、与所给平面方程平行的矢量为：4,0,4,0,2,4，所求平面的参数式方程为：3.证明矢量,ZYXv 平行与平面0DCzByAx的充要条件为：0CZBYAX.证明：不妨设0A，则平面0DCzByAx的参数式方程为：故其方位矢量为：1,0,0,1,ACAB，从而v平行于平面0DCzByAx的充要条件为：v，1,0,0,1,ACAB共面 0CZBYAX.4.已知连接两点),12,0(),5,10,3(zBA的线段平行于平面0147zyx，求B点的z坐标.解：5,2,3zAB 而AB平行于0147zyx 由题 3 知：0)5(427)3(z 从而18z.5.求下列平面的一般方程.通过点1,1,21和1

4、,2,32且分别平行于三坐标轴的三个平面;过点4,2,3且在x轴和y轴上截距分别为2和3的平面;与平面0325zyx垂直且分别通过三个坐标轴的三个平面;已知两点1,2,4,2,1,321,求通过1且垂直于21,的平面;原点在所求平面上的正射影为6,9,2;求过点1,5,31和2,1,42且垂直于平面0138zyx的平面.解:平行于x轴的平面方程为0001011112zyx.即01z.同理可知平行于y轴,z轴的平面的方程分别为01,01yxz.设该平面的截距式方程为132czyx,把点4,2,3代入得1924c 故一般方程为02419812zyx.若所求平面经过x轴，则0,0,0为平面内一个点,

5、2,1,5和0,0,1为所求平面的方位矢量,点法式方程为0001215000zyx 一般方程为02 zy.同理经过y轴,z轴的平面的一般方程分别为05,052yxzx.2121.3,1,1垂直于平面,该平面的法向量3,1,1n,平面通过点2,1,31,因此平面的点位式方程为 02313zyx.化简得023zyx.(5).6,9,2op .116cos,119cos,112cos 则该平面的法式方程为:.011116119112zyx 既.0121692zyx（6）平面0138zyx的法向量为3,8,1n，1,6,121MM，点从2,1,4 写出平面的点位式方程为0161381214zyx，则,

6、261638A 74282426,141131,21113DCB，则一般方程,0DCzByAx即：.037713zyx 6将下列平面的一般方程化为法式方程。解：.3D 将已知的一般方程乘上.301得法式方程.030330530230zyx .21.12D将已知的一般方程乘上.21得法式方程.0212121yx .1.2.3D将已知的一般方程乘上.1得法式方程.02 x .91.0.4D即91或91 将已知的一般方程乘上91或.91得法式方程为0979494zyx或.0979494zyx 7求自坐标原点自以下各平面所引垂线的长和指向平面的单位法矢量的方向余弦。解：.71.35.1D化为法式方程为

7、05767372zyx原点指向平面的单位法矢量为,76,73,72u它的方向余弦为.76cos,73cos,72cos原点o到平面的距离为.5DP .31.21.2D化为法式方程为-07323231zyx原点指向平面的单位法矢量为,32,32,310n它的方向余弦为122cos,cos,cos.333 原点o到平面的距离7.pD 第 20 页 8已知三角形顶点0,7,0,2,1,1,2,2,2.ABC求平行于ABC所在的平面且与她相距为 2 各单位的平面方程。解：设,.ABa ACb点0,7,0.A则2,6,1,2,9,2ab写出平面的点位式方程72610292xyz 设一般方程0.3.2,6

8、,140.AxByCzDABCD 则1.2.7pD 相距为 2 个单位。则当4p 时28.D 当0p 时0.D 所求平面为326280.xyz和3260.xyz 9求与原点距离为 6 个单位，且在三坐标轴,ox oy与oz上的截距之比为:1:3:2a b c 的平面。解：设,3,2.0.ax bx cxabc 设平面的截距方程为1.xyzabc 即.bcxacyabzabc 又原点到此平面的距离6.d 222222216.abcb ca ca bx 所求方程为7.32yzx 10平面1xyzabc分别与三个坐标轴交于点,.A B C求ABC的面积。解 (,0,0)A a,(0,0)Bb,(0,

9、0,)Cc,0ABa b,0,ACac.,ABACbc ca ab;222222ABACb cc aa b.S ABC=22222212b cc aa b 11设从坐标原点到平面的距离为。求证 证明：由题知：22222211111.111ppabcabc 从而有22221111.pabc 平面与点的相关位置 1.计算下列点和平面间的离差和距离：（1）)3,4,2(M，:0322zyx；（2）)3,2,1(M，:0435zyx.解：将的方程法式化，得：01323132zyx，故离差为：311332431)2()32()(M，M到的距离.31)(Md（2）类似（1），可求得 03543533563

10、55)(M，M到的距离.0)(Md 2.求下列各点的坐标：（1）在y轴上且到平面02222zy的距离等于 4 个单位的点；（2）在z轴上且到点)0,2,1(M与到平面09623zyx距离相等的点；（3）在x轴上且到平面01151612zyx和0122zyx距离相等的点。解：（1）设要求的点为)0,0(0yM则由题意 610y 50y或 7.即所求的点为（0，-5，0）及（0，7，0）。（2）设所求的点为),0,0(0z则由题意知：由此，20z或-82/13。故，要求的点为)2,0,0(及)1382,0,0(。（3）设所求的点为)0,0,(0 x，由题意知：由此解得：20 x或 11/43。所求

11、点即（2，0，0）及（11/43，0，0）。3.已知四面体的四个顶点为)4,1,1(),5,11,2(),3,5,3(),4,6,0(CBAS，计算从顶点S向底面 ABC 所引的高。解：地面 ABC 的方程为：所以，高335426h。4.求中心在)2,5,3(C且与平面01132zyx相切的球面方程。解：球面的半径为C到平面：01132zyx的距离，它为：142142814116532R，所以，要求的球面的方程为：56)2()5()3(222zyx.即：0184106222zyxzyx.5求通过x轴其与点5,4,13M相距 8 个单位的平面方程。解：设通过x轴的平面为0.ByCz它与点5,4,

12、13M相距 8 个单位，从而 22224138.481041050.BCBBCCBC因此1235430.BCBC 从而得12350BC或430.BC于是有:35:12B C 或:3:4.B C 所求平面为35120yz或340.yz 6.求与下列各对平面距离相等的点的轨迹.053407263yxzyx和;062901429zyxzyx和.解:0726371:1zyx 令53451726371yxzyx 化简整理可得:0105113zyx与07010943zyx.对应项系数相同,可求42614221DDD,从而直接写出所求的方程:0429zyx.9 判别点 M（2 -1 1）和 N（1 2 -3

13、）在由下列相交平面所构成的同一个二面角内，还是在相邻二面角内，或是在对顶的二面角内（1）1:3230 xyz与2:240 xyz（2）1:2510 xyz 与2:32610 xyz 解：（1）将 M（2 -1 1），N（1 2 -3）代入1，得：6 123 03263 0 则 M，N 在1的异侧 再代入2，得：22 147 01 4344 0 MN 在2的同侧 MN 在相邻二面角内 （2）将 M（2 -1 1）N（1 2 -3）代入1，得：4 1 5 19 022 15 18 0 则 MN 在1的异侧。再代入2，得：662 113034 18 1200 则 MN 在2的异侧 MN 在对顶的二面

14、角内 10 试求由平面1：2230 xyz与2：32610 xyz 所成的二面角的角平分方程，在此二面角内有点（1，2，-3）解：设 p（x y z）为二面角的角平分面上的点，点 p 到12 的距离相等 2222222233261212326xyzxyz化简得5332190(1)234240(2)xyzxyz 把点 p 代入到12 上，10 20 在（1）上取点（185 0 0）代入12，1200。在（2）上取点（0 0 -6）代入12，1200（2）为所求，解平面的方程为：34240 xyz 两平面的相关位置 1.判别下列各对直线的相关位置：（1）0142zyx与0324zyx；（2）052

15、2zyx与013zyx；（3）05426zyx与029639zyx。解：（1）)1(:21:41)4(:2:1，（1）中的两平面平行（不重合）；（2）)1(:3:1)2(:)1(:2，（2）中两平面相交；（3）)6(:3:9)4(:2:6，（3）中两平面平行（不重合）。2.分别在下列条件下确定nml,的值：（1）使08)3()1()3(znymxl和016)3()9()3(zlynxm表示同一平面；（2）使0532zmyx与0266zylx表示二平行平面；（3）使013zylx与027zyx表示二互相垂直的平面。解：（1）欲使所给的二方程表示同一平面，则：即：从而：97l，913m，937n。

16、（2）欲使所给的二方程表示二平行平面，则：所以：4l，3m。（3）欲使所给的二方程表示二垂直平面，则：所以：71l。3.求下列两平行平面间的距离：（1）0218419zyx，0428419zyx；（2）07263zyx，014263zyx。解：（1）将所给的方程化为：所以两平面间的距离为：2-1=1。（2）同（1）可求得两平行平面间的距离为 1+2=3。4.求下列各组平面所成的角：（1）011 yx，083x；（2）012632zyx，0722zyx。解：（1）设1：011 yx，2：083x 4),(21或43。（2）设1：012632zyx，2：0722zyx 218cos),(121或2

17、18cos),(121。5.求下列平面的方程:(1)通过点1,0,01M和0,0,32M且与坐标面xOy成060角的平面;(2)过z轴且与平面0752zyx成060角的平面.解 设所求平面的方程为.113zbyx 又 xoy 面的方程为 z=0,所以21113110103160cos222bb 解得203b,所求平面的方程为12633zyx,即03326zyx 设所求平面的方程为0 ByAx;则21514260cos22BABA 3,038322BABABA或BA3 所求平面的方程为03 yx或03 yx.空间直线的方程 1.求下列各直线的方程：（1）通过点)1,0,3(A和点)1,5,2(B

18、的直线；（2）通过点),(0000zyxM且平行于两相交平面i：)2,1(i的直线；（3）通过点)3,51(M且与zyx,三轴分别成120,45,60的直线；（4）通过点)2,0,1(M且与两直线11111zyx和01111zyx垂直的直线；（5）通过点)5,3,2(M且与平面02536zyx垂直的直线。解：（1）由本节（6）式，得所求的直线方程为：即：01553zyx，亦即01113zyx。（2）欲求直线的方向矢量为：所以，直线方程为：221102211022110BABAzzACACyyCBCBxx。（3）欲求的直线的方向矢量为：21,22,21120cos,45cos,60cos，故直线

19、方程为：132511zyx。（）欲求直线的方向矢量为：2,1,10,1,11,1,1，所以，直线方程为：22111zyx。（）欲求的直线的方向矢量为：5,3,6，所以直线方程为：553362zyx。.求以下各点的坐标：（）在直线381821zyx上与原点相距个单位的点；（）关于直线03220124zyxzyx与点)1,0,2(P对称的点。解：（）设所求的点为),(zyxM，则：又222225zyx 即：222225)38()8()21(ttt，解得：4t或762 所以要求的点的坐标为：)7130,76,7117(),20,12,9(。（）已知直线的方向矢量为：3,6,62,1,24,1,1，或

20、为1,2,2，过P垂直与已知直线的平面为：0)1(2)2(2zyx，即0322zyx，该平面与已知直线的交点为)3,1,1(，所以若令),(zyxP为P的对称点，则：221x，201y，213z 7,2,0zyx，即)7,2,0(P。.求下列各平面的方程：（）通过点)1,0,2(p，且又通过直线32121zyx的平面；（）通过直线115312zyx且与直线 平行的平面；（）通过直线223221zyx且与平面0523zyx垂直的平面；（）通过直线014209385zyxzyx向三坐标面所引的三个射影平面。解：（）因为所求的平面过点)1,0,2(p和)2,0,1(p，且它平行于矢量3,1,2，所以

21、要求的平面方程为：即015zyx。（）已知直线的方向矢量为 5,3,11,2,11,1,2，平面方程为：即015211zyx（）要求平面的法矢量为 13,8,11,2,32,3,2，平面的方程为：0)2(13)2(8)1(zyx，即09138zyx。（4）由已知方程014209385zyxzyx 分别消去x，y，z得到：0231136zy，079 zx，06411yx 此即为三个射影平面的方程。4.化下列直线的一般方程为射影式方程与标准方程，并求出直线的方向余弦：（1）0323012zyxzyx （2）064206zyxzx（3）20 xzyx 解：（1）直线的方向数为：)5(:1:)3(13

22、12:3221:2111 射影式方程为：59515253zyzx，即59515253zyzx，标准方程为：zyx51595352，方向余弦为：35353553cos，35153551cos，3555351cos。（2）已知直线的方向数为：)4(:3:44201:2111:1410，射影式方程为：4184342444zyzx，即29436zyzx 标准方程为：zyx432916，方向余弦为：4144411cos，41344143cos，4144411cos。（3）已知直线的方向数为：1:1:0)1(:)1(:00111:1011:0011，射影式方程为：22zyx，标准式方程为：zyx1202，

23、方向余弦为：0cos，21cos，21cos。5.一线与三坐标轴间的角分别为,.证明222sinsinsin2.证 222coscoscos1,2221 sin1 sin1 sin1 ,即222sinsinsin2.直线与平面的相关位置 1.判别下列直线与平面的相关位置：（1）37423zyx与3224zyx；（2）723zyx与8723zyx；（3）01205235zyxzyx与07734zyx；（4）4992tztytx与010743zyx。解：（1）0)2(3)2()7(4)2(，而017302)4(234，所以，直线与平面平行。（2）0717)2(233 所以，直线与平面相交，且因为7

24、72233，直线与平面垂直。（3）直线的方向矢量为：1,9,51,1,22,3,5，0179354，而点)0,5,2(M在直线上，又07)5(3)2(4，所以，直线在平面上。（4）直线的方向矢量为9,2,1，直线与平面相交。2.试验证直线l：21111zyx与平面：032zyx相交，并求出它的交点和交角。解：032111)1(2 5.设直线与三坐标平面的交角分别为.,证明.2coscoscos222 证明 设直线与 X,Y,Z 轴的交角分别为.,而直线与 yoz,zox,xoy 面的交角依次为.,那么,2,2,2.而.1coscoscos222.12cos2cos2cos222 从而有.2co

25、scoscos222 6.求下列球面的方程(1)与平面 x+2y+3=0 相切于点3,1,1 M且半径 r=3 的球面;(2)与两平行平面 6x-3y-2z-35=0 和 6x-3y-2z+63=0 都相切且于其中之一相切于点1,1,5M的球面.解:tztytx323321311为过切点且垂直与已知平面的直线,显见32,32,31是这条直线的方向余弦.取3t,则得3,2yx;取3t,则得5,1,0zyx.故所求球面有两个:9132222zyx,与951222zyx.tztytx21,31,65为过点且垂直于两平面的直线,将其代入第二个平面方程,得2t,反代回参数方程,得3,5,7zyx.设球之

26、中心为C,半径为r,则49112115,1,2,12222rC.故所求球面方程 为49121222zyx.空间直线的相关位置 1.直线方程0022221111DzCyBxADzCyBxA的系数满足什么条件才能使：（1）直线与x轴相交；（2）直线与x轴平行；（3）直线与x轴重合。解：（1）所给直线与x轴相交 0 x使 0101 DxA且0202 DxA 02211DADA且 1A，2A不全为零。（2）x轴与平面01111DzCyBxA平行 又x轴与平面02222DzCyBxA平行，所以 即021 AA，但直线不与x轴重合，21,DD不全为零。（3）参照（2）有021 AA，且021 DD。2.确

27、定值使下列两直线相交：（1）01540623zyxzyx与z轴；（2）12111zyx与zyx11。解：（1）若所给直线相交，则有（类似题 1）：从而 5。（2）若所给二直线相交，则 从而：45。3.判别下列各对直线的相互位置，如果是相交的或平行的直线求出它们所在的平面；如果是异面直线，求出它们之间的距离。（1）0623022yxzyx与01420112zxzyx；（2）131833zyx与462733zyx；（3）212tztytx与5217441zyx。解：（1）将所给的直线方程化为标准式，为：（-2）：3：4=2：（-3）：（-4）二直线平行。又点)0,43,23(与点（7，2，0）在二

28、直线上，矢量0,45,2110,432,237平行于二直线所确定的平面，该平面的法矢量为：19,22,50,45,2114,3,2，从而平面方程为：0)0(19)2(22)7(5zyx，即 0919225zyx。（2）因为0270423113637833，二直线是异面的。二直线的距离：30327031562704,2,31,1,34231133156222d。（3）因为0574121031，但是：1：2：（-1）4：7：（-5）所以，两直线相交，二直线所决定的平面的法矢量为 1,1,35,7,412,1，平面的方程为：33zyx。4.给定两异面直线：01123zyx与10211zyx，试求它们

29、的公垂线方程。解：因为 1,2,11,0,10,1,2，公垂线方程为：即022220852zyxzyx，亦即010852zyxzyx。5.求下列各对直线间的角(1).61932256231zyxzyx与(2).02302640220243zyzyxzyxzyx与 解(1)777236814436912546cos222222212121212121zyxzyxzzyyxx .7772arccos7772arccos或(2)直线43412630230264,11210:0220243zyxzyzyxzyxzyxzyx的对称式方程为：的对称式方程为 .19598arccos19598arccos或

30、 6.设d和d分别是坐标原点到点(,)M a b c和(,)M a b c 的距离,证明当aabbccdd时,直线MM通过原点.证,OMa b c,OMa b c,OM OMaabbcc,而当OM OMOM OM,cos(,)OM OMdd时,必有cos(,)1OM OM,/OMOM,当aabbccdd时,直线MM通过原点.7.求通过点2,0,1且与平面0123zyx平行,又与直线12341zyx相交的直线方程.解 设过点2,0,1的所求直线为 它与已知平面0123zyx平行,所以有023zyx （1）又 直线与已知直线相交,那么必共面.又有 即 7x+|8y-12z=0 (2)由(1),(2

31、)得 31:50:48713:71232:12821:ZYX 而 1:2:431:50:4 所求直线的方程为 .3125041zyx 8.求通过点1,0,4且与两直线4423,221zyxzyxzyxzyx与都相交的直线方程.解 设所求直线的方向矢量为zyxv,则所求直线可写为.14ZzYyXx 直线1l平行于矢量 3,3,01,1,21,1,121nn 矢量3,3,0v为直线1l的方向矢量.由于02111因此令 y=o 解方程组得 x=1,z=o 点(1,o,o)为直线1l上的一点.直线1l的标准方程为62155zyx.3,3,01.0,0,1,1121vMllll方向矢量为过点都相交且与

32、有0330103,11ZYXvvpm 即 X+3Y+3Z=0.即 X-13Y-3Z=0.得 X:Y:Z=30:6:-16 又,3:3:016:6:30 即.1vv不平行 6:1:516:6:30,即.2vv不平行 所求直线方程为:9.求与直线137182zyx平行且和下列两直线相交的直线.5342,3465yzxzxzxz tztytxtztytx74105,5332 解 在两直线上分别取两点,4,3,0,39,0,921MM 第一条直线的方向矢量为0,1,01v，第二条直线的方向矢量为6,2,32v，作两平面：即,03198;03038zyxzx 将其联立即为所求直线的方程 021532,0

33、17813253zyxzyx即 （1）017,0178145710zyxzyx即 （2）(1)(2)联立:.017021532zyxzyx 这就是所要求的直线方程.10.求过点0,1,2且与直线垂直225235:zyxl相交的直线方程.解 设所求直线的方向矢量为ZYXv,0 则所求直线0l可写为.012ZzYyXx 3X+2Y-2Z=0 (1)即 50X-69Y+6Z=0 (2)由(1),(2)得 311:131:120:ZYX 所求直线0l为:空间直线与点的相关位置 1.直线0022221111DzCyBxADzCyBxA通过原点的条件是什么 解：已知直线通过原点 故条件为021 DD。2.

34、求点)1,3,2(p到直线0172230322zyxzyx的距离。解：直线的标准方程为：所以，p到直线的距离为：1534532025)2(1212392292421243222222d。平面束 1.求通过平面0134zyx和025zyx的交线且满足下列条件之一的平面：（1）通过原点；（2）与y轴平行；（3）与平面0352zyx垂直。解：（1）设所求的平面为：0)25()134(zyxzyx 欲使平面通过原点，则须：021，即21，故所求的平面方程为：即：0539zyx。（2）同（1）中所设，可求出51。故所求的平面方程为：0)25()134(5zyxzyx 即：031421zx。（3）如（1）

35、所设，欲使所求平面与平面0352zyx垂直，则须：从而：3，所以所求平面方程为：05147yx。2.求平面束0)42()53(zyxyx，在yx,两轴上截距相等的平面。解：所给的方程截距式为：据要求：345145 1。所以，所求的平面为：01222zyx。3.求通过直线0405zxzyx且与平面01284zyx成4角的平面。解：设所求的平面为：0)4()5(zxzyx 则：22)8()4(1)()5()()8()()4(5)(222222 从而，1:0:或3:4 所以所求平面为：04 zx 或012720zyx。4.求通过直线32201zyx且与点)2,1,4(p的距离等于 3 的平面。解：直

36、线的一般方程为：设所求的平面的方程为0)223()1(zyx，据要求，有：有908125)13(92222 1:6:或8:3 即所求平面为：0)223()1(6zyx 或 0)223(8)1(3zyx 即：04236zyx或01916243zyx。5.求与平面0432zyx平行且满足下列条件之一的平面.通过点3,2,1;y轴上截距为3;与原点距离为1.解:设所求的平面为032zyx,将点3,2,1的坐标代入方程得14,则所求平面方程为01432zyx.设所求的平面为zyx32.6,32,132得令zyx.故所求平面为0632zyx.设所求的平面为032zyx,将其法化为032141zyx,将原

37、点的坐标代入得141,故所求平面为014132zyx.6.设一平面与平面 x+3y+2z=0 平行,且与三坐标平面围成的四面体体积为 6,求这平面的方程。解 设所求平面方程为:x+3y+2z+0 原点到该平面的距离为.14222CBADd 21,31,分别叫做平面在三坐标轴上的截距.四面体体积.31ShV )21)(31)(21316 .6 这个平面的方程为0623zyx 8.直线0022221111DzCyBxADzCyBxA的系数满足什么条件才能使直线在坐标平面 XOZ 内 解 坐标平面 XOZ 属于平面束 化简为021212121mDlDzmClCymBlBxmAlA 设平面 XOZ 面.0,0,0zxy 有000212121mDlDmClCmAlA .212121DDCCAA