解析几何第四版吕林根-期末复习-课后习题(重点)详解.docx

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1、第一章 1.3矢量与坐标数量乘矢量4、设 AB - a+ 5 bCD = 3(q0，证明:A、B、。三点共线.证明 BD = BC+CD = -2a+Sb + 3(6Z- b) = a+5b = AB：.AB与3。共线，又: 5为公共点，从而A、B、。三点共线.图1-51 (OA + OCOM =2L(OB+OD12所以 2 0M =-(OA+OB+OC+OD)2所以OA + OB + OC+OD =4 0”.27.、设L、M、N是A5C的三边的中点，0是任意一点，证明0A + OB + 0C = 0L + 0M + ON.证明.OA = OL + LAOB = OM+MBOC=ON + NC

2、:.0A + OB+OC=OL + OM+ ON + (LA + MB + NC)= OL + OM+ON-(AL + BM+CN)由上题结论知：AL + BM+CN = O:.0A + OB+OC=OL + 0M+ ON从而三中线矢量AL, BM,CN构成一个三角形。8.、如图1-5,设例是平行四边形438的中心，。是任意一点，证明0A + 03 + 0C+0D =4 0M.证明:因为。M =由（1） （2）两式得：（X2 +/）2- 2/，）=根4 _.2.2曲面的方程2、在空间，选取适当的坐标系，求下列点的轨迹方程：（1）到两定点距离之比为常数的点的轨迹；（2）到两定点的距离之和为常数的

3、点的轨迹；（3）到两定点的距离之差为常数的点的轨迹；（4）到一定点和一定平面距离之比等于常数的点的轨迹。解（1）取二定点的连线为X轴，二定点连接线段的中点作为坐标原点，且令两距离之比的常 数为相，二定点的距离为2，则二定点的坐标为（,0,0）,（,0,0）,设动点Af （x,y,z）, 所求的轨迹为C,则z） e C （x - df + y2 + z2= m （x + 6/）2 + 2 + z 2亦即（X -+ y 2 + 2 2 =m 2 （X + ）2 + y 2 + Z 2 经同解变形得：（1加2）。2+丁2+22） 2（1+机2,+（1m2）。2=。上式即为所要求的动点的轨迹方程。 建

4、立坐标系如（1）,但设两定点的距离为2c,距离之和常数为2。设动点M（x,z）, 要求的轨迹为C,则 A/（x, y, z）wC = （x - c）2 + 2 + z 2 + （x + c）2 + y2+ z2 =2a亦即（x-cr + y2+z? -2a- （x + c）2 + 2 + z 2两边平方且整理后，得：（。2一。2）12 +。22+。222 =。2（。2 。2）（1）a c ：.令 b 2= a2 - c2从而（1）为外、。，%。即：b2x2+a2y2+a2z2=a2b2由于上述过程为同解变形，所以（3）即为所求的轨迹方程。 建立如（2）的坐标系，设动点M（x, y,z）,所求的

5、轨迹为C,贝ij M（x, y, z） C = J（x - 0J + y 2 + z 2 + c）2 + y 2 + z2 = +2ax 2 y2 z 2类似于（2）,上式经同解变形为： -左-=1a2 c2其中 b2 = c2-a2 (c (21)(*)设动点M(x, y, z),所求的轨迹为C ,则M(x, y,z)eC o x2 + y2+.将上述方程经向解化简为：x2 + j2+(l-m2)z2-2cz + (*)即为所要求的轨迹方程。第三章平面与空间直线3.1平面的方程1 ,求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程：(3)已知四点 A(5,l,3) ， 3( 1,6,2) , C(5,

6、0,4) D(4,0,(2z = m z/斓 e5D求通过直线AB且平行于直线(*)即为所求的轨迹的方程。 取定平面为xoy面，并让定点在z轴上，从而定点的坐标为(0,0,。)，再令距离之比为m oCD的平面，并求通过直线AB且与AA8c平面垂直的平面。解(i )设平面谴过直线AB,且平行于直线CD：AB = -4,5-1,。姿极d从而渝参数方程为：二：一，一 x = 5 - 4 期一般方程为：10x + 9y + 5z 74 = 0。(ii)夕修坪前直线AB,且垂直于AA3C所在的平面%、43= -451, ABxAC=-4,5-lx0-l,l = 肩与行，所以的参数式方程为：x = 5-4

7、u + v +“=1,把点乂（3,2,-4）代入得。= -2 -3 c19故一般方程为12x + 8 y + 19z + 24 = 0.若所求平面经过X轴，则（0,0,0）为平面内一个点， 52和 1,0,0为所求平面的方位矢量，x-Q y -0 z - 0点法式方程为 512 =。100一般方程为2y + z = 0.同理经过y轴，z轴的平面的一般方程分别为2x + 5z = 0, x 5 y = 0 .MM 2= LT,3.MM2垂直于平面花该平面的法向量;丰,平面。通过点M（3-1,2）,因此平面对勺点位式方程为G3）（y + 1）3（z 2） = 0.化简得 x- y-3z + 2 =

8、 0. 一 op - 2,9-6.J4 + 81 + 36 = IL)op = p .止=11 (cos 9, cos 仇 cos力二(2,9,一6).2 A 96.cos e = COS 3= _cos/=- -11 11 11296则该平面的法式方程为：_x+_y z_ll=0111111既 2x + 9y 6z=0.x-8y+ 3z -1=0(6)平面= 1-893的法向量为M M =1,6,112（4,1,2），点从3 =26,1%- 4写出平面的点位式方程为113 11 3B= =2, C= 14, O = 26 x 4 + 2 + 28 = 74 ,1 11 1则一般方程 Ax +

9、 By+Cz + D = Q,即：13x y 72 37 = 0.8.已知三角形顶点A（0,7,0）,8（2,1,1）,。（2,2,2）,求平行于A8C所在的平面且与她 相距为2各单位的平面方程。解：设= 点A（0,7,0）.则 =2,6力=2,9,2写出平面的点位式方程x y + 7 z261=0292设一般方程 Ax + By+Cz + D = 0.:. A = 3.B = 2,C = 6.D = -M + z = 1分别与三个坐标轴交于点A,B,C.求ABC的面积。 abc解 A(,0,0) , B(0,Z7,0) , C(0, 0,c) A3 = -。，瓦0 , AC=q,0,c, 所

10、以，要求的球面的方程为：AB x AC %红35年8帝鼎住盘。正即：入 2月彩装c司+的4*诞.3.2 2平面与点的相关位置3 .已知四面体的四个顶点为S(0,6,4), A(3,5,3),B(-2,l 1-5), C(1-1,4),计算从顶点S向底面ABC所引的高。解：地面ABC的方程为：2x y 2z + 5 0-6-2x4+5 所以，高力=3。4 .求中心在。(3,-5,2)且与平面2x - y 3z +11 = 0相切的球面方程。解：球面的半径为。到平面% 2xy 3z+ll=0的距离，它为:2x3+5+6+11 R =1428 =214,145 .求通过x轴其与点M（5,4/3）相距

11、8个单位的平面方程。4B+13Cy)B2+C2解：设通过x轴的平面为By+Cz = O.它与点M（5,4/3）相距8个单位，从而 8. 48B2-104BC-105C2=0.因此(123 - 350)(43 + 3C) = 0.从而得12B 35C = 0或4B + 3C = 0.于是有 3:C = 35 :12或8:C = 3 :（-4）.僚朋分召学弄虚名室$+ 2 = 0表示二平行平面； 6（球绚邱洌得对荻面距领邮吼点0叫迹.=0表示二互相垂直的平面。解3X f）6卿蜘给柞诩腥表视-M0 ；则：1-3 _m + I _n - 3 _ 89x y + 2z 14 = 0栩多3亍加22今豆于。

12、3 一丁即：解：(1)乃:7(3x + 6y-2z 7)= 0乃 J(4% - 3y - 5)= 0令 1(3x + 6y-2z-7)=1(4x-3y - 5)化简整理可得：13x 51+ 102 = 0与43%+ 9) 102 70 = 0.对应项系数相同,可求。=1+ 02= - 14 + 6 = _4 ,从而直接写出所求的方 22程：9x - y + 2z 4 = 0 .3.3 两平面的相关位置2.分别在下列条件下确定/, m, n的值：(1)使(/一 3)x+ (m + l)y + (n - 3)z + 8 = 0 和(，+ 3)x + (n-9)y + (/ - 3)z - 16 =

13、 0 表示同一平面；1.栩地务班箧即菊薜21+ 丁- 5z-7二解 设所求平面的方程为、+)+z二 3 b 1又xoy面的方程为z=0,所以cos 600=解得匕= 3 ，所求平面的方程为“203即 x 26y+ 3z -3 = 0设所求平面的方程为Ax + By = 0二0成60角的平面.=1.1 -0+ 1 -0 + 13 bJG MY 12 2J , +1+: +z = 1,+26r l/ 42 A + jB1;KO cos 60 = A2 +B2 4 + 1 + 5 2/n + 2/ - 3 = 0 - -MN=MA+ AN = MA+ AD+ DN ，MN=MB+ BN=MB+ BC

14、 + CN 9 ：. MN = AD+ BC ,即1.4矢量的线性关系与矢量的分解3.、设一直线上三点A,氏P满足AP =4丽加-1),。是空间任意一点，求证:-OA + AOB OP =1+4证明:如图1-7,因为AP = 0P-0A. 方=无一而，所以 0P-0A=0B-6P).(1+X) OP = 0A +/10B,r i H 777; 0A + AOB从而 OP =-A()4.、(1)设。、E是边BC三等分点,将矢量1修,02的线性组合;解(1) ： BG=AG-在 AABC 中，设 AB = g , AC = e2 .23 13 21, 同理45=2力BG= 1 (v Jro-21(

15、2)设AT是角A的平分线(它与点),mr分解为的线性组合1e-3 17与7T方向相同，(2)因为=I匕1 由上题结论有叼re.AT =/ inr+ieir21121 + 21 + UJI e25.在四面体0ABe中，设点6是儿48。的重心(三中线之交点)，求矢量0G对于矢量所以：/ = 4, m 8 o3.6空间直线与点的相关位置f2x-2y + z + 3 = 02.求点p（2,3l）到直线 的距离3x-2y + 2z + n = 0解：直线的标准方程为：x - 11 _ y _ z + 25T-1由，得X:Y:Z =22*-12 . -12= -4:50:31而4:50:31 w4:(2)

16、:1所求直线的方程为二= C-450131 +z_ 8.求通过点p（4,oi）且与两直线=，2x-y - z = 2与蒋二二都相交的直线方程.所以，p到直线的距离为：解 设所求直线的方向矢量为y = x, y, z, x 4-1则所求直线可写为=y = z + iX Y Z ,V 直线/1平行于矢量x2=l/x 2-1-1 = 0,3-3，矢量V = 0,3,-3为直线/的方向矢量.由于*：百：昂倾海1弁解方程组得T 2 -即口不平行彩.斤1载直线方程为：点（工6,为直线/十J1的一点.15,市.1胸强例洒羽鼠巧直窃/ d享z + 25垂直相交的直线方程., /与/都相交且。过点心（1，。，。

17、）.方向矢量为V = 0,3,-3.4过点2（1，。，-2）,方向矢量内 = 5-1,6）.3 0 -1=0 3 -3=0X Y Z0 -1-1 6=0Y Z即 X-13Y-3Z=0.得 X:Y:Z=30:6:-16又 30:6:-16。0:3:-3,即u不平行解 设所求直线的方向矢量为Vo=x,y,zX 2则所求直线/可写为 = y-l_z-0 X Y Z .直线/过点M(50 - 25),直线/的方向矢量 = 3,2, - 2./()与/垂直，所以有u().u = 0.J 3X+2Y-2Z=0(1)/与/相交有气-4 -3 25()MR%1 32 -2 = 0.XYZBP 50X-69Y+

18、6Z=0(2)由(1),(2)得 X: Y:Z= 120 :131 : 311所求直线/。为：%- 2 _ y -1 _ z120 131 311, 3.8 面束3 .求通过直线(、+5+ 2 = on且与平面x 4y一82 + 12 = 0成4角的平面。x-z + 4 = 0I解： 设所求的平面为:/(X + 5 y + z) +- z + 4) = 0(川办 + 5jux (4) + (乃 x (8)2则：= (万 + (5犷 + 俗-不？ 12 + (-4)2 + (-8)22从而,4= 0 :1 或一 4 : 3所以所求平面为：x - z + 4 = 0或 x + 20y + 7z -

19、12 = 04 .求通过直线“+ 1 =+ 2= z且与点,2)的距离等于3的平面。02-3解：直线的一般方程为：b + 1=0+ 2z + 2 = 0设所求的平面的方程为；t(x + 1) + (3y + 2z + 2) = 0 ,据要求，有:4A+ 3/4- 4yt/+2+ 2二3J 1 + 9, + 4，.有 9(4 +13,)= 254 + 81 + 902:/z= -6 :1 或 3 :8即所求平面为：6(x + 1) + (3y + 2z + 2) = 0 此即为所求的方程。3、求过三条平行直线x = y = z,x+ 1 =y = z-l,与xl =y+l=z-2的圆柱面方程。解

20、：过原点且垂直于已知三直线的平面为x + y + z = 0：它与已知直线的交点为(0,0,0),(-1,0,1),(1,-1,，这三点所定的在平面x + y + z =。上的圆的圆心为了 3 32、设柱面的准线为卜= ,2+z2 ,母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。 x = 2z解：由题意知：母线平行于矢量1,0,-2任取准线上一点Mo(Xo，%,z0),过的母线方程为：X Xq + tXq X - t、=yz = z-2tz0 = z + 2t而在准线上，所以：x -，= y2+(z + 2 f)2x - t = 2(z + 2。消去八 得至U： 4x2 + 25y2+z2 + 4

21、xz-20x-10z = 0或 3(x+ l) + 8(3y + 2z + 2) = 0即：6x 3y 2z + 4 = 0 或 3x + 24 y+ 16z + 19 = 0第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面4.1柱面m（-L- u B）,圆的方程为: 15159 159875Z 2.2/112/13、2（% +记）+。+甘+屹甘 x+ y + z = Q此即为欲求的圆柱面的准线。又过准线上一点MGlJ,Zi)勺锥面方程。且方向为1,1,1的直线方程为:4、求以三坐标轴为母线的圆锥面的方程。解(这里仅求I、VII卦限内的圆锥面，其余类推),圆锥的轴/与，等角，故/的方向数为1:1:1与/垂

22、直的平面之一令为x + y + z = 1I 1111I Z将此式代入准线方程，并消去E得到：3x2 - 5+ 7z2 - 6xy - 2yz +1 Qxz -4x + 4y-4z + 4 = 0=2 + (z + 2)/l 0将它们代入准线方程，并消去看得：化=-l+(y+!f Xo = 3 + (x 3)ty t令它与准线交于(Xo.yz。)，即存在/,使=z tx-3 y + 1 z + 2X-3 _Y+1_Z+25(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx) + 2x + lly- 13z = 0 此即为所求的圆柱面的方程。4.2锥面2、已知锥面的顶点为(3厂1 ,一2)

23、,准线为x2 + y2z2=,x y + z = o,试求它的方程。解：设M(x,y,z)为要求的锥面上任一点，它与顶点的连线为:平面x + y + z = 1在所求的锥面的交线为一圆，该圆上已知三点(1,0 ,0), (0,1,0), (。,0,1),该圆的圆心为(L,，)，故该圆的方程为： 3 3 3(x-1)2 +(y-)2 +(z-)2 =/)2r 37 u 37 v 373x+ y + z = 1它即为要求圆锥面的准线。对锥面上任一点M(x,y,z),过M与顶点。的母线为：要求圆锥面的准线为：111.2 /义首 Z 37、2 116勺)+(及一0)弱屹勺)=歹令它与准线的交点为(X。

24、!箔好疗G滋巧，使Xo = M,% = ,Zo=z，将它们代入准缓谶面与向肖以京常(%, 乂 Z),过该点与顶点的母线为：xy + yz + zx = Q此即为要求的圆锥面的方程。5、求顶点为(1,2, 4),轴与平面2尤+ 2+ 2 = 0垂直，且经过点(3, 2,1)的圆锥面的方程。x 1 y 2 z4解：轴线的方程为：=221过点(3, 2, 1)且垂直于轴的平面为：2(x 3) + 2(y 2) + (z 1) = 0即:2x + 2y + z-1 = 0该平面与轴的交点为(11 30 3?),它与2,1)的距离为: 9 9 9X-I_Y-2_Z4x- y-2 z -4令它与准线的交点

25、为(Xo，y0,Zo),即存在使Xo=l+(x1,%=2 + (/2,Zo= 4 + (z- 4)Z将它们代入准线方程，并消去方得:此为所求的旋转面方程。(2)对母线上任一点过Al1的纬圆为:(y y) + 2(z Z|) =。x-1候Tj = l2(z _1)2(1); = -E绕一=上-二一一旋转 11121-120 M杳母眺，Z 14互=3=叁(2)，2 = ： = 绕彳=不二方-旋转(3)?=e=:绕z轴旋转；1-3 3(1)(4)空间曲线_ 2z = 绕z轴旋转。 x2 + y2 = lx 1 y +1 z 1解(1)设陷(4y,zj是母线= =二=上任一点, 1 12过的纬圆为:f

26、(x-xl)-(y-yl) + 2(z-zl) = 0x2+y-(z-l) *x+/ + (l) 又在母线上。.为一1 _y+i _Z-i ,1-12从(1) (3)消去M，y,z得到:5x2 +5y2 + 2z2 + 2xy + 4yz - 4xz + 4x - 4y - 4z - 8 = 051x2 + 51y + 12z2 + 104xy +52yz+ 52zx 518x 516y 252z +1299 = 043旋转曲面1、求下列旋转曲面的方程:从(1) (3)消去得至ij：5x2 + 5 y2 + 23z2-l2xy - 24 yz + 24xz - 24x + 24 y - 46z

27、 + 23 = 0 此为所求的旋转面的方程。(3)对母线上任一点,过该点的纬圆为：0222x+y+ z = x- + y -+ z -(2)LI 11又M在母线上，所以：= M = Z(3)11-3 3从(1)(3)消去不必,马,得到：9(x2 + /)-10z2-6z-9 = 0此为所求的旋转面方程。(4)对母线上任一点A/1区，y,zj,过 M的纬圆为：(1)fz = ZI 2122222x +y +z =x +y +ZIi i又M在母线上，所以z =x2(1)1 1 VXi2 + y2 = 1(2)从(1)(3)消去 ,Z,得到:/.0z 1即旋转面的方程为：x2 + y2=l (0z

28、1)4.4椭球面2、设动点与点(1,0,0)的距离等于从这点到平面x = 4的距离的一半，试求此动点的轨迹。解：设动点M(x,y,z),要求的轨迹为2,则 3x2 + 4y2 + 4z2 = 12M(x, y,z) gS o J(xTy + y+z2= 一/_4此即为E的方程。2223、由椭球面上+2L+二=1的中心（即原点），沿某一定方向到曲面上的一点的距离为人/ b2 c2设定方向的方向余弦分别为九，口试证：新坐标系的方向余弦，从而无+无+k=1,即里,4+2+4=i,v；+y2+M=l12312312所以,=、斗个下)/(/+/+/)+1 R* + d+M)31 1 1二/+/22，23

29、三点重合6.用矢量法证明以下各题 (1)三角形三中线共点BM于CN交于P3,取空间任西=砺+苗=金= &B+同理。产证明：设BC, CA, AB中，点分别三角形三中线共点即因3 mBMC)3AL与BM交于R, AL于CN交于P2+ OB+OC)HZ C。4, OB, 0C的分解式。解： G是AABC的重心。，连接AG并延长与BC交于P同理前=(胡+阮Jg+宜)(JG = OA+ A(S = OA + 1(AS*+ UCJ()OCj = OB + BG，= Ob + (z?a+ z?c) (2)OG = OC + CG = OC+ 1(CT CB (3) 3由(1) (2) (3)得3UG =

30、OA+On+OC+ L( AB + AC + BA ) + - 33= OA+OB+OC(图2)1.5标架与坐标9.已知线段AB被点C(2,0,2)和D(5,-2,0)三等分，试求这个线段两端点A与B的坐标.答 A(-l,2,4),B(8,-4,2).10.证明：四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点，且这点到顶点的距离是它到对面 重心距离的三倍.用四面体的顶点坐标把交点坐标表示出来.即： + + = +_+222212八r1Ga b c4.5双曲面3、已知单叶双曲面上 +匕-二=1，试求平面的方程，使这平面平行于yoz面(或xoz面) 494且与曲面的交线是一对相交直线。解：设所求的平面为

31、了=攵，则该平面与单叶双曲面的交线为：(222z_+ _ _ (*)494x = k944x-kk2为使交线(*)为二相交直线，则须：1 =0,即左=24所以，要求的平面方程为：x = +2同理，平行于xoy的平面要满足它与单叶双曲面的交线为二相交直线，则该平面为：y = 34、设动点与(4,0,0)的距离等于这点到平面x= 1的距离的两倍，试求这动点的轨迹。解：设动点M(x,y,z),所求轨迹为E,则M (x, y,z) eZ =(x - 4)2 + y2 + z2 = 2 x -10 (x - 4)2 + y2 + z2 = 4(x-l)2222亦即：厂+ A + Z =14 12 12此

32、为2的轨迹方程。2225、试求单叶双曲面土 +上-j=1与平面x-2z + 3 =。的交线对xoy平面的射影柱面。16 45解：题中所设的交线为：x y z+) = 1x-2z + 3 = 0从此方程中消去z ,得到：x+20 y-24x-116 = 0此即为要求的射影柱面方程。 4.6 物面2、适当选取坐标系，求下列轨迹的方程：(1)到一定点和一定平面距离之比为定常数的点的轨迹；(2)与两给定的异面直线等距离的点的轨迹，已知两异面直线间的距离为2。，夹角为2必 解(1)取定平面为My面，过定点且垂直于My面的直线作为z轴，则定点的坐标设为(0,0,)，而定平面即为z = 0,设比值常数为c,并令所求的轨迹为2,则x2 + yz+(z-aysinacos%经同解化简得：z =点M也,y,苫e S o 此即所要求的轨迹方程。即/+/+(1飞2后喇例晶曲与双叶双曲面的直母线此为的方程。、,3(2#耍通箱断息缴勺座线为“；率普雨斌蕾理康锁2苗取空轴9眦真墩线异面直线的夹 席相等，则二异面直4的方程为：y + tga- x = 0z = a