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1、 最新 2019 版高考数学大一轮复习-第九章第 5 节-第 1 课时-椭圆及其标准方程教案-文-新人教 A 版 2 第 1 课时 椭圆及其标准方程 最新考纲 1.了解椭圆的实际背景,了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用;2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.知 识 梳 理 1.椭圆的定义 在平面内与两定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.其数学表达式:集合PM|MF1|MF2|2a,|F1F2|2c,其中a0,c0,且a,c为常数:(1)若ac,则集合P为椭圆;(2)若ac,则集合
2、P为线段;(3)若ac,则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(ab0)3 图形 性质 范围 axa byb bxb aya 对称性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点 顶点 A1(a,0),A2(a,0),B1(0,b),B2(0,b)A1(0,a),A2(0,a),B1(b,0),B2(b,0)轴 长轴A1A2的长为 2a;短轴B1B2的长为 2b 焦距|F1F2|2c 离心率 eca(0,1)a,b,c的关系 c2a2b2 常用结论与微点提醒 1.过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦的长为2b2a,称为通径.4 2.椭圆离心率eca
3、a2b2a1b2a2.3.应用“点差法”时,要检验直线与圆锥曲线是否相交.诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.()(2)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.()(3)方程mx2ny21(m0,n0,mn)表示的曲线是椭圆.()(4)x2a2y2b21(ab0)与y2a2x2b21(ab0)的焦距相同.()解析(1)由椭圆的定义知,当该常数大于|F1F2|时,其轨迹才是椭圆,而常数等于|F1F2|时,其轨迹为线段F1F2,常数小于|F1F2|时,不存在这样的图形.(2)因为ecaa2b2a1ba2,所以e越大,则ba
4、越小,椭圆就越扁.5 答案(1)(2)(3)(4)2.(2017浙江卷)椭圆x29y241 的离心率是()A.133 B.53 C.23 D.59 解析 由已知,a3,b2,则c 94 5,所以eca53.答案 B 3.(2018张家口调研)椭圆x216y2251的焦点坐标为()A.(3,0)B.(0,3)C.(9,0)D.(0,9)解析 根据椭圆方程可得焦点在y轴上,且c2a2b225169,c3,故焦点坐标为(0,3),故选 B.答案 B 4.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于12,则椭圆C的方程是()6 A.x23y241 B.x24y231 C.x24y221 D
5、.x24y231 解析 由题意知c1,eca12,所以a2,b2a2c23.故所求椭圆C的方程为x24y231.答案 D 5.(选修 11P42A6 改编)已知点P是椭圆x25y241 上y轴右侧的一点,且以点P及焦点F1,F2为顶点的三角形的面积等于 1,则点P的坐标为_.解析 设P(x,y),由题意知c2a2b2541,所以c1,则F1(1,0),F2(1,0),由题意可得点P到x轴的距离为 1,所以y1,把y1 代入x25y241,得x152,又x0,所 7 以x152,P点 坐 标 为152,1 或152,1.答案 152,1 或152,1 考点一 椭圆的定义及其应用【例 1】(1)(
6、选修 11P42A7 改编)如图,圆O的半径为定长r,A是圆O内一个定点,P是圆上任意一点,线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹是()A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆(2)椭圆x225y21上一点P到一个焦点的距离为2,则点P到另一个焦点的距离为()A.5 B.6 C.7 D.8 解析(1)连接QA.由已知得|QA|QP|.8 所以|QO|QA|QO|QP|OP|r.又因为点A在圆内,所以|OA|OP|,根据椭圆的定义,点Q的轨迹是以O,A为焦点,r为长轴长的椭圆.(2)由椭圆定义知点P到另一个焦点的距离是 1028.答案(1)A(2)D 规律方法
7、 1.椭圆定义的应用主要有:判定平面内动点的轨迹是否为椭圆、求椭圆的标准方程和离心率等.2.椭圆的定义式必须满足 2a|F1F2|.【训练 1】(1)设定点F1(0,3),F2(0,3),动点P满足条件|PF1|PF2|a9a(a0),则点P的轨迹是()A.椭圆 B.线段 C.不存在 D.椭圆或线段(2)与圆C1:(x3)2y21 外切,且与圆C2:(x3)2y281 内切的动圆圆心P的轨迹方程为_.9 解析(1)a9a2a9a6,当且仅当a9a,即a3 时取等号,当a3 时,|PF1|PF2|6|F1F2|,点P的轨迹是线段F1F2;当a0,且a3 时,|PF1|PF2|6|F1F2|,点P
8、的轨迹是椭圆.(2)设动圆的半径为r,圆心为P(x,y),则有|PC1|r1,|PC2|9r.所以|PC1|PC2|10|C1C2|,即P在以C1(3,0),C2(3,0)为焦点,长轴长为 10 的椭圆上,得点P的轨迹方程为x225y2161.答案(1)D(2)x225y2161 考点二 椭圆的标准方程【例 2】(1)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点32,52,(3,5),则椭圆的标准方程为_.10(2)(一题多解)过点(3,5),且与椭圆y225x291 有相同焦点的椭圆标准方程为_.解析(1)设椭圆方程为mx2ny21(m,n0,mn).由322m522n1,3m5n1,
9、解得m16,n110.椭圆的标准方程为y210 x261.(2)法一 椭圆y225x291 的焦点为(0,4),(0,4),即c4.由椭圆的定义知,2a(30)2(54)2(30)2(54)2,解得a2 5.由c2a2b2可得b24.11 所以所求椭圆的标准方程为y220 x241.法 二 设 所 求 椭 圆 方 程 为y225kx29k1(kb0).过点F2(1,0)且垂直于x轴的直线被曲线C截得弦长|AB|3,点A1,32必在椭圆上,1a294b21.又由c1,得 1b2a2.由联立,得b23,a24.故所求椭圆C的方程为x24y231.(2)法一 当椭圆的焦点在x轴上时,设所求椭圆的方程
10、为x2a2y2b21(ab0).椭圆经过两点(2,0),(0,1),4a20b21,0a21b21,解得a2,b1.所求椭圆的标准方程为x24y21;13 当椭圆的焦点在y轴上时,设所求椭圆的方程为y2a2x2b21(ab0).椭圆经过两点(2,0),(0,1),0a24b21,1a20b21,解得a1,b2,与ab矛盾,故舍去.综上可知,所求椭圆的标准方程为x24y21.法二 设椭圆方程为mx2ny21(m0,n0,mn).椭圆过(2,0)和(0,1)两点,4m1,n1,解得m14,n1.综上可知,所求椭圆的标准方程为x24y21.答案(1)x24y231(2)x24y21 考点三 焦点三角
11、形问题 14【例 3】(1)已知椭圆x24y221 的两个焦点是F1,F2,点P在该椭圆上,若|PF1|PF2|2,则PF1F2的面积是()A.2 B.2 C.2 2 D.3(2)已知F1,F2是椭圆C:x2a2y2b21(ab0)的两个焦点,P为椭圆C上的一点,且F1PF260,SPF1F23 3,则b_.解析(1)由椭圆的方程可知a2,c 2,且|PF1|PF2|2a4,又|PF1|PF2|2,所以|PF1|3,|PF2|1.又|F1F2|2c2 2,所以有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2,即PF1F2为直角三角形,且PF2F1为直角,所以SPF1F212|F1F2|PF2|122
12、21 2.(2)由题意得|PF1|PF2|2a,又F1PF260,所 以|PF1|2|PF2|2 2|PF1|PF2|cos 60|F1F2|2,所以(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|4c2,所以 3|PF1|PF2|4a24c24b2,15 所以|PF1|PF2|43b2,所以SPF1F212|PF1|PF2|sin 601243b232 33b23 3,所以b3.答案(1)A(2)3 规律方法 1.椭圆上一点P与两焦点F1,F2构成的三角形称为焦点三角形,解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理等知识.2.椭圆中焦点三角形的周长等于 2a2c.【训练 3】已知椭圆x
13、249y2241 上一点P与椭圆两焦点F1,F2的连线夹角为直角,则|PF1|PF2|_.解析 依题意a7,b2 6,c 49245,|F1F2|2c10,由于PF1PF2,所以由勾股定理得|PF1|2|PF2|2|F1F2|2,即|PF1|2|PF2|2100.又由椭圆定义知|PF1|PF2|2a14,16(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|100,即 1962|PF1|PF2|100.解得|PF1|PF2|48.答案 48 基础巩固题组(建议用时:40 分钟)一、选择题 1.椭圆x2my241 的焦距为 2,则m的值等于()A.5 B.3 C.5 或 3 D.8 解析 由题意知椭圆
14、焦距为 2,即c1,又满足关系式a2b2c21,故当a24 时,mb23;当b24 时,ma25.答案 C 2.设F1,F2为定点,|F1F2|6,动点M满足|MF1|MF2|6,则动点M的轨迹是()A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 解析|MF1|MF2|6|F1F2|,动点M的轨迹是线段.答案 D 17 3.设F1,F2是椭圆x225y291 的焦点,P为椭圆上一点,则PF1F2的周长为()A.16 B.18 C.20 D.不确定 解析 PF1F2的周长为|PF1|PF2|F1F2|2a2c.因为 2a10,c 2594,所以周长为 10818.答案 B 4.“2m0,6m0,m26m,
15、2m6 且m4.故“2m|AB|6,动点M的轨迹是椭圆,且焦点分别是A(3,0),B(3,0),且 2a8,a4,c3,b2a2c21697.所求动圆圆心M的轨迹方程是x216y271.10.已知椭圆的中心在原点,两焦点F1,F2在x轴上,且过点A(4,3).若F1AF2A,求椭圆的标准方程.解 设 所 求 椭 圆 的 标 准 方 程 为x2a2y2b21(ab0).设焦点F1(c,0),F2(c,0)(c0).F1AF2A,F1AF2A0,而F1A(4c,3),F2A(4c,3),(4c)(4c)320,c225,即c 21 5.F1(5,0),F2(5,0).2a|AF1|AF2|(45)
16、232(45)232 10 904 10.a2 10,b2a2c2(2 10)25215.所求椭圆的标准方程为x240y2151.能力提升题组(建议用时:20 分钟)11.已知F1,F2分别是椭圆E:x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点,点1,22在椭圆上,且点(1,0)到直线PF2的距离为4 55,其中点P(1,4),则椭圆的标准方程为()A.x2y241 B.x24y21 C.x2y221 D.x22y21 解析 设F2的坐标为(c,0)(c0),则kPF2 22 4c1,故直线PF2的方程为y4c1(xc),即4c1xy4cc10,点(1,0)到直线PF2的距离d4c14cc14c12144c1214 55,即4c124,解得c1 或c3(舍去),所以a2b21.又点1,22在椭圆E上,所以1a212b21,由可得a22,b21,所以椭圆的标准方程为x22y21.答案 D 12.椭圆x29y221 的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|4,则F1PF2的大小为_.23 24 25 又点P到直线l:xy20 的距离为d32,所以PAB的面积为S12|AB|d92.