2022年最新2019版高考数学大一轮复习-第九章第5节-第1课时-椭圆及其标准方程教案-文-新人教A版 .pdf

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1、1 第 1 课时椭圆及其标准方程最新考纲1. 了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 知 识 梳 理在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数( 大于 |F1F2|) 的点的轨迹叫做椭圆. 这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 其数学表达式：集合P M|MF1| |MF2| 2a ，|F1F2| 2c，其中a0，c0，且a，c为常数：(1) 假设ac，则集合P为椭圆；(2) 假设ac，则集合P为线段；(3) 假设ac，则集合P为空集 . 标准方程x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(

2、ab0) 图形性质范围axa byb bxb aya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1( a，0) ，A2(a，0)，B1(0 ，b) ，B2(0 ，b)A1(0 ，a) ，A2(0 ，a)，B1( b，0) ，B2(b，0) 轴长轴A1A2的长为 2a；短轴B1B2的长为 2b焦距|F1F2| 2c离心率eca (0 ，1) a，b，c的关系c2a2b2 常用结论与微点提醒 2b2a，称为通径 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页2 ecaa2b2a1b2a2. 3. 应用“点差法”时，要检验直线与圆

3、锥曲线是否相交. 诊 断 自 测1. 思考辨析 ( 在括号内打“”或“”)(1) 平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( ) (2) 椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.( ) (3) 方程mx2ny21(m0，n0，mn) 表示的曲线是椭圆.( ) (4)x2a2y2b21(ab0) 与y2a2x2b21(ab0)的焦距相同 .( ) 解析(1) 由椭圆的定义知，当该常数大于 |F1F2| 时，其轨迹才是椭圆，而常数等于 |F1F2| 时，其轨迹为线段F1F2，常数小于 |F1F2| 时，不存在这样的图形. (2) 因为ecaa2b2a1ba2，所以e越大，则ba越小，

4、椭圆就越扁. 答案(1) (2) (3) (4) 2.(2017 浙江卷 ) 椭圆x29y241 的离心率是 ( ) A.133B.53C.23D.59解析由已知，a3，b 2，则c945，所以eca53. 答案B 3.(2018 张家口调研) 椭圆x216y2251 的焦点坐标为 ( ) A.( 3， 0) B.(0 ，3)C.( 9， 0) D.(0 ，9)解析根据椭圆方程可得焦点在y轴上， 且c2a2b225 169，c3，故焦点坐标为(0，3)，故选B. 答案B C的右焦点为F(1 ，0)，离心率等于12，则椭圆C的方程是 ( ) A.x23y241 B.x24y23 1 C.x24y

5、221 D.x24y231 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页3 解析由题意知c1，eca12，所以a2，b2a2c2C的方程为x24y231. 答案D 5.( 选修 11P42A6改编 ) 已知点P是椭圆x25y241 上y轴右侧的一点， 且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为 _. 解析设P(x，y) ，由题意知c2a2b2541，所以c 1，则F1( 1，0) ，F2(1，0) ，由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y1，把y1 代入x25y24 1，得x152，又x0，所以x15

6、2，P点坐标为152，1 或152， 1 . 答案152，1 或152， 1考点一椭圆的定义及其应用【例 1】 (1)(选修 11P42A7 改编 ) 如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是 ( ) A.椭圆C.抛物线(2) 椭圆x225y2 1 上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为( ) A.5 B.6 C.7 解析(1) 连接QA. 由已知得 |QA| |QP|. 所以 |QO| |QA| |QO| |QP| |OP| r. 又因为点A在圆内，所以|OA| |OP| ，

7、根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆. (2) 由椭圆定义知点P到另一个焦点的距离是1028. 答案(1)A (2)D 规律方法1. 椭圆定义的应用主要有：判定平面内动点的轨迹是否为椭圆、求椭圆的标准方精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页4 程和离心率等 . 2a |F1F2|. 【训练 1】 (1) 设定点F1(0 ， 3)，F2(0 ， 3)，动点P满足条件 |PF1| |PF2| a9a(a0) ，则点P的轨迹是 ( ) A.椭圆C.不存在(2) 与圆C1：(x3)2y21 外切，且与圆

8、C2：(x3)2y281 内切的动圆圆心P的轨迹方程为 _. 解析(1) a9a2a9a6，当且仅当a9a，即a3 时取等号，当a 3时， |PF1| |PF2| 6|F1F2| ，点P的轨迹是线段F1F2；当a0，且a3 时， |PF1| |PF2|6 |F1F2| ，点P的轨迹是椭圆. (2) 设动圆的半径为r，圆心为P(x，y) ，则有 |PC1| r1，|PC2| 9r. 所以 |PC1| |PC2| 10|C1C2| ，即P在以C1( 3， 0) ，C2(3 ，0) 为焦点，长轴长为10 的椭圆上，得点P的轨迹方程为x225y2161. 答案(1)D (2)x225y216 1 考点

9、二椭圆的标准方程【例 2】 (1) 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点32，52，(3，5) ，则椭圆的标准方程为_. (2)( 一题多解) 过点 (3，5) ，且与椭圆y225x29 1 有相同焦点的椭圆标准方程为_. 解析(1) 设椭圆方程为mx2ny21(m，n0，mn). 由322m522n1，3m5n1，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页5 解得m16，n110. 椭圆的标准方程为y210 x261. (2) 法一椭圆y225x291 的焦点为 (0 ， 4) ，(0 ，4) ，即c4.

10、由椭圆的定义知，2a3025 42302542，解得a 25. 由c2a2b2可得b24. 所以所求椭圆的标准方程为y220 x241. 法二设所求椭圆方程为y225kx29k 1(kb0). 过点F2(1 ，0)且垂直于x轴的直线被曲线C截得弦长 |AB| 3，点A1，32必在椭圆上，1a294b21. 又由c 1，得 1b2a2. 由联立，得b23，a24. 故所求椭圆C的方程为x24y231. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页6 (2) 法一当椭圆的焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程为x2a2y2b2 1 (

11、ab0). 椭圆经过两点(2 ，0) ，(0 ，1) ，4a20b21，0a21b2 1，解得a2，b1.所求椭圆的标准方程为x24y21；当椭圆的焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为y2a2x2b21 (ab0). 椭圆经过两点(2 ，0) ，(0 ，1) ，0a24b21，1a20b2 1，解得a1，b2，与ab矛盾，故舍去 . 综上可知，所求椭圆的标准方程为x24y2 1. 法二设椭圆方程为mx2ny21 (m0，n0，mn). 椭圆过 (2，0) 和 (0，1) 两点，4m1，n1，解得m14，n1.综上可知，所求椭圆的标准方程为x24y2 1. 答案(1)x24y23 1 (2)x24

12、y21 考点三焦点三角形问题【例 3】 (1) 已知椭圆x24y22 1 的两个焦点是F1，F2，点P在该椭圆上，假设|PF1| |PF2|2，则PF1F2的面积是 ( ) A.2 B.2 2 D.3 (2) 已知F1，F2是椭圆C：x2a2y2b21(ab0) 的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且F1PF260，SPF1F233，则b_. 解析(1) 由椭圆的方程可知a 2，c2，且 |PF1| |PF2| 2a4，又 |PF1| |PF2| 2，所以 |PF1| 3，|PF2| 1. 又|F1F2| 2c22，所以有 |PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即PF1F2为直角三角形，且PF2

13、F1为直角，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页7 所以SPF1F212|F1F2|PF2| 122 212. (2) 由题意得 |PF1| |PF2| 2a，又F1PF260，所以 |PF1|2 |PF2|22|PF1|PF2|cos 60 |F1F2|2，所以 (|PF1| |PF2|)2 3|PF1|PF2| 4c2，所以 3|PF1|PF2| 4a24c24b2，所以 |PF1|PF2| 43b2，所以SPF1F212|PF1|PF2|sin 601243b23233b233，所以b3. 答案(1)A (2)

14、3 P与两焦点F1，F2构成的三角形称为焦点三角形，解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理等知识. 2a 2c. 【训练3】已知椭圆x249y2241 上一点P与椭圆两焦点F1，F2的连线夹角为直角，则|PF1| |PF2| _. 解析依题意a7，b 26，c49245，|F1F2| 2c 10，由于PF1PF2，所以由勾股定理得|PF1|2 |PF2|2 |F1F2|2，即|PF1|2|PF2|2100. 又由椭圆定义知|PF1| |PF2| 2a14，(|PF1| |PF2|)22|PF1| |PF2| 100，即 196 2|PF1| |PF2| 100. 解得 |PF1

15、| |PF2| 48. 答案48 基础稳固题组( 建议用时： 40 分钟 ) 一、选择题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页8 x2my241 的焦距为2，则m的值等于 ( ) A.5 B.3 C.5 或 3 解析由题意知椭圆焦距为2，即c1，又满足关系式a2b2c21，故当a24 时，mb23；当b2 4时，ma25. 答案C F1，F2为定点， |F1F2| 6，动点M满足 |MF1| |MF2| 6，则动点M的轨迹是 ( ) A.椭圆C.圆解析|MF1| |MF2| 6|F1F2| ，动点M的轨迹是线段 . 答

16、案D F1，F2是椭圆x225y291 的焦点，P为椭圆上一点，则PF1F2的周长为 ( ) A.16 B.18 C.20 解析PF1F2的周长为 |PF1| |PF2| |F1F2| 2a2c. 因为 2a10，c2594，所以周长为 10818. 答案B 4. “2m0，6m0，m26m，2m6 且m4.故“2m|AB| 6，动点M的轨迹是椭圆，且焦点分别是A( 3，0) ，B(3 ，0) ，且 2a8，a4，c3，b2a2c21697. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页10 所求动圆圆心M的轨迹方程是x21

17、6y271. 10. 已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A( 4，3). 假设F1AF2A，求椭圆的标准方程. 解设所求椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0). 设焦点F1( c，0) ，F2(c，0)(c0). F1AF2A，F1AF2A0，而F1A( 4c，3) ，F2A( 4c，3) ，( 4c) ( 4c) 320，c225，即c5. F1( 5，0)，F2(5 ，0). 2a|AF1| |AF2| 452 32 452321090410. a210，b2a2c2(210)25215. 所求椭圆的标准方程为x240y215 1. 能力提升题组( 建议用时： 2

18、0 分钟 ) F1，F2分别是椭圆E：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，点1，22在椭圆上，且点( 1， 0)到直线PF2的距离为455，其中点P( 1， 4) ，则椭圆的标准方程为( ) A.x2y241 B.x24y21 C.x2y221 D.x22y21 解析设F2的坐标为 (c，0)(c0)，则kPF24c1，故直线PF2的方程为y4c1(xc) ，即4c1xy4cc1 0，点 ( 1，0)到直线PF2的距离d4c14cc 14c12144c121455，即4c124，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 1

19、2 页11 解得c 1或c 3(舍去 ) ，所以a2b21. 又点 1，22在椭圆E上，所以1a212b21，由可得a2 2，b2 1，所以椭圆的标准方程为x22y21. 答案D x29y221 的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，假设|PF1| 4，则F1PF2的大小为 _. 解析由题意得a3，c7. 因为 |PF1| 4，|PF1| |PF2| 2a 6，所以 |PF2F1PF2|PF1|2|PF2|2|F1F2|22|PF1|PF2|4222 27224212，所以F1PF2120.答案12013.(2018 石家庄月考) 已知点M(6，2) 在椭圆C：x2a2y2b21(ab 0) 上，

20、且椭圆的离心率为63. (1) 求椭圆C的方程；(2) 假设斜率为1 的直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P( 3，2) ，求PAB的面积 . 解(1) 由已知得6a22b21，ca63，a2b2c2，解得a212，b24.故椭圆C的方程为x212y241. (2) 设直线l的方程为yxm，A(x1，y1)，B(x2，y2) ，AB的中点为D(x0，y0). 由yxm，x212y241，消去y，整理得4x26mx3m212 0，由36m216(3m2 12)0，得m216，则x0 x1x2234m，y0 x0m14m，即D34m，14m. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页12 因为AB是等腰三角形PAB的底边，所以PDAB，即PD的斜率k2m433m4 1，解得m 2，满足m2x1x2 3，x1x2 0，则|AB| 2|x1x2| 2x1x224x1x232，又点P到直线l：xy 20 的距离为d32，所以 PAB的面积为S 12| AB| d92. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页