第四讲对数函数与指数函数经典难题复习巩固.pdf

《第四讲对数函数与指数函数经典难题复习巩固.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第四讲对数函数与指数函数经典难题复习巩固.pdf（20页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 精典专题系列第 4 讲 指数函数与对数函数 一、导入：名叫抛弃的水池 一个人得了难治之症，终日为疾病所苦。为了能早日痊愈，他看过了不少医生，都不见效果。他又听人说远处有一个小镇，镇上有一种包治百病的水，于是就急急忙忙赶过去，跳到水里去洗澡。但洗过澡后，他的病不但没好，反而加重了。这使他更加困苦不堪。有一天晚上，他在梦里梦见一个精灵向他走来，很关切地询问他：“所有的方法你都试过了吗？”他答道：“试过了。”“不，”精灵摇头说，“过来，我带你去洗一种你从来没有洗过的澡。”精灵将这个人带到一个清澈的水池边对他说：“进水里泡一泡，你很快就会康复。”说完，就不见了。这病人跳进了水池，泡在水中。等他从水中

2、出来时，所有的病痛竟然真地消失了。他欣喜若狂，猛地一抬头，发现水池旁的墙上写着“抛弃”两个字。这时他也醒了，梦中的情景让他猛然醒悟：原来自己一直以来任意放纵，受害已深。于是他就此发誓，要戒除一切恶习。他履行自己的誓言，先是苦恼从他的心中消失，没过多久，他的身体也康复了。大道理：抛弃是治疗百病的万灵之药，人之所以有很多难缠的情感，就是因为在大多数情况下，舍不得放弃。把消极扔掉，让积极代替，就没有什么可抱怨的了。二、知识点回顾：1根式(1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果 ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根 n1 且 nN*当 n 是奇数时，正数的 n 次方根是一个 ，负数的 n 次

3、方根是一个 na 零的 n 次方根是零 当 n 是偶数时，正数的 n 次方根有 ，这两个数互为 na(a0)负数没有偶次方根 (2)两个重要公式nan (na)n (注意 a 必须使na有意义)2.幂的有关概念 正分数指数幂：(a0，m、nN*，且 n1)；负分数指数幂：(a0，m、nN*，且 n1)0 的正分数指数幂等于 ,0 的负分数指数幂 yax a1 0a1 图象 DSE 金牌化学专题系列 3指数函数的图象与性质 4对数的概念(1)对数的定义 如果 ，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 ，其中 叫做对数的底数，叫做真数(2)两种常见对数 对数形式 特点 记法 常用对数 底数

4、为 lgx 自然对数 底数为 lnx 5对数的性质、换底公式与运算法则 性质 loga1 ，logaa ，。换底公式 logab (a，b，c 均大于零且不等于1)定义域 R 值域(0，)yax a1 0a1 性 质(1)过定点(2)当 x0时，；x0时，(2)当 x0 时，；x0 时，(3)在 R 上是 (3)在 R 上是 运算法则 如果 a0，且 a1，M0，N0，那么：loga(MN)，loga ，logaMnnlogaM(nR).6.对数函数的定义、图象与性质 定义 函数 (a0，且 a1)叫做对数函数 图 象 a1 0a1 性 质 (1)定义域：(2)值域：(3)当 x1 时，y0，

5、即过定点 (4)当 0 x1 时，(4)当 0 x1 时，y y ；(5)在(0，)上为 (5)在(0，)上为 7反函数 指数函数 yax(a0 且 a1)与对数函数 (a0 且 a1)互为反函数，它们的图象关于直线 对称 三、专题训练：计算下列各式(1)133()2(76)014842(323)6232()3；考点一 有理指数幂的化简与求值 (2)a35b235b34a3；(3)413322333824aa baabb(12 3ba)3a.自主解答(1)原式133()21342142(132123)6133()22427110.(2)a35b2 35b34a3332 12a3215 10b5

6、4aa4a.(3)令13am，13bn，则原式m48mn3m22mn4n2(12nm)m mm38n3m22mn4n2m2m2n m3m2nm22mn4n2m22mn4n2m2nm3a.变式训练：计算下列各式(1)138()125(78)0(2)3431643|1100|12；(2)9332aa3a73a13；(3)(338)23(1500)1210(52)1(23)0.解：(1)原式(25)11(2)423110 5211161811014380.(2)原式936671366a aaa9 7 3 136 6 66a a01.(3)(3)原式(1)23(338)23(1500)1210521(

7、278)23(500)1210(52)1 49105105201 1679.画出函数 y|3x1|的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程|3x1|k 无解？有一解？有两解？自主解答 函数 y|3x1|的图象是 由函数 y3x 的图象向下平移一个单位 后，再把位于 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折 到 x 轴上方得到的，函数图象如图所示 当 k0 时，直线 yk 与函数 y|3x1|的图象无交点，即方程无解；当 k0 或 k1 时，直线 yk与函数 y|3x1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；当 0k1 时，直线 yk 与函数 y|3x1|的图象有两个不同交点，所以方程有两解 思考：保持条

8、件不变，讨论函数 y|3x1|的单调性.解：由例 2 所作图象可知，函数 y|3x1|在0，)上为增函 数，在(，0)上为减函数.变式训练：已知函数 y(13)|x1|.(1)作出函数的图象(简图)；(2)由图象指出其单调区间；考点二 指数函数的图象(3)由图象指出当 x 取什么值时有最值，并求出最值 解：(1)法一：由函数解析式可得 y(13)|x1|13x1，x13x1，x1.，其图象由两部分组成：一部分是：y(13)x(x0)向左平移1个单位y(13)x1(x1)；另一部分是：y3x(x0)向左平移1个单位y3x1(x1)如图所示：法二：由 y(13)|x|可知函数是偶函数，其图象关于

9、y 轴对称，故先作出 y(13)x的图象，保留 x0的部分，当 x012a164a1，解得 a1 即当 f(x)有最大值 3 时，a 的值等于 1.(3)由指数函数的性质知，要使 y(13)h(x)的值域为(0，)应使 h(x)ax24x3 的值域为 R，因此只能有 a0.因为若 a0，则 h(x)为二次函数，其值域不可能为 R.故 a 的取值围是 a0.变式训练：已知 g(x)(14)x4(12)x5，求该函数的定义域、值域和单调区间 解：由 g(x)(14)x4(12)x5(12)2x4(12)x5.函数的定义域为 R，令 t(12)x(t0)g(t)t24t5(t2)29.t0，g(t)

10、(t2)299，等号成立条件是 t2，即 g(x)9，等号成立条件是(12)x2，即 x1.g(x)的值域是(，9 由 g(t)(t2)29(t0)，而 t(12)x是减函数，要求 g(x)的增区间实际上是求 g(t)的减区间 求 g(x)的减区间实际上是求 g(t)的增区间 g(t)在(0,2上递增，在2，)上递减，由 0t(12)x2，可得 x1，由 t(12)x2，可得 x1.g(x)在1，)上递减，在(，1上递增 故 g(x)的单调递增区间是(，1，单调递减区间是1，)【例 4】(1)计算：lg5(lg8lg1 000)(3lg2)2lg16lg0.06；(2)化简：log34273l

11、og521log 102423(3 3)27log7；(3)已知：lgxlgy2lg(2x3y)，求32logxy的值 自主解答(1)原式lg5(3lg 23)3(lg 2)2lg 6lg 62 3lg 5lg 23lg 53(lg 2)22 3lg 2(lg 5lg 2)(3lg 5)2 3(lg 2lg 5)21.(2)原式(log34271)log5(1032)考点四 对数式的化简与求值(341)log5514.(3)lgxlgy2lg(2x3y)xy(2x3y)24x29y212xy 即 4x213xy9y20(4x9y)(xy)0，即 4x9y，xy(舍去)，32logxy32log

12、942.变式训练：计算：(1)(log32log92)(log43log83)；(2)15(lg32log4166lg12)15lg15.解：(1)原式(log3212log32)(12log2313log23)(log32log32)(log23log233)log322log2(333)log3322log2563 32log3256log2354.(2)原式15lg322lg(12)6lg 15 152lg(3216415)15(2lg110)152(1)15.考点五 对数值的大小比较 【例 5】比较下列各组数的大小(1)log323与 log565；(2)log1.10.7 与 log

13、1.20.7；(3)已知12logb12loga 12logc，比较2b,2a,2c的大小关系 自主解答(1)log323log510，log323log565.(2)法一：00.71,1.1log0.71.1log0.71.2.1log0.71.11log0.71.2，由换底公式可得 log1.10.7log1.20.7.法二：作出 ylog1.1x 与 ylog1.2x 的图象，如图所示，两图象与 x0.7 相交可知 log1.10.7log1.20.7.(3)y12logx 为减函数，且12logb12logaac.而 y2x是增函数，2b2a2c.变式训练：设 a、b、c 均为正数，且

14、 2a12loga，(12)b12logb，(12)clog2c，则 ()Aabc Bcba Ccab Dbac 解析：如图：ab0 且 a1)，如果对于任意的 x13，2都有|f(x)|1 成立，试求 a 的取值围 自主解答 f(x)logax，则 y|f(x)|的图象如右图 由图示，要使 x13，2时恒有|f(x)|1，只需|f(13)|1，即1loga 131，即 logaa1loga13logaa，亦当 a1 时，得 a113a，即 a3；考点六 对数函数图象与性质的应用 当 0a1 时，得 a113a，得 00.x2.定义域为(2，)(2)F(x)f(x1)g(x)log2x2log

15、2(x2)log2xx22(x0)log2xx24x4 log21x4x4log2183，当 x2 时，F(x)max3.【例 7】(2011成都模拟)设 f(x)12log1axx1为奇函数，a(12)xm 恒成立，求实数 m 的取值范围 自主解答(1)f(x)f(x)，12log1ax1x12log1axx112logx11ax，1axx1x11ax，即(1ax)(1ax)(x1)(x1)，a1 或 a1(舍去)考点七 与对数函数有关的综合问题(2)由(1)可知 f(x)12logx1x112log(12x1)，f(x)(12)xm 恒成立，x3,4，mf(x)(12)x，x3,4 令 g

16、(x)f(x)(12)x12log(12x1)(12)x，x3,4 函数 f(x)12log(12x1)与 y(12)x在 x3,4上均为增函数，g(x)在3,4上为增函数，g(x)ming(3)98，m98.思考：若 f(x)的值域为1，)，求 x 的取值范围 解：由例题知，f(x)12logx1x1 又f(x)的值域为1，)0 x1x112 3x1.即 x 的取值范围为3，1)变式训练：已知函数 yloga2(x22ax3)在(，2)上是增函数，求 a 的取值范围 解：因为(x)x22ax3 在(，a上是减函数，在a，)上是增函数，要使 yloga2(x22ax3)在(，2)上是增函数，首

17、先必有 0a21，即 0a1 或1a0，且有 20，a2，得 a14.综上，得14a0 或 0ab，则函数f(x)1 2x的图象大致为()解析：由ab a abbab得f(x)1 2x 2x x0，1 x0.答案：A 2(2010辽宁高考)设 2a5bm，且1a1b2，则m()A.10 B10 C20 D100 解析：alog2m，blog5m，代入已知得 logm2logm52，即 logm102，所以m10.答案：A 3(2010全国卷)设alog32，bln2，c125，则()Aabc Bbca Ccab Dcba 解析：alog32ln 2ln 3ln 2b，又c1251512，alo

18、g32log3312，因此cab.4若函数f(x)loga(xb)的大致图象如图所示，其中a，b(a0 且a1)为常数，则函数g(x)axb的大致图象是()解析：由图可知，函数f(x)loga(xb)是单调递减函数，所以 0a1，又因为f(x)loga(xb)的图象与x轴的交点的横坐标在(0,1)内，所以 0b0)，则t2at40 在t(0，)上有解，令g(t)t2at4，g(0)40，故满足 a20，a2160，得a4.法二：f(x)log2(a2x)x20，得a2x22x，a2x42x4.二、填空题 6232732log2log2182lg(3535)的结果为_ 解析：原式93(3)lg(

19、3535)218lg 1019.答案：19 7函数yax(a0，且a1)在1,2上的最大值比最小值大a2，则a的值是_ 解析：当a1 时，yax在1,2上单调递增，故a2aa2，得a32.当 0a1 时，yax在1,2上单调递减，故aa2a2，得a12.故a12或32.8若曲线|y|2x1 与直线yb没有公共点，则b的取值范围是_ 解析：分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围 曲线|y|2x1 与直线yb的图象如图所示，由图象可得：如果|y|2x1 与直线yb没有公共点，则b应满足的条件是b1,1 答案：1,1 三、解答题 9已知函数f(x)3x，f(a2)18，g(x

20、)3ax4x的定义域为0,1(1)求a的值；(2)若函数g(x)在区间0,1上是单调递减函数，求实数的取值范围 解：法一：(1)由已知得 3a2183a2alog32.(2)此时g(x)2x4x，设 0 x10 恒成立，即20202，所以实数的取值范围是2.10(1)已知 loga2m，loga3n，求a2mn的值；(2)已知 2lgxy2lg xlg y，求 xy的值 解：(1)由 loga2m，loga3n得am2，an3，a2mna2man22312.(2)由已知得 lg(xy2)2lg(xy)，(xy2)2xy，即x26xyy20，(xy)26xy10，xy322.xy0，x0，y0，

21、xy1，从而xy322，xy12.六、拓展训练:1、(2010安徽高考)设 a253()5，b352()5，c252()5，则 a，b，c 的大小关系是()Aacb Babc Ccab Dbca 规范解答 构造指数函数 y(25)x(xR)，由该函数在定义域内单调递减可得 bc；又 y(25)x(xR)与 y(35)x(xR)之间有如下结论：当 x0 时，有(35)x(25)x，故253()5252()5，ac，故 acb.2、(2010天津高考)设函数 f(x)212log,0,log(),0.xxxx若 f(a)f(a)，则实数 a 的取值范围是()A(1,0)(0,1)B(，1)(1，)

22、C(1,0)(1，)D(，1)(0,1)规范解答 由题意可得 2120loglogaaa或1220,log()logaaa 解之得 a1 或1a0，a1)的图象恒过定点_ 解析：令 x20120，则 x2012，此时 ya02012120122013 恒过定点(2012,2013)答案：(2012,2013)2若 a0，a1，xy0，nN，则下列各式：(logax)nnlogax；(logax)nlogaxn；logaxloga1x；nlogax1nlogax；logaxnloganx；logaxyxylogaxyxy.其中正确的个数有 ()A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 3如图所示的

23、曲线 C1，C2，C3，C4 分别是函数 yax，ybx，ycx，ydx 的图象，则 a，b，c，d 的大小关系是 ()Aab1cd Bab1dc Cba1cd Dba1d0 且 a1)的单调性及函数 yax与 y(1a)x间的关系可知 ba1df(cx)D大小关系随x的不同而不同 解析：f(1x)f(1x)，f(x)的对称轴为直线x1，由此得b2.又f(0)3，c3.f(x)在(，1)上递减，在(1，)上递增 若x0，则 3x2x1，f(3x)f(2x)若x0，则 3x2xf(2x)f(3x)f(2x)5设m为常数，如果函数ylg(mx24xm3)的值域为 R，则m的取值范围是_ 解析：因为函数值域为 R，所以mx24xm3 能取到所有大于 0 的数，即满足 m0，424mm30或m0.解得 0m4.答案：0,4 6已知函数f(x)满足：当x4 时，f(x)(12)x；当x4 时，f(x)f(x1)，则f(2log23)_.解析：32log234，f(2log23)f(3log23)23 log 31()2 182log 31()218121log31()21813124.答案：124