第四讲对数函数与~指数函数经典难题复习预习巩固.doc

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1、|精典专题系列第 4讲 指数函数与对数函数 1、导入：名叫抛弃的水池一个人得了难治之症，终日为疾病所苦。为了能早日痊愈，他看过了不少医生，都不见效果。他 又听人说远处有一个小镇，镇上有一种包治百病的水，于是就急急忙忙赶过去，跳到水里去洗澡。但洗 过澡后，他的病不但没好，反而加重了。这使他更加困苦不堪。 有一天晚上，他在梦里梦见一个精灵向他走来，很关切地询问他：“所有的方法你都试过了吗？” 他答道：“试过了。 ” “不， ”精灵摇头说， “过来，我带你去洗一种你从来没有洗过的澡。 ” 精灵将这个人带到一个清澈的水池边对他说：“进水里泡一泡，你很快就会康复。 ”说完，就不见了。 这病人跳进了水池，

2、泡在水中。等他从水中出来时，所有的病痛竟然真地消失了。他欣喜若狂，猛地一 抬头，发现水池旁的墙上写着“抛弃”两个字。 这时他也醒了，梦中的情景让他猛然醒悟：原来自己一直以来任意放纵，受害已深。于是他就此发誓， 要戒除一切恶习。他履行自己的誓言，先是苦恼从他的心中消失，没过多久，他的身体也康复了。 大道理：抛弃是治疗百病的万灵之药，人之所以有很多难缠的情感，就是因为在大多数情况下，舍不得 放弃。把消极扔掉，让积极代替，就没有什么可抱怨的了。 2、知识点回顾： 1根式 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果 ，那么 x叫做 a的 n 次方根 n1 且 nN * 当 n 是奇数时，正数的

3、 n 次方根是一个 ，负数的 n 次方 根是一个 n a 零的 n 次方根是零 当 n 是偶数时，正数的 n 次方根有 ，这两个数互为 (a0) n a 负数没有偶次方根 (2)两个重要公式 ( ) n (注意a必须使 有意义) n an n a n a 2. 幂的有关概念 正分数指数幂： (a0，m、nN*，且n1)； 负分数指数幂： (a0，m、nN*，且n1) 0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂 yax a1 0a1 图象 DSE 金牌化学专题系列|3指数函数的图象与性质 4对数的概念 (1)对数的定义 如果 ，那么数 x叫做以 a为底 N 的对数， 记作 ，其中 叫做对数的底数，

4、 叫做真数 (2)两种常见对数 对数形式 特点 记法 常用对数 底数为 lgx 自然对数 底数为 lnx 5对数的性质、换底公式与运算法则 性质 loga1 ，logaa ， 。 换底公式 logab (a，b，c 均大于零且不等于 1) 运算法则 如果a0，且a1，M0，N0，那么： loga(MN) ， loga ， 定义域 R 值域 (0，) yax a1 0a1 (1)过定点 (2)当 x0时， ；x0时， (2)当 x0时， ；x0时， 性 质 (3)在 R 上是 (3)在 R 上是 |logaMnnlogaM(nR). 6.对数函数的定义、图象与性质 定义 函数 (a0，且a1)叫

5、做对数函数 a1 01 时， (4)当 01 时， y y ； 性 质 (5)在(0，)上为 (5)在(0，)上为 7反函数 指数函数yax(a0且a1)与对数函数 (a0且a1)互为反函数，它们的图象关于直线 对称 三、专题训练： 计算下列各式 (1) ( ) 0 ( ) 6 ； 1 3 3 ( ) 2 7 6 1 4 8 4 2 3 2 3 2 3 2 ( ) 3 (2) ； a3 5 b2 3 5 b3 4 a3 考点一 有理指数幂的化简与求值|(3) (12 ) . 4 1 3 3 2 2 3 3 3 8 2 4 a a b a ab b 3 b a 3 a 自主解答 (1) 原式 1

6、 ( ) 6 2427110. 1 3 3 ( ) 2 3 4 2 1 4 2 1 3 2 1 2 3 1 3 3 ( ) 2 (2) a . a3 5 b2 3 5 b3 4 a3 3 3 2 12 a 3 2 15 10 b 5 4 a 4 a (3)令 m， n， 1 3 a 1 3 b 则原式 (1 )m m4 8mn3 m2 2mn 4n2 2n m m m3 8n3 m2 2mn 4n2 m2 m 2n m 3 a. m3 m 2n m2 2mn 4n2 m2 2mn 4n2 m 2n 变式训练：计算下列各式 (1) ( ) 0 (2) 3 16 | | ； 1 3 8 ( ) 1

7、25 7 8 4 3 4 3 1 100 1 2 (2) ； 9 3 3 2 a a 3 a 7 3 a13 (3)(3 ) ( ) 10( 2) 1 ( ) 0 . 3 8 2 3 1 500 1 2 5 2 3 解：(1) 原式( ) 1 1(2) 4 2 3 2 5 1 10 1 . 5 2 1 16 1 8 1 10 143 80 (2)原式 a 0 1. 9 3 6 6 7 13 6 6 a a a a 9 7 3 13 6 6 6 6 a |(3)(3)原式( 1) (3 ) ( ) 1 2 3 3 8 2 3 1 500 1 2 10 5 2 ( ) (500) 10( 2)1

8、27 8 2 3 1 2 5 10 10 201 4 9 5 5 . 167 9 画出函数y|3x1|的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程|3x1|k无解？有一解？ 有两解？ 自主解答 函数y|3x1|的图象是 由函数y3x的图象向下平移一个单位 后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折 到x轴上方得到的，函数图象如图所示 当k0) 1 2 g(t)t 2 4t5(t 2) 2 9. t0，g(t)(t 2) 2 99， 等号成立条件是 t2， 即 g(x)9，等号成立条件是( ) x 2， 1 2 即 x1. g(x)的值域是( ，9 由 g(t)(t2) 2 9(t0)， 而 t( ) x

9、 是减函数， 1 2 要求 g(x)的增区间实际上是求 g(t)的减区间 求 g(x)的减区间实际上是求 g(t)的增区间 g(t)在(0,2上递增， 在2 ，) 上递减， 由 0log 5 10， 2 3 6 5 log 3 log 0.7 1.1log 0.7 1.2. ac. 而 y2 x 是增函数， 2 b 2 a 2 c . 变式训练：设 a、b、c 均为正数，且 2 a a，( ) b b，( ) c log 2 c，则 ( ) 1 2 log 1 2 1 2 log 1 2 Aa0 且 a1)，如果对于任意的 x ，2都有|f(x)|1成立，试求 a的取值范 1 3 围 考点六

10、对数函数图象与性质的应用|自主解答 f(x)log a x， 则 y|f(x)| 的图象如右图由图示，要使 x ，2 时恒有|f(x)|1，只需|f( )|1，即1log a1， 1 3 1 3 1 3 即 log a a 1 log a log a a， 1 3 亦当 a1 时，得 a 1 a，即 a3； 1 3 当 00. x2.定义域为(2，) (2)F(x)f(x 1)g(x) log 2 x2log 2 (x 2) log 2 (x0)log 2 x x 2 2 x x2 4x 4 log 2 log 2 3， 1 x 4 x 4 1 8 当 x2 时，F(x) max 3. 【例

11、7】(2011成都模拟)设 f(x) 为奇函数，a( ) x m 恒成立，求实数 m 的取值范围 1 2 自主解答 (1) f( x)f(x)， ， 1 2 log 1 ax 1 x 1 2 log 1 ax x 1 1 2 log x 1 1 ax ，即(1ax)(1ax)(x1)(x 1) ， 1 ax x 1 x 1 1 ax a1 或 a1(舍去) (2)由(1) 可知 f(x) (1 ) ， 1 2 log x 1 x 1 1 2 log 2 x 1 f(x)( ) x m 恒成立，x3,4， 1 2 m0 且a1)为常数，则函数g(x) a x b的大致图象是( )|解析：由图可知

12、，函数f(x) log a (xb)是单调递减函数，所以 00)，则t 2 at40 在t(0，) 上有解，令g(t) t 2 at4，g(0) 40 ，故满足Error!得a4. 法二：f(x)log 2 (a2 x )x20，得a2 x 2 2x ，a2 x 4. 4 2x 2、填空题 6 log 2 2lg( )的结果为_ 2 3 27 3 2 log 2 1 8 3 5 3 5 解析：原式93(3) lg( ) 2 18lg 1019. 3 5 3 5 答案：19 7函数ya x (a0，且a1)在1,2上的最大值比最小值大 ，则a的值是_ a 2 解析：当a1 时，y a x 在1,

13、2 上单调递增，故a 2 a ，得a .当 00 恒成立，即 2 0 2 0 2， 所以实数 的取值范围是 2. 10(1)已知 log a 2m，log a 3n，求a 2mn 的值； (2)已知 2lg lg xlg y，求 的值 x y 2 x y 解：(1)由 log a 2m，log a 3n 得a m 2，a n 3， a 2m n a 2m a n 2 2 312. (2)由已知得 lg( ) 2 lg(xy)， x y 2 ( ) 2 xy ，即x 2 6xy y 2 0， x y 2 ( ) 2 6 10， x y x y 32 . x y 2 Error! 1，从而 32

14、， x y x y 2 1 . x y 2 6、拓展训练:|1、(2010 安徽高考)设 a ，b ，c ，则 a，b，c 的大小关系是 ( ) 2 5 3 ( ) 5 3 5 2 ( ) 5 2 5 2 ( ) 5 Aacb Babc Ccab Dbca 规范解答 构造指数函数 y( ) x (xR) ，由该函数在定义域内单调递减可得 bc；又 y( ) x (x R)与 2 5 2 5 y( ) x (x R)之间有如下结论：当 x0 时，有( ) x ( ) x ，故 ，ac，故 ac b. 3 5 3 5 2 5 2 5 3 ( ) 5 2 5 2 ( ) 5 2、(2010 天津高考

15、)设函数 f(x) 若 f(a)f(a)，则实数 a的取值范围是( ) 2 1 2 log , 0, log ( ), 0. x x x x A(1,0)(0,1) B(，1)(1，) C(1,0)(1，) D(，1)(0,1) 规范解答 由题意可得 或 2 1 2 0 log log a a a 1 2 2 0 , log ( ) log a a a 解之得 a1 或10，a1)的图象恒过定点_ 解析：令x20120，则x2012，此时ya02012120122013 恒过定点(2012,2013) 答案：(2012,2013) 2若 a0，a1，xy0，nN，则下列各式： (log a x

16、) n nlog a x；(log a x) n log a x n ； log a xlog a ； log a x； 1 x n logax 1 n log a ；log a log a . logax n n x x y x y x y x y 其中正确的个数有 ( ) A2 个 B3 个 C4 个 D5个 3如图所示的曲线C1，C2，C3，C4分别是函数yax，ybx，ycx，ydx的图象，则a，b，c，d 的大小关系是 ( )|Aa0 且 a1) 的单调性及函数 ya x 与 y( ) x 间的关系可知bf(c x ) D大小关系随x的不同而不同 解析：f(1 x) f(1 x) ，

17、 f(x) 的对称轴为直线x1， 由此得b2. 又f(0)3，c 3. f(x) 在( ，1)上递减，在(1，) 上递增 若x0，则 3 x 2 x 1， f(3 x )f(2 x ) 若xf(2 x ) f(3 x )f(2 x ) 5设m 为常数，如果函数ylg(mx 2 4xm3)的值域为 R，则m 的取值范围是_ 解析：因为函数值域为 R ，所以mx 2 4xm 3 能取到所有大于 0 的数，即满足Error!或m 0.解 得 0m4. 答案：0,4 6已知函数f(x)满足：当x4时，f(x)( ) x ；当x4 时，f(x)f(x1)，则f(2log 2 3)_. 1 2 解析：32log 2 34 ，f(2log 2 3)f(3 log 2 3) 2 3 log 3 1 ( ) 2 . 1 8 2 log 3 1 ( ) 2 1 8 1 2 1 log 3 1 ( ) 2 1 8 1 3 1 24 答案： 1 24