三角函数的图象与性质课件.pdf

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1、 方法与技巧 1.利用函数的有界性(-1sin x1,-1cos x1),求三角函数的值域（最值）.2.利用函数的单调性求函数的值域或最值.3.利用换元法求复合函数的单调区间(要注意 x 系数 的正负号).4.正余弦函数的线性关系式都可以转化为f(x)=asin x+bcos x=特别注意把 思想方法 感悟提高 5.注意 sin x+cos x 与 cos xsin x 的联系,令 t=sin x+cos x(-t )时,失误与防范 1.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基 础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论 参数对最值的影响.2.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成 形如y=A

2、sin（x+）（0）的形式，再根 据基本三角函数的单调区间,求出 x所在的区间.应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内考 虑.注意区分下列两题的单调增区间不同：3.利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有 界性,如:y=sin2x-4sin x+5,令 t=sin x(|t|1),则 y=(t-2)2+11,解法错误.一、选择题 1.（2009?福建理，1）函数 f(x)=sin xcos x 的最 小值是（）解析 f(x)=sin xcos x=B 定时检测 2.(2009?全国理,8)如果函数 y=3cos(2x+)的 图象关于点 中心对称,那么|的最小值 为（）解析 由 y=3cos(2

3、x+)的图象关于点 A 3.已知函数 在区间 0，t 上至少取得2 次最 大值，则正整数t 的最小值是 （）A.6 B.7 C.8 D.9 解析 C 4.已知在函数 f(x)=图象上,相邻的一个最大 值点与一个最小值点恰好在 x2+y2=R2 上,则 f（x）的 最小正周期为 （）A.1 B.2 C.3 D.4 解析 x2+y2=R2，x-R，R.函数 f（x）的最小正周期为2R，D 5.（2009?浙江理，8）已知 a 是实数,则函数 f(x)=1+asin ax 的图象不可能是（）解析 图 A 中函数的最大值小于 2，故 0 a 1,而其 周期大于 2 .故 A 中图象可以是函数 f(x)

4、的图象.图 B 中，函数的最大值大于 2,故 a 应大于 1，其周期小 于 2 ,故 B 中图象可以是函数 f(x)的图象.当 a=0 时，f(x)=1,此时对应 C 中图象，对于 D 可以看出其最大值大于 2，其周期应小于 2 ,而图象中的周期大于 2 ，故 D 中图象不可能为函数 f(x)的图象.答案 D 6.给出下列命题：函数 是奇函数；存在实数 ,使得 其中正确的序号为（）A.B.C.D.解析 是奇函数；*4.3 三角函数的图象与性质 要点梳理 1.“五点法”作图原理:在确定正弦函数 y=sin x 在 0，2 上 的 图 象 形 状 时,起 关 键 作 用 的 五 个 点是 、.余弦

5、函数呢？(0,0)基础知识 自主学习 2.三角函数的图象和性质:R 值域 图象 定义域 y=tan x y=cos x y=sin x 函 数 性 质-1,1-1,1 R R(kZ)奇偶性 单调性 周期 对称性；奇 奇 偶 3.一般地对于函数 f（x）,如果存在一个不为 0 的常 数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有 f（x+T）=f（x），那么函数 f（x）就叫做周期 函数，非零常数 T叫做这个函数的周期，把所有 周期中存在的最小正数,叫做最小正周期(函数 的周期一般指最小正周期).函数y=Asin(x+）或y=Acos（x+）（0且为常数）的周 期 函数 y=Atan(x+)(

6、0)的周期 基础自测 1.函数 y=1-2sin xcos x 的最小正周期为（）解析 B 2.设点 P 是函数f(x)=sin x(0)的图象C 的 一个对称中心,若点 P 到图象 C 的对称轴的距离的 最小值是 则 f(x)的最小正周期是（）解析 由正弦函数的图象知对称中心与对称轴 的距离的最小值为最小正周期的 故 f（x）的 最小正周期为T=B 3.函数 y=sin 的图象（）A.关于点 对称 B.关于直线 对称 C.关于点 对称 D.关于直线 对称 解析 验证法：A 4.在下列函数中,同时满足以下三个条件的是()在 上递减；以 为周期；是奇函数.A.y=tan x B.y=cos x

7、C.y=-sin x D.y=sin xcos x 解析 y=tan x 的周期为 ，故 A 错.y=cos x 为偶函数，故 B 错.y=sin xcos x=sin 2x 的周期为 ，故 D 错.y=-sin x 的周期为 2 ,是奇函数，由图象知 在 上是递减函数，故 C 正确.C 5.（2009?四川文，4）已知函数 f(x)=sin (x R)，下面结论错误的是（）A.函数 f(x)的最小正周期为 2 B.函数 f(x)在区间 上是增函数 C.函数 f(x)的图象关于直线 x=0 对称 D.函数 f(x)是奇函数 解析 A 正确;由图象知 y=-cos x 关于直线x=0 对称，C

8、正确.y=-cos x 是偶函数，D 错误.D 题型一 与三角函数有关的函数定义域 求下列函数的定义域：（1）y=lgsin(cos x);(2)y=本题求函数的定义域:(1)需注意对数 的真数大于零，然后利用弦函数的图象求解；(2)需注意偶次根式的被开方数大于或等于零，然后利用函数的图象或三角函数线求解.解 (1)要使函数有意义,必须使 sin(cos x)0.-1cos x1,0 cos x1.题型分类 深度剖析 方法一 利用余弦函数的简图得知定 义域为 方法二 利用单位圆中的余弦线 OM,依题意 知 0 OM1,OM只能在 x 轴的正半轴上，其定义域为 （2）要使函数有意义，必须使 si

9、n x-cos x0.方法一 利用图象.在同一坐标系中画出 0,2 上 y=sin x 和 y=cos x的图象,如图所示.在0，2 内，满足 sin x=cos x 的 x 为 再结合正弦、余弦函数的周期是 2 ,所以定义域为 方法二 利用三角函数线，如图 MN 为正弦线，OM 为余弦线，要使 sin xcos x,即 MNOM，方法三 (1)对于含有三角函数式的(复合)函数 的定义域，仍然是使解析式有意义即可.(2)求三角函数的定义域常常归结为解三角不等 式(或等式).(3)求三角函数的定义域经常借助两个工具，即单 位圆中的三角函数线和三角函数的图象，有时也 利用数轴.知能迁移 1 求下列

10、函数的定义域：解 (1)要使函数有意义,必须有 可利用单位圆中三角函数线直观地求得上述不等式组的解集，如图所示：题型二 三角函数的单调性与周期性 （1）化为 再求单调区间;(2)先化为 ,再求单调区间.解 (1)求形如y=Asin(x+)或 y=Acos(x+)(其中A0,0)的函数的单调区间,可以通 过解不等式的方法去解答,列不等式的原则是:把“x+(0)”视为一个“整体”；A 0(A 0)时，所列不等式的方向与 y=sin x(xR),y=cos x(xR)的单调区间对应的不等式方向相 同（反）.（2）对于 y=Atan(x+)(A、为常数),其 周期 单调区间利用 解出 x 的取值范围,

11、即为其单调区间.对于复合函 数 y=f(v),v=(x)，其单调性判定方法是:若 y=f(v)和 v=(x)同为增（减）函数时，y=f(x)为增 函数；若y=f(v)和v=(x)一增一减时，y=f(x)为减函数.知能迁移 2 求函数 的单调区间.解 方法一 方法二 题型三 三角函数的对称性与奇偶性 已知 f(x)=sin x+cos x（xR），函数 y=f(x+)的图象关于直线 x=0 对称，则 的值可以 是 （）先求出 f(x+)的函数表达式.f(x+)关 于 x=0 对 称，即 f(x+)为 偶 函 数.解 析 答 案 D f(x)=Asin(x+)若为偶函数,则当 x=0 时，f(x)

12、取得最大或最小值.若f(x)=Asin(x+)为奇函数，则当x=0 时，f(x)=0.如果求 f(x)的对称轴,只需令 x+=求 x.如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令 x+=k 即可.知能迁移3 使奇函数f(x)=sin(2x+)+cos(2x+)在 上为减函数的 的值为 ()解析 D 题型四 三角函数的值域及最值 (12 分)已知函数 f(x)=2asin 的定义域为 函数的最大值为 1,最小值为 -5,求 a 和 b 的值.求出 2x-的范围 a 0 时，利用最值求a、b a 0 时，利用最值求 a、b 解 3 分 7 分 11 分 12 分 解决此类问题,首先利用正弦函数、余 弦函数的有界性或单调性求出 y=Asin（x+）或 y=Acos（x+）的最值,再由方程的思想解决问 题.知能迁移 4 （2009?江西理，4）若函数f(x)=(1+tan x)?cos x,0 x ,则 f(x)的最大 值为（）A.1 B.2 C.D.解析 B*文档加载中.广告还剩秒