三角函数的图象与性质.doc

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1、- 1 -三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质一、知识网络一、知识网络 三、知识要点三、知识要点（一）三角函数的性质（一）三角函数的性质1、定义域与值域2、奇偶性（1）基本函数的奇偶性 奇函数：ysinx，ytanx； 偶函数：ycosx.（2） 型三角函数的奇偶性（）g（x） （xR）g（x）为偶函数 由此得 ；同理， 为奇函数 .（） 为偶函数 ； 为奇函数- 2 -.3、周期性（1）基本公式（）基本三角函数的周期 ysinx，ycosx 的周期为 ； ytanx，ycotx 的周期为 .（） 型三角函数的周期的周期为 ；的周期为 .（2）认知（） 型函数的周期的周期为 ；的周期为 .

2、（） 的周期的周期为；的周期为 .均同它们不加绝对值时的周期相同，即对 y 的解析式施加绝对值后，该函数的周期不变.注意这一点与（）的区别.（）若函数为 型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”.（）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验猜想证明.（3）特殊情形研究（）ytanxcotx 的最小正周期为 ； （） 的最小正周期为 ；- 3 -（）ysin4xcos4x 的最小正周期为 . 由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象.4、单调性（1）基本三角函数的单调区间（族）依从三角函数图象识证“三部曲”：选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点

3、对 称的一个周期；写特解：在所选周期内写出函数的增区间（或减区间）；获通解：在中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一 函数的增区间族（或减区间族）循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族.揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域.（2）y 型三角函数的单调区间此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为换元、分解：令 u ，将所给函数分解为内、外两层：yf（u），u；套用公式：根据对复合函数单调性的认知，确定出 f（u）的单调性，而后利用 （1）中公式写出关于 u 的不等式；还原、结论：将 u 代入中 u 的不等式，解出 x 的

4、取值范围，并用集合或区间形成结论.（二）三角函数的图象（二）三角函数的图象1、对称轴与对称中心（1）基本三角函数图象的对称性（） 正弦曲线 ysinx 的对称轴为 ； 正弦曲线 ysinx 的对称中心为（ ，0） .（） 余弦曲线 ycosx 的对称轴为 ； 余弦曲线 ycosx 的对称中心 （）正切曲线 ytanx 的对称中心为 ； 正切曲线 ytanx 无对称轴.认知：两弦函数的共性：- 4 -x 为两弦函数 f（x）对称轴 为最大值或最小值；（ ，0）为两弦函数f（x）对称中心 0.正切函数的个性：（ ，0）为正切函数 f（x）的对称中心 0 或 不存在.（2） 型三角函数的对称性（服从

5、上述认知）（）对于 g（x） 或 g（x） 的图象x 为 g（x）对称轴 为最值（最大值或最小值）；（ ，0）为两弦函数g（x）对称中心 0.（）对于 g（x） 的图象（ ，0）为两弦函数 g（x）的对称中心0 或 不存在.2、基本变换（1）对称变换 （2）振幅变换（纵向伸缩）（3）周期变换（横向伸缩）（4）相位变 换（左右平移）（5）上、下平移3、y 的图象（1）五点作图法（2）对于 A，T， ， 的认知与寻求： A：图像上最高点（或最低点）到平衡 位置的距离；2A：图像上最高点与最低点在 y 轴上投 影 间的距离. ：图象的相邻对称轴（或对称中心）间的距离； ：图象的对称轴与相邻对称中心间

6、的距离.： 由 T 得出. ：解法一：运用“代点法”求解，以图象的最高点（或最低点）坐标代入为上策，若以 图象与 x 轴交点坐标代入函数式求 ，则须注意检验，以防所得 值为增根；解法二：逆用“五点作图法”的过程（参见经典例题）.四、经典例题四、经典例题例例 1 1、求下列函数的值域：（1） （2） （3） - 5 -（4） （5） （6）分析：分析：对于形如（1）（2）（3）的函数求值域，基本策略是（）化归为的值域；（）转化为 sinx（或 cosx）的二次函数；对于（4）（5）（6）之类含有绝对值的函数求值域，基本策略则是（）在适当的条件下考察 y2；（）转化为分段函数来处理；（）运用其周期

7、性、奇偶性或函数图象对称性转化.解：解：（1） ， 即所求函数的值域为 .（2）由 注意到这里 xR， ， 所求函数的值域为1，1.（3）这里 令 sinxcosxt 则有且由 于是有 - 6 - 因此，所求函数的值域为 .（4）注意到这里 y0，且 即所求函数的值域为 .（5）注意到所给函数为偶函数，又当 此时 同理，当 亦有 . 所求函数的值域为 .（6）令 则易见 f（x）为偶函数，且 是 f（x）的一个正周期. 只需求出 f（x）在一个周期上的取值范围.当 x0， 时， 又注意到 ，x 为 f（x）图象的一条对称轴 只需求出 f（x）在0， 上的最大值.而在0， 上， 递增. 亦递增由

8、得 f（x）在0， 上单调递增. 即 于是由、得所求函数的值域为 .- 7 -点评：点评：解（1）（2）运用的是基本化归方法；解（3）运用的是求解关于 sinxcosx 与 sinxcosx 的函数值域的特定方法；解（4）借助平方转化；解（5）（6）则是利用函数 性质化繁为简，化暗为明.这一点在解（6）时表现得淋漓尽致.例例 2 2、求下列函数的周期：（1） ； （2） ；（3） ； （4） ； （5）分析：分析：与求值域的情形相似，求三角函数的周期，首选是将所给函数化为k 的形式，而后运用已知公式.对于含有绝对值的三角函数，在不能利用已有认知的情况下，设法转化为分段函数来处理.解：解： （1

9、） 所求最小正周期 .（2） 所求周期 .（3） .注意到 的最小正周期为 ，- 8 -故所求函数的周期为 .（4） 注意到 3sinx 及-sinx 的周期为 2 ，又sinx0（或 sinx0）个单位，所得的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小正值为 。（5）对于函数 ，给出四个论断：它的图象关于直线 x 对称； 它的图象关于点（ ,0）对称；- 10 -它的周期为 ； 它在区间 ，0上单调递增.以其中的两个论断作为条件,余下的两个论断作为结论,写出你认为正确的命题,它是 。分析：分析：（1）这里 的递增区间 的正号递减区间递增且 应填 （2）由 f（x）递增得 易见， 由 f（x）递减得

10、 当 k0 时， 注意到 而不会属于其它减区间， 故知这里 a 的最大值为 .（3）（）令 所给函数图象的对称中心为（ ，0）；（） - 11 -解法一（直接寻求） 在中令 则有又在中令 k0 得 ， 令 k1 得 所求距离为 解法二（借助转化）：注意到所求距离等于函数的最小周期的一半，又由得这一函 数的最小正周期为T ，故所求距离为 .（4）这里 将这一函数图象向左平移 m（m0）个单位，所得图象的函数解析式为 令 则由题设知 f（x）为偶函数 f（x）f（x） 所求 m的最小值为 .（5）为使解题的眉目清晰，首先需要认定哪个论断必须作为条件，哪个论断只能作为 结论，哪个论断既可作为条件，又

11、可作为结论；一般地，独自决定图象形状的论断必须作 为条件，既不能决定形状，也不能确定位置的论断只能作为结论.在这里，必须作为条件， 而只能作为结论.于是这里只需考察、 、与、 、这两种情形.（）考察、 、是否成立.由得 ，故 ；又由得注意到 . 在、之下， ，易知此- 12 -时、成立.（）考察、 、是否成立. 由得 ，故 ；又由得 注意到.在、之下， ，易知此时、成立.于是综合（）（）得正确的命题为、 、与、 、.点评：点评：对于（4）利用了如下认知： ；.对于（5），认定哪个论断必须作为条件，哪个论断必须作为结论是认知问题和简化解 题过程的关键，请大家注意领悟和把握这一环节.例例 5 5、

12、已知 的最小正周期为 2，当 时，f（x）取得最大值 2.（1）求 f（x）的表达式；（2）在闭区间 上是否存在 f（x）图象的对称轴？如果存在，求出其方程；如果不存在，说明理由.分析：分析：出于利用已知条件以及便于考察 f（x）的图象的对称轴这两方面的考虑，先将f（x）化为k 的形式，这是此类问题的解题的基础.解：解： （1）去 令 ， ，即 则有由题意得 又由知 ，注意到这里 A0 且- 13 -B0，取辅助角 ，则由得（2）在中令 解得 xk 解不等式 注意到 ，故由得 k5.于是可知，在闭区间 上有且仅有一条对称轴，这一对称轴的方程为 .点评：点评：对于最值，对称轴和对称中心等问题，f

13、（x）一经化为 k 的形式，解题便胜券在握.例例 6 6、已知点 的图象上.若 定义在非零实数集上的奇函数 g（x）在（0，）上是增函数，且 g（2）0.求当gf（x）0),由 00 且 h（t）0， 当 a0 时，h(t)在 上递增， 由得，h(1)0，显然成立；当 a0 （ 1）a10 ；当 a0 时，h（t）显然满足 10， 得 10 时，h(t)在 上递增，由得，h( )2 ；当 a0 时，h(t)在 上递减 由得，h(1)2,显然满足条件； 当 a0时，h（t）1，显然满足条件.因此由得 于是综合（1）（2）知，由 0h(t)2 推出五、高考真题五、高考真题（一）选择题（一）选择题1

14、 1、（湖北卷）若 （ ）A. B. C. D. - 15 -分析：注意到我们对 的熟悉，故考虑从认知 的范围入手，去了解 的范围.由 ， 应选 C.2 2、函数的部分图象如图，则（ ）A. B. C. D. 分析：由图象得 . ， 又 f(1)=1， 注意到 ， 应选 C.（二）、填空题（二）、填空题1 1、（湖北卷）、（湖北卷）函数 的最小正周期与最大值的和为 。分析：对于含有绝对值的三角函数的周期或值域，基本策略是化为分段函数，分段寻 求周期或范围，而后综合结论.（1）注意到 sin2x 的最小正周期 ，而 sinx0 的解区间重复出现的最小正周- 16 -期 ，而 的最小公倍数为 ，故

15、所求函数的最小正周期为 .（2）由分段函数知，y 的最大值为 ， 于是由（1）（2）知应填 .2 2、（辽宁卷）、（辽宁卷） 是正实数，设 .若对每个实数 a， 的元素不超过两个，且有 a 使 含 2 个元素，则的取值范围是 。分析： 注意到有 a 使 含有两个元素， 相邻两 值之差注意到 的元素不超过两个， 相间的两个 值之差由、得 .点评： 对于（1），在考察了各个分支中三角函数的最小正周期后，还要考察各分 支中“不等式的解区间”重复出现的周期，二者结合才能得出正确结论.对于（2），这里的 决定于 f（x）在一个周期图象的左端点横坐标，由此便于认识相邻两个 值之差 的意义.（三）解答题（三

16、）解答题1 1、若函数 的最大值为 2，试确定常数 a 的值.分析：鉴于过去的经验，首先致力于将 f（x）化为 k 的形式，而后便会一路坦途.解： - 17 - 由已知得.点评：本题看似简单，但考察多种三角公式，亦能体现考生的基本能力.2 2、设函数 yf（x）图象的一条对称轴是直线.（1）求 ；（2）求函数 yf（x）的单调增区间；（3）证明直线 5x2yc0 与 函数 yf（x）的图象不相切.分析：对于（3），由于 f（x）为三角函数，故需要利用导数的几何意义来解决直线 与图象的相切或不相切问题.其中，要证直线与（x）的图象不相切，只需证直线 的斜率不属于 yf（x）图象上点的切线斜率的取

17、值集合.解：（1） 为函数 图象的对称轴， 即 又 .（2）由（1）知 ， 当时，yf（x）递增，所求函数 f（x）的增区间为 .（3） yf（x）图象上点的切线的斜率范围为2，2.而直线 5x2yc0 ，- 18 -直线 5x2yc0 与函数 的图象不相切.点评：有导数及其几何意义奠基，便可引出诸多不同直线与不同函数图象的相切或不 相切问题.此题（3）的解题思路，值得大家仔细领会与品悟.3 3、已知函数 是 R 上的偶函数，其图象关于点M（ ）对称，且在区间 上是单调函数，求 的值.分析：在此类三角函数问题中，已知函数的周期可直接确定 的值；已知函数图象关于某直线（或某点）对称，则只能导出关

18、于 的可能取值，此时要进一步确定的值，还需要其它条件的辅助；而已知函数在某区间上单调的条件，一般只在利用函数图象对称性寻出 的可能取值之后，用它来进行认定或筛选.解：由 f（x）为偶函数得 f（x）f（x）（xR）即 又 故有 由 f（x）图象关于点M（ ）对称得令 x0 得 而 由此解得 当 k0 时， ，此时 当 k1 时， 当 k2 时， - 19 -， 故此时 因此，综合以上讨论得 或 . 所求 ，而 或 .点评：对于正弦函数 y k 或余弦函数 y k，在单调区间“完整”的一个周期 T，恰是增减区间的长度各为 ；而在任何一个周期 T 上，增区间（或减区间）的长度均不超过 .因此，若区

19、间 的长度大于 ，则函数在区间 上不会是单调函数.4 4、设函数 f（x）xsinx（xR）.（1）证明： ，其中 k 为正整数.（2）设 （3）设 f（x）在（0，）内的全部极值点按从小到大的顺序排列为，证明： 分析：注意到正弦函数为 f（x）的成员函数之一，试题中又指出 f（x）的极值点，故 需应用导数研究极值的方法与结论.可见，解（2）（3），均需要从 f（x）切入.证明： （1） f（x）xsinx（xR）（2） 令 显然 cosx0 不是的解，故由得 xtanx ，即有 ，于是 - 20 - （3）设 是 的一个正整数根，即 ，则由直线 yx 与曲线ytanx 的位置关系知：对每一个 ，存在 ，使 ，注意到 g（x）xtanx 在 上是增函数，且 g（x）在 又 cosx 在 内符号不变，（xtanx）cosxsinxxcosx 在 与在 内异号，所有满足 的 都是 f（x）的极值点.由题设 为方程 xtanx 的全部正根.且， 再注意到 而 1 由得 于是由、得， 点评：在这里应注意对（2）、（3）中极值点的区别.对于（2）， 只需满足即可；对于（3）中的 不仅要满足 ，还需认定 在点 x 左右两边异号.