河南理工大往年概率论试题.doc

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1、河南理工大学 概率论往年试题概率论往年试题 及详细答案及详细答案河南理工大学 2010-2011 学年第 一 学期概率论与数理统计试卷（A 卷）总得分总得分阅卷人阅卷人复查人复查人考试方式考试方式本试卷考试分数占本试卷考试分数占 学生总评成绩比例学生总评成绩比例闭卷 80 %分数分数20得分得分1、对于任意两个事件 A 和 B,则有（ ） A. 若,则一定独立； B. 若,则有可能独立；AB ,A BAB ,A BC. 若,则一定独立； D若,则一定不独立AB ,A BAB ,A B2、设都是随机变量的分布函数，是相应的概率密度，则（ 12( ),( )F xF x12( ),( )f xfx

2、） A. 是分布函数； B. 是概率密度； 12( )( )F x F x12( )( )f xfxC. 是概率密度； D. 是分布函数12( )( )f x fx12( )( )F xF x专业班级： 姓名： 学号： 密封线专业班级： 姓名： 学号： 密封线一、选择题（本题 20 分，每题 4 分）3、设随机变量和相互独立且,则（ ） XY(3 2)(4,8)XNYN他他A. ； B. ； 1(5)2P XY1(3)2P XYC. ； D. 1(1)2P XY 1(1)2P XY4、设是总体的一个样本，且已知，未知，则（ ）是1,nXXX()E X()D X的无偏估计量.()D XA ； B

3、； 22 1211()()22XX1 211()1ni iXXnC ； D211()ni iXXn211()1ni iXXn5、设随机变量都服从标准正态分布，则（ ）. .X ,YA 服从正态分布； B服从分布；XY22XY2C都服从分布； D服从分布22XY和222X YF1、设，则_( )0.5P A ( )0.6P B ()0.8P B A ()P AB 2、设二维随机变量的概率密度为(, )X Y，则_6 ,01,( , )0,xxyf x y 他他.(1)P XY3、设是随机变量，有切比雪夫不等式_.X2)(,)(XDXE4 PX4、设，则有_22(10)2()E5、若 0，2，2，

4、3，2，3 是均匀分布总体(0,)的观测值,则的矩估计值是_分数分数20得分得分二、填空题（本题 20 分，每题 4 分）三三、 有两个箱子,第 1 个箱子有 3 个白球 2 个红球,第 2 个箱子有 4 个白球 4 个红球,现从第 1 个箱子中随机地取 1 个球放到第 2 个箱子中,再从第 2 个箱子中 取出一个球,此球是白球的概率是多少?已知上述从第 2 个箱子中取出的是白球,则 从第 1 个箱子中取出的球是白球的概率是多少?分数分数10得分得分四、设是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为,X Y,1,01,0,( ),( )yXYxeyfxfy他 0他他他,0他他他,求随机变量的概率

5、密度ZXY分数分数10得分得分分数分数10得分得分五、设的概率密度为),YX（, 1,01()0.yxxf xy 他他他他他求，的值.(, )Cov X Y()D XY分数分数10得分得分六、用机器包装味精，每袋净重为随机变量，期望值为 100 克，标准差为 10 克，一箱内装 200 袋味精，利用中心极限定理，求一箱味精净重大于20400 克的概率. 400(2.83,(2.83)0.9977)20000密封线分数分数10得分得分七、设是取自总体的一个样本，为一相应的样本12,nXXXX12,nx xx值.总体的概率密度为X，.) 1 , 0(, 0 ) 1 , 0(,),(1xxxxf)0

6、(试求未知参数的最大似然估计量. 河南理工大学 2010-20112010-2011 学年第 一 学期概率论与数理统计试卷 （A 卷）答案及评分标准一、 选择题（共 20 分 每题 4 分） （1）B, (2) A,（3）C, (4) D（5） C二、填空题（共 20 分 每题 4 分）（1）0.3,（2）, （3） , （4）10， （5）4. 1 415 16三、三、 （10 分）分）解： 以表示事件“从第一箱取出一个白球” ，以 B 表示事件“从第二箱中取出一个白球” ，H 由已知条件可得由全概率公式可得32(), (), ()5 9, ()4 9,55P HP HP B HP B H(

7、 )() ()() ()P BP B H P HP B H P H3524 595923 45需要求的是由贝叶斯公式可得().P H B() ()()() ()() ()P B H P HP H BP B H P HP B H P H3 5 5 9 3 5 5 92 5 4 915 23四、四、 （10 分）分）解：因为相互独立，且，所以,X YZXY，欲使，当且仅当 ，( )( )()ZXYfzfx fzx dx( )()0XYfx fzx01,0xzx既 .01,xzx(1) 当时，由于，故，0z ( )()0XYfx fzx( )0Zfz 密封线分数分数10得分得分八、设某种清漆的 9

8、个样品,其干燥时间 (以小时计)分别为 6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0设干燥时间总体服从正态分布.若未知,求的置信水平为 0.95 的置2( ,)N 2信区间0.025(6,0.574,(8)2.306)xst(2) 当时， 01z()0( )1zz xz Zfzedxe (3) 当时，1z 1()0( )(1)z xz Zfzedxee综上所述得0,0,( )1,01,(1),1.z Zzzfzezeez 五、五、 （10 分）分）解： 各数学期望均可以按照计算。因为仅在有限 (, )( , ) ( , )E g X Yg x y f x y dxdy

9、 ( , )f x y区域内不为 0，故各数学期望均化为上相应的积分:,01GyxxG=102()( , )3xx GE Xxf x y dxdyxdxdy 10( )( , )xx GE Yyf x y dxdydxydy 1000dx1100()( , )00 xx GE XYxyf x y dxdyxdxydyxdx(, )()() ( )000Cov X YE XYE X E Y122201()( , )2xx GE Xx f x y dxdyx dxdy 122201()( , )6xx GE Yy f x y dxdydxy dy 2 22121()()()2318D XE XE

10、X2211( )()( )066D YE YE Y()()( )2(, )D XYD XD YCov X Y112 1869六、六、 （10 分）分）解：设箱中第 袋味精的净重为克.是相互独立同分布的随机变量序列，且iiX,1,2,200iX i ()100,()100,1,2,200.iiE XD Xi由中心极限定理可知 近似服从 即近似服从 2001i iX(200 100,200 100)N2001i iX(20000,20000)N所以2002001120400120400ii iiPXPX 200120000204002000012000020000i iX P 1(2.83) 1

11、0.99770.0023. 七、七、 （10 分）分）解：因为似然函数 ，) 1 , 0(, 0 ) 1 , 0(,),(1xxxxf1( )( , )ni iLf x仅考虑的情况1 12() (),(0,1)1,2, 0, n nix xxxin 他他( )0L对数似然函数1ln ( )ln(1)ln2ni inLx，即解得 0)(lnLdd1ln 022ni ixn221ln ni inx又因为 所以的最大似然估计量为22ln ( )0dLd221ln ni inX于是求得最大似然估计量 212ln niiL Xn八、八、 （10 分）分）解：由于所以 有(1)Xt nSn:22(1)(1

12、)1XPtntnSn 即有22(1)(1)1P XSntnXSntn 即得的一个置信水平为的置信区间为1 22(1),(1)XSntnXSntn今0.0259,10.95,20.025,(8)2.306,6,0.574ntxs且即得的一个置信水平为的置信区间为0.950.0250.574(6(8)(5.558,6.442)3t河南理工大学 2010-2011 学年第 二 学期概率论与数理统计试卷（A 卷）专业班级： 姓名： 学号： 密封线总得分总得分阅卷人阅卷人复查人复查人考试方式考试方式本试卷考试分数占本试卷考试分数占 学生总评成绩比例学生总评成绩比例闭卷 80 %分数分数20得分得分1、设

13、 A 和 B 为不相容事件,且。则下列结论中正确的是（ ） ( )0, ( )0P AP BA. B. C； D(|)0P B A (|)( )P A BP A(|)0P A B ()( ) ( )P ABP A P B2、若服从上的均匀分布，则下列选项正确的是（ ） X0,121YXA.服从上的均匀分布； B.； Y0,1011PYC.服从上的均匀分布； D.Y1,3010.5PY3、相互独立，则对任意给定的，有（ ） 129,XXX()1iE X()1iD X0A.； B.； 92 1|1|1iiPX 92 11|1|19iiPX C. ； D. 92 1|9|1iiPX 92 1|9|1

14、 9iiPX 4、设，则服从自由度为的分0 1( , )XN11ni iXXn2211()1ni iSXXn(1)n2布的随机变量是（ ） A，； B； C； D21ni iX2S2(1)nX2(1)nS5、设随机变量的概率密度是偶函数，是的分布函数，则对于任意实数，X( )f x( )F xXa有（ ）. .A； B； ()2 ( ) 1FaF a 0()0.5( )aFaf x dxC ； D()( )FaF a 0()1( )aFaf x dx 1、设随机变量和相互独立且都服从分布，XY0 12003P XP Y，则_1113P XP Y()P XY一、选择题（每题只有一个正确答案） （

15、本题 20 分，每题 4 分）分数分数20得分得分二、填空题（本题 20 分，每题 4 分）2、设随机变量 Y 是随机变量的线性函数，则X56YX()3D X _XY3、若。则_( )0.5,( )0.6,(|)0.8P AP BP B A()P AB 4、设是取自正态总体的简单随机样本，要使1234,XXXX2(0,2 )XN，则_222 1234(2)(34)(2)a XXbXX:a b 5、若 0，2，2，3，2，3 是均匀分布总体的观测值, 则的矩估计值是(0, )U_三三、 设有来自三个地区的各 10 名、15 名和 20 名考生的报名表，其中女的报 名表分别为 3 份、7 份和 1

16、5 份。随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份， 求先抽到的一份是女生表的概率。分数分数10得分得分四、设二维随机变量的概率密度为(, )X Y221.( , )0Cxxyf x y y，其他（1）试确定常数；（2）求边缘概率密度。C( ),( )XYfxfY分数分数10得分得分分数分数10得分得分五、 设二维随机变量的概率密度为(, )X Y()0,0.( , )0x yexyf x y ，其他 求随机变量的分布函数和概率密度ZYX分数分数10得分得分六、设的概率密度为),YX（02,01;()3 0.xyxyf xy ， ，其他求， ，()E X(),D X( )E Y( )D Y分数

17、分数10得分得分七、在天平上反复称质量为的物体,每次称量结果独立同服从.），（04. 0N若以表示次称量的算术平均,则为使,至少应该Xn95. 0) 1 . 0(XPn是多少?(975. 096. 1）（分数分数10得分得分八、设是取自总体的一个样本，为一相应的样本值.总12,nXXXX12,nx xx体的概率密度为X，其中，为未知参数。()1,( , ) 0,x exf x 其他0试求： 未知参数的最大似然估计量和. ,河南理工大学 2010-20112010-2011 学年第 二 学期概率论与数理统计试卷（A 卷）答案及评分标准二、二、 选择题（共选择题（共 20 分分 每题每题 4 分）

18、分）（1）C, (2) C, （3）D, (4) D, （5） B二、填空题（共二、填空题（共 20 分分 每题每题 4 分）分）（1）,（2）1, （3）0.3, （4）， （5）4. 5 911,20100三、三、 （10 分）分）解： 设先抽到的一份为女生表，报名表是第 区考生的，。A iB i1,2,3i 则为一完备事件组，且iB123()()()1 3P BP BP B又 123(|)3 10,(|)7 15,(|)3 4P A BP A BP A B由全概率公式可得 31( )() (|)ii iP AP B P A B137391()3 10154180四、四、 （10 分）分）

19、解：（1）由于 ，2211( , )4 21xyf x y dxdyCcx ydxdy 从而 ， (2) ，21 4C ( )( , )Xfxf x y dy(3) 2122421,11,4 0,21(1),11,8 0,xx ydyxxxx 其他.其他.( )( , )Yfyf x y dx25 221, 01,4 0,7, 01,2 0,yyx ydxyyy 其他.其他.五、五、 （10 分）分）解： ( )( , )Z y x zFzP ZzP YXzf x y dxdy 当且仅当时，非零。0,0xy( , )f x y（1）当时， 0z ()01( )( , )2x zx yz Zz

20、y x zFzf x y dxdydxedye （2）当时， 0z ()001( )( , )12x zx yz Z y x zFzf x y dxdydxedye （3）综上有，从而有 1,0,2( )11,0.2zZ zez Fz ez 1,0,2( )( )1,0.2zZZ zez fzFz ez （4）（5）六、六、 （10 分）分）解：的非零区域为，则 ( , )f x y( , )|0201Dx yxy， 210011()( , )39DxyE Xxf x y dxdyxdxdy 212220016()( , )39DxyE Xx f x y dxdyx dxdy 21005( )

21、( , )39DxyE Yyf x y dxdyydydx 21222007()( , )318DxyE Yy f x y dxdyydydx 2 22161123()()()9981D XE XE X 2 227513( )()( )189162D YE YE Y七、七、 （10 分）分）解：设第 次称量的结果为.则.i,1,2,iXin( , 0.04)iXN:11ni iXXn从而 0.04(),()E XD Xn从而 0.10.1| 0.10.040.040.04XPXPnnn ()()2 () 10.95222nnn 即 ，又 ，从而 ，即 ， ()0.9752n(1.96)0.97

22、51.962n15.36n 从而至少为 16 n八、八、 （10 分）分）解：由题易得似然函数为 11,( , )0,n iixinexL 其他仅考虑的情况ix对数似然函数 1ln ( , )lnn iixLn 上式两端分别对和求偏导并令其等于 0 2 1ln ( , )0 (1)ln ( , )0(2)n iixLnLn 由（1）得 ，从而 220nnxn x当固定时，要使最大，只需最大，但( , )L ,1,2,.ixin故 ，若按从小到大重排得1minii nuX 1,2,.iXin，(1)(2)( )nXXX从而 (1)uX进而有 (1)XuXX河南理工大学 2009-2010 学年第

23、 一 学期概率论与数理统计试卷（A 卷）总得分总得分阅卷人阅卷人复查人复查人考试方式考试方式本试卷考试分数占本试卷考试分数占 学生总评成绩比例学生总评成绩比例闭卷 80 %分数分数20得分得分1、为随机事件，且，则下列式子正确的是（ ） ABAB A.； B.)()(APBAP)()()(APBPABPC； D)()(APABP)()|(BPABP2、设一次试验中事件发生的概率为，现重复进行次独立试验，则事件至多发生ApnA一次的概率为 （ ） 专业班级： 姓名： 学号： 密封线专业班级： 姓名： 学号： 密封线一、选择题（本题 20 分，每题 4 分）A.； B.； C.； D.np1npn

24、p)1 (11)1 ()1 (nnppnp3、设随机变量服从参数为的泊松分布，且XemmXPm!，210m，则 （ ） 3DXA.3； B.； C.9； D.31 914、设，其中已知，未知，为其样本,下列各项不是统计量的),(2N2321,XXX是（ ） A ； B； C ； D2 32 22 121XXX1X),max(321XXX321XXX5、设连续随机变量的密度函数满足，是的分布函数，则X)()(xfxf)(xFX（ ）. .)2004( XP； ；)(A)2004(2F)(B1)2004(2F； . .)(C)2004(21F)(D)2004(1 2F1、若为连续型随机变量，为任给

25、定的一个实数，则_Xa()P Xa2、设随机变量，且，则常数_)45 . 0(，NXaXPaXPa3、已知随机变量，且，相互独立，设随机变量)31(，NX) 12(，NYXY，则_92YXZDZ4、设是随机变量，有切比雪夫不等式_X2)(,)(XDXE3XP5、设，则_()3D X 31YXXY分数分数20得分得分二、填空题（本题 20 分，每题 4 分）三三、 有两箱同种类的零件，第一箱装 50 只，其中 10 只一等品；第二箱装 30 只， 其中 18 只一等品今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取 一只，作不放回抽样 求 （1）第一次取到的零件是一等品的概率； （2）第一

26、次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概 率分数分数10得分得分四、设 （1）求的概率密度；（2）求) 1 , 0( NXYX122XY的概率密度分数分数10得分得分分数分数10得分得分五、 设二维随机变量的概率密度为(, )X Y 01,01.( , )0Cxyxyf x y ，其他（1）试确定常数；（2）的概率密度CZXY分数分数10得分得分六、设的概率密度为),YX（1,01()0.yxxf xy 他他他他他求 ，(),E X( )E Y(, )Cov X Y密封线分数分数10得分得分七、求总体的容量分别为 10, 15 的两独立样本均值差的绝对值大)3 ,20(N于 0

27、. .3 的概率）（6628. 0)213 . 0(密封线河南理工大学 2009-20102009-2010 学年第 一 学期概率论与数理统计答案试卷（A 卷）答案和评分标准一、一、 选择题（共选择题（共 20 分分 每题每题 4 分）分）（1）A, (2) D, （3）A, (4) A, （5） D二、填空题（共二、填空题（共 20 分分 每题每题 4 分）分）（1） 0 ,（2） 0.5 , （3） 13 , （4） , （5） 8 91三、三、 （10 分）分）解： 以表示事件“从第一箱取零件” ，则表示事件“从第二箱中取零件”由已知条件HH.又以表示事件“第 次从箱中（不放回抽样）取得

28、的是一等品” ， ()()1 2P HP HiAi分数分数10得分得分八、设是取自总体的一个样本，为一相应的样本值.总12,nXXXX12,nx xx体的概率密度为X，.) 1 , 0(, 0 ) 1 , 0(,),(1xxxxf)0(试求：(1) 未知参数的矩估计量；(2) 未知参数的最大似然估计量. 由条件故1,2i 11()1 5, ()3 5,P A HP A H需要求的是111()() ()() ()1 103 102 5P AP A H P HP A H P H21().P A A因,而 12 21 1()()()P A AP A AP A121212()()()()()P A A

29、P A A H P HP A A H P H又因为，故有 12121091817(), ()50493029P A A HP A A H=12 21 1()()()P A AP A AP A1212 11()()()()()P A A H P HP A A H P HP A 5 10911817119516900.48562 50492302924 49291421四、四、 （10 分）分）解：（1） 因为不取负值。从而，若，则注意到,故,YX故Y0y ( )0;0,Yfyy若(0,1)XN:的分布函数为Y( )()(0)(0)()( )()YFyP YyPYyPXyPyXyyy 从而， 时，

30、0y 21 22( )( )( )()2yYYddfyFyyyedydy 于是，的概率密度为 YX21 220( )2 0yYeyfy 其他（2）因为故在取值，从而时；若，注意到221,YXY1,)1y ( )0Yfy 1y ,故的分布函数为(0,1)XN:Y211( )()(21)()22111()()2 () 1222YyyFyP YyPXyPXyyy 故1y 时(1) 4(1) 4111111( )21222222(1)(1)yy Ydyfyeedyyy于是的概率密度为 221YX(1) 41112(1)( )0yYeyyfy 其他五、五、 （10 分）分）解：（1）由于得110011(

31、 , )(1)2f x y dxdydxCxydyC 1C （2）由于. ( )( ,)ZZXYfzf x zx dx，所以，当 即 时 01 01x zx 01 1x xzx ( )0Zfz 当 当 2001( )zZzfzzdxz，1112( )(2)Zzzfzzdxzz ，当 综上所述 02( )0Zzzfz或，2,01( )(2),100,Zzzfzzzz 其他六、六、 （10 分）分）解： 各数学期望均可以按照计算。因为仅在有限 (, )( , ) ( , )E g X Yg x y f x y dxdy ( , )f x y区域内不为 0，故各数学期望均化为上相应的积分。 :,01

32、GyxxG102()( , )3xx GE Xxf x y dxdyxdxdy 10( )( , )xx GE Yyf x y dxdydxydy 10()( , )0xx GE XYxyf x y dxdyxdxydy (, )()() ( )000Cov X YE XYE X E Y七、七、 （10 分）分）解：将总体的容量分别为 10，15 的两独立样本的均值分别记作,则(20,3)N,X Y (20,3 10),(20,3 15)XNYN:所以 ()20,()3 10,( )20,( )3 15E XD XE YD Y因为相互独立，所以服从正态分布， ,X YXY且 33()2020,()1015E XYD XY从而，故所求的概率为. (2020,3 103 15)0 1 2XYNXYN:，即（，）(0.3)1(0.3)0.30.31()1 21 21 2pP XYP XYXYP 0.322 ()2(1 0.6628)0.6744.1 2 八、八、 （10 分）分）解：(1) 由1)(101 1 dxxxXE1,11XA可得解得，矩估计量 21 XX似然函数 ，.) 1 , 0(, 0 ) 1 , 0(,)()()(1 21 xxxxxLnn令 ，即有 0)(lnLdd02)ln( 221nxxxn于是求得最大似然估计量 212ln niiL Xn