高数一全套资料公式定律.doc

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1、 初等数学基础知识初等数学基础知识 一、三角函数一、三角函数1公式公式同角三角函数间的基本关系式：同角三角函数间的基本关系式：平方关系：sin2()+cos2()=1; tan2()+1=sec2();cot2()+1=csc2()商的关系： tan=sin/cos cot=cos/sin倒数关系： tancot=1; sincsc=1; cossec=1 三角函数恒等变形公式：三角函数恒等变形公式： 两角和与差的三角函数： cos(+)=coscos-sinsincos(-)=coscos+sinsinsin()=sincoscossintan(+)=(tan+tan)/(1-tantan)

2、tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan)倍角公式：sin(2)=2sincoscos(2)=cos2()-sin2()=2cos2()-1=1-2sin2()tan(2)=2tan/1-tan2()半角公式：sin2(/2)=(1-cos)/2cos2(/2)=(1+cos)/2tan2(/2)=(1-cos)/(1+cos)tan(/2)=sin/(1+cos)=(1-cos)/sin万能公式：sin=2tan(/2)/1+tan2(/2)cos=1-tan2(/2)/1+tan2(/2)tan=2tan(/2)/1-tan2(/2)积化和差公式：sincos=(1/2)sin

3、(+)+sin(-)cossin=(1/2)sin(+)-sin(-)coscos=(1/2)cos(+)+cos(-)sinsin=-(1/2)cos(+)-cos(-)和差化积公式： sin+sin=2sin(+)/2cos(-)/2sin-sin=2cos(+)/2sin(-)/2cos+cos=2cos(+)/2cos(-)/2cos-cos=-2sin(+)/2sin(-)/22特殊角的三角函数值 )(f0 )0(6)30(4)45(3)60(2)90(cos12/32/22/10sin02/12/22/31tan03/113不存在cot不存在313/10只需记住这两个特殊的直角三角

4、形的边角关系，依照三角函数的定义即可推出上面的三角值。3 诱导公式：函数 角 Asincostgctg-sincos-tg-ctg 90-cossinctgtg 90+cos-sin-ctg-tg 180-sin-cos-tg-ctg 180+-sin-costgctg 270-cos-sinctgtg 270+-cossin-ctg-tg 360-sincos-tg-ctg 360+sincostgctg记忆规律： 竖变横不变（奇变偶不变），符号看象限（一全，二正弦割，三切，四余弦割 即第一象限全是正的，第二象限正弦、正割是正的，第三象限正切是正的，第四象限余弦、余割是正的）二、一元二次函数

5、、方程和不等式二、一元二次函数、方程和不等式acb4200014521451230603)0(2一元二次函数acbxaxy2 . 1x02cbxax一元二次方程aacbbx2422, 1有二互异实根abx2)(2, 1有一根有二相等实根 无实根02cbxax 2121)(xxxxxx或abx2Rx)0( 式等不次二元一a02cbxax21xxxxx三、三、因式分解与乘法公式因式分解与乘法公式22222222332233223223332233222(1)()()(2)2()(3)2()(4)()()(5)()()(6)33()(7)33()(8)222(abab abaabbabaabbaba

6、bab aabbabab aabbaa babbabaa babbababcabbcca21221)(9)()(),(2)nnnnnnabcabab aababbn四、等差数列和等比数列四、等差数列和等比数列 11 11122nn nnaandn aan nnSSnad1. 等差数列 通项公式：前项和公式或 1 100n nnGPaa qaq2. 等比数列通项公式，2x1x11.1111nnnaqqSqnaq 前项和公式五、常用几何公式五、常用几何公式平面图形平面图形名称符号周长 C 和面积 S正方形a边长C4a Sa2长方形a 和 b边长C2(a+b) Sab三角形a,b,c三边长 ha 边

7、上的高 s周长的一半 A,B,C内角 其中 s(a+b+c)/2Sah/2ab/2sinC s(s-a)(s-b)(s-c)1/2a2sinBsinC/(2sinA)平行四边形a,b边长 ha 边的高 两边夹角Sahabsin菱形a边长 夹角 D长对角线长 d短对角线长SDd/2a2sin梯形a 和 b上、下底长 h高 m中位线长S(a+b)h/2mh圆r半径 d直径Cd2r Sr2d2/4扇形r扇形半径 a圆心角度数C2r2r(a/360) Sr2(a/360)圆环R外圆半径 r内圆半径 D外圆直径 d内圆直径S(R2-r2)(D2-d2)/4椭圆D长轴 d短轴SDd/4立方图形立方图形名称

8、符号表面积 S 和体积 V正方体a边长S6a2 Va3长方体a长 b宽 c高S2(ab+ac+bc) Vabc圆柱r底半径 h高 C底面周长S底底面积S侧侧面积S表表面积C2rS底r2S侧ChS表Ch+2S底= Ch+2r2VS底h r2h圆锥r底半径 h高Vr2h/3球r半径 d直径V4/3r3 d3/6 S=4r2 d2基本初等函数基本初等函数 名 称表达式定义域 图 形 特 性常 数 函 数Cy Ry C0x幂 函 数xy 随而异， 但在上R 均有定义00.20.40.60.811.21.41.61.800.20.40.60.811.21.41.61.8y=xy=x-1y=x1/3y=x

9、-2y=x3过点(1，1); 时在0R 单增； 时在0R 单减指数函数10 aaayxR-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.5-0.500.511.522.533.544.5(0,1)y=axy=axx010a1O(1,0)xy 过点1,0单增1a单减 10 aloglog1,log 10,0logloglog,logloglog,loglog,loglog0,1 ,loglog(0)(0)aaaaaaaaap aac a cx axaM NMNMNMMNN MPMbbcaax xax x正弦函数xysin R-/2Oxy1-1/23/22奇函数 2T 1y余弦函数xycos

10、ROxy1-1/23/22-/2偶函数 2T 1y正切函数xytan2 kxZkOxy/2-/2奇函数 T 在每个周期 内单增余切函数xycot, kx Zk-Oyx奇函数 T 在每个周期 内单减反正弦函数xyarcsin1 , 1-/2/21-1yxo奇函数 单增22y反余弦函数xyarccos1 , 1/21-1yxo单减 y0反正切函数xyarctanR/2-/2yxo奇函数 单增22y反余切函数xycotarcRyxo/2单减 y0极限的计算方法极限的计算方法 一、初等函数：一、初等函数： 1.lim(2.lim0lim0,:lim03.lim0,:0lim004.lim00CC Cf

11、 xMf xf xf xCCf xf xMf xCf xC CCC C 是常值函数）若（即是有界量），（即是无穷小量），特别若（即是有界量）特别 5. 010 .,.(sin ,1 ,ln1 )xABxx exxx未定式型分子分母含有相同的零因式消去零因式等价无穷小替换常用 .,lim, limlimfxf xfxCfxgxgxg xgx洛必达法则：要求存在且存在此时 2.,.,.ABC 型忽略掉分子分母中可以忽略掉的较低阶的无穷大保留最高阶的无穷大再化简计算分子分母同除以最高阶无穷大后再化简计算洛必达法则 型型或转化为数有理化通过分式通分或无理函型“00“,3 00 100104转化为 .1

12、lim17060051000或求对数来计算通过型型型求对数求对数exx x 二、分段函数：二、分段函数：,.分段点的极限用左右极限的定义来求解切线方程切线方程为： 法线方程法线方程为)(000xxxfyy)()(10 00xxxfyy基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式(1) ，是常数 (2) 0)(CC1)(xx(3) ，特别地，当时， aaaxxln)(ea xxee (4) ， 特别地，当时，axxaln1)(logea xx1ln (5) (6) xxcos)(sinxxsin)(cos(7) (8) xxx2 2seccos1)(tanxxx2 2cscsin1)(cot(9

13、) (10) xxxtan)(sec)(secxxxcot)(csc)(csc(11) (12) )(arcsin x 211x211)(arccos xx (13) (14) 211)(arctanxx21(arccot )1xx 函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则，的和、差、商 (除分母为 0 的点外) 都在点 x 可导,可导都在点及函数xxvvxuu)()()()(xvxu及)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()( )()()3(2xvxvxuxvxu xvxu )0)(xv基本初等

14、函数的微分公式基本初等函数的微分公式(1)、( 为常数)；0dc c(2)、(为任意常数)；1()d xxdx(3)、，特别地，当时，；()lnxxd aaadxea ()xxd ee dx(4)、，特别地，当时，；1(log)lnadxdxxaea 1(ln )dxdxx(5)、； (sin )cosdxxdx(6)、；(cos )sindxxdx (7)、；2(tan )secdxxdx(8)、；2(cot )cscdxxdx (9)、； (sec )sec tandxxxdx(10)、；(csc )csc cotdxxxdx (11)、； 21(arcsin ) 1dxdx x (12)

15、、； 21(arccos ) 1dxdx x (13)、；21(arctan )1dxdxx(14)、21(cot )1d arcxdxx 曲线曲线的切线方程的切线方程000()()yyfxxx幂指函数的导数幂指函数的导数极限、可导、可微、连续之间的关系极限、可导、可微、连续之间的关系极限连续可导可微条件 A 条件 B，A 为 B 的充分条件条件 B 条件 A，A 为 B 的必要条件条件 A 条件 B，A 和 B 互为充分必要条件边际分析边际分析边际成本 MC =；边际收益 MR =；( )C q( )R q边际利润 ML =，= MRMC ( )L q( )( )( )L qR qC q弹性

16、分析弹性分析在点处的弹性，)(xfy 0x 特别的，需求价格弹性：( )EDpD pEpD罗尔定理罗尔定理若函数满足： (1) 在闭区间连续；)(xf,ba lnv xv xuxu xu xvxu xv xu x00 0 0()x xxEyy xExy(2) 在开区间可导； ),(ba(3) ，则在内至少存在一点，使)()(bfaf),(ba0)(f拉格朗日定理拉格朗日定理设函数满足: )(xf(1) 在闭区间连续；,ba(2) 在开区间可导，),(ba则在上至少存在一点，使得 ),(baabafbff)()()(基本积分公式基本积分公式(1) 0dxC(2) 特别地： kCkxkdxdxxC

17、(3) 111 Cxdxx(4) （有时绝对值符号也可忽略不写）Cxdxx|ln1(5) Caadxax xln(6) Cedxexx(7) Cxxdxsincos(8) Cxxdxcossin(9) Cxxdxxdxtanseccos2 2(10) Cxxdxxdxcotcscsin2 2(11) Cxxdxxsectansec(12) Cxxdxxcsccotcsc(13) （或）Cxxdxarctan12Cxarcxdxcot12(14) （或）Cx xdx arcsin 12Cx xdx arccos 12(15) ，Cxxdx|cos|lntan(16) ，Cxxdx|sin|lnc

18、otxy0ab( )yg x( )yf x(17) ，Cxxxdx|tansec|lnsec(18) ，Cxxdxx|cotcsc|lncot(19) ，Cax axadxarctan122)0( a(20) ，Caxax axadxln2122(0)a (21) ，Caxxadx arcsin 22)0( a(22) ，Caxx axdx 2222ln)0( a常用凑微分公式常用凑微分公式(1)、0,1ababaxdadx (2)、 2 21xdxdx (3)、 xddxx112(4)、xddxx21(5)、xddxxln1(6)、xxdedxe(7)、sincosxdxdx (8)、xdx

19、dxsincos(9)、xdxdxtansec2(10)、xdxdxcotcsc2(11)、 21arcsin 1dxdx x (12)、xddxxarctan112一阶线性非齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程的通解的通解为( )( )( )P x dxP x dxyeQ x edxC平面图形面积的平面图形面积的计算公式计算公式( )( )dyP x yQ xdx( ),( )yf xyg xy0xcd( )xy( )xy1)区域 D 由连续曲线 和直线 x=a,x=b 围成,其中 （右图）2)区域 D 由连续曲线 和直线 x=c,x=d 围成,其中 （右图）平面图形绕旋转轴旋转得到的旋转体体

20、积公式平面图形绕旋转轴旋转得到的旋转体体积公式1 、绕 x 轴的旋转体体积（右图）注意：此时的曲边梯形必须紧贴旋转轴2、绕 y 轴的旋转体体积（右图）注意：此时的曲边梯形必须紧贴旋转轴 由边际函数求总函数由边际函数求总函数000( )( )(0)qC qf x dxCCC为固定成本） 0( )( )qR qg x dx总利润函数为。00( )( )( ) ( )( )qL qR qC qg xf x dxC多元复合函数的导数公式多元复合函数的导数公式( )( )()f xg x axb( )( )baAg xf x dxD 的面积 ( ),( )xy xy( )( )yycyd( )( )dc

21、Ayy dyD 的面积 2( )bxaVfx dx2( )dycVgy dy设函数 u =(x, y)、v =(x, y)在点(x，y)有偏导数，函数 z = f (u, v)在对应点(u, v)处可微，则复合函数 z = f (x, y),(x, y)在点(x，y)的偏导数, .zzuzvzzuzv xuxvxyuyvy 两个特例：z = f (u, v)，：( ),( )ut vtdzz duu dv dtu dtv dtz = f (u)，u = u (x, y)：( ), ( ).zdzuuzdzuuf uf uxduxxyduyy 隐函数导数公式隐函数导数公式二元方程所确定的隐函数：

22、( , )0F x y xyFdy dxF 三元方程 F(x, y, z) = 0 所确定的二元隐函数：，xzFz xF yzFz yF 1.确定函数定义域的主要依据： (1)当 f(x)是整式时，定义域为 R； (2)当 f(x)是分式时，定义域是使分母不等于 0 的 x 取值的集合； (3)当 f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式取非负值的 x 取值的集合； (4)当 f(x)是零指数幂或负数指数幂时，定义域是使幂的底数非零或大于 0 的 x 取值范围； (5)当 f(x)是对数式时，定义域是使真数大于 0 的 x 取值的集合；(6)正切函数的定义域是；余切函数的定义域是x|xk，kZ；Zkkxx,2|(7)当 f(x)表示实际问题中的函数关系时还应考虑在此实际问题中 x 取值的实际意义. 2.求函数值域常用的方法有配方、换元、不等式、判别式、图像法等等.