概率统计简明教学教材课后习题.答案(非常详细版.).doc

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1、/ 习题一解答1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件：A(1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件；两次出现的面相同A(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件一分钟内呼叫次数不超过 次；A3(3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件寿命在到小时之间。A20002500解 (1) ， .),(),(),(),(),(),(A(2) 记为一分钟内接到的呼叫次数，则X， ., 2 , 1 , 0|kkX3 , 2 , 1 , 0|kkXA(3) 记为抽到的灯泡的寿命（单位：小时） ，则X， .), 0(X)2500,2000( XA2. 袋中有个球，分别编有号码 1

2、 至 10，从中任取 1 球，设取得球的号码是偶数，10A取得球的号码是奇数，取得球的号码小于 5，问下列运算表示什么事件：BC(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).BAABACACCACB CA解 (1) 是必然事件；BA(2) 是不可能事件；AB(3) 取得球的号码是 2，4；AC(4) 取得球的号码是 1，3，5，6，7，8，9，10；AC(5) 取得球的号码为奇数，且不小于 5取得球的号码为 5，7，9；CA(6) 取得球的号码是不小于 5 的偶数取得球的号码为 6，8，10；CBCB(7) 取得球的号码是不小于 5 的偶数=取得球的号码为 6，8，10CACA3.

3、在区间上任取一数，记，求下列事件的表达式：2,0 121xxA 23 41xxB(1)；(2)；(3)；(4).BABABABA解 (1) ; 23 41xxBA(2) ; BxxxBA21210或 23121 41xxxx(3) 因为，所以；BA BA(4) 4. 用事件 223 410xxxABA或 223121 410xxxx或或的运算关系式表示下列事件：CBA,(1) 出现，都不出现（记为） ；ACB,1E(2) 都出现，不出现（记为） ；BA,C2E(3) 所有三个事件都出现（记为） ；3E(4) 三个事件中至少有一个出现（记为） ；4E/(5) 三个事件都不出现（记为） ；5E(6

4、) 不多于一个事件出现（记为） ；6E(7) 不多于两个事件出现（记为） ；7E(8) 三个事件中至少有两个出现（记为） 。8E解 (1)； (2)；CBAE 1CABE 2(3)； (4)；ABCE 3CBAE4(5)； (6)；CBAE 5CBACBACBACBAE6(7)；(8).CBAABCE7BCACABE8 5. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一件，设表示事件“第iA次抽到废品” ，试用表示下列事件：i3 , 2 , 1iiA(1) 第一次、第二次中至少有一次抽到废品；(2) 只有第一次抽到废品；(3) 三次都抽到废品；(4) 至少有一次抽到合格品；(2)

5、只有两次抽到废品。解 (1)； (2)； (3)；21AA 321AAA321AAA(4)； (5).321AAA321321321AAAAAAAAA6. 接连进行三次射击，设=第 次射击命中，三次射击恰好命中二次，iAi3 , 2 , 1iB三次射击至少命中二次；试用表示和。CiABC解 321321321AAAAAAAAAB323121AAAAAAC习题二解答1从一批由 45 件正品、5 件次品组成的产品中任取 3 件产品，求其中恰有 1 件次品的概率。解 这是不放回抽取，样本点总数，记求概率的事件为，则有利于的样本点数 350nAA. 于是 15 245k39299 ! 2484950!

6、 35444535015 245)( nkAP2一口袋中有 5 个红球及 2 个白球，从这袋中任取一球，看过它的颜色后放回袋中，然后，再从这袋中任取一球，设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同。求/ (1) 第一次、第二次都取到红球的概率；(2) 第一次取到红球，第二次取到白球的概率；(3) 二次取得的球为红、白各一的概率；(4) 第二次取到红球的概率。解 本题是有放回抽取模式，样本点总数. 记(1)(2)(3)(4)题求概率的事件分别为27n.DCBA,()有利于的样本点数，故 A25Ak4925 75)(2 AP() 有利于的样本点数，故 B25Bk4910 725)(2BP() 有利于

7、的样本点数，故 C252Ck4920)(CP() 有利于的样本点数，故 .D57Dk75 4935 757)(2DP3一个口袋中装有 6 只球，分别编上号码 1 至 6，随机地从这个口袋中取 2 只球，试求：(1) 最小号码是 3 的概率；(2) 最大号码是 3 的概率。解 本题是无放回模式，样本点总数.56n() 最小号码为 3，只能从编号为 3，4，5，6 这四个球中取 2 只，且有一次抽到 3，因而有利样本点数为，所求概率为 .3251 5632() 最大号码为 3，只能从 1，2，3 号球中取，且有一次取到 3，于是有利样本点数为，22所求概率为 .152 56224一个盒子中装有 6

8、 只晶体管，其中有 2 只是不合格品，现在作不放回抽样，接连取 2 次，每次取 1 只，试求下列事件的概率：(1) 2 只都合格；(2) 1 只合格，1 只不合格；(3) 至少有 1 只合格。解 分别记题(1)、(2)、(3)涉及的事件为，则CBA,52 2562342624)( AP158 562242612 14)( BP注意到，且与互斥，因而由概率的可加性知BACAB/1514 158 52)()()(BPAPCP5掷两颗骰子，求下列事件的概率：(1) 点数之和为 7；(2) 点数之和不超过 5；(3) 点数之和为偶数。解 分别记题(1)、(2)、(3)的事件为,样本点总数CBA,26n

9、()含样本点,(1,6),(6,1),(3,4),(4,3)A)2 , 5(),5 , 2(61 66)(2AP()含样本点(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2)B185 610)(2BP()含样本点(1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1);(2,2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(3,3), (3,5),(5,3);(4,4),C(4,6),(6,4);(5,5);(6,6), 一共 18 个样本点。21 3618)(CP6把甲、乙、丙三名学生随机地分配到 5 间空置的宿舍中

10、去，假设每间宿舍最多可住 8 人，试求这三名学生住不同宿舍的概率。解 记求概率的事件为，样本点总数为，而有利的样本点数为，所以 A35A345.2512 5345)(3AP7总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位，求下列事件的概率：(1) 事件：“其中恰有一位精通英语” ；A(2) 事件：“其中恰有二位精通英语” ；B(3) 事件：“其中有人精通英语” 。C解 样本点总数为 35(1) ；53 106 345! 332352312)( AP(2) ；103 345! 333513 22)( BP(3) 因，且与互斥，因而BACAB.109 103 53)()()(BPAPCP8设一

11、质点一定落在平面内由轴、轴及直线所围成的三角形内，而落在这xOyxy1 yx三角形内各点处的可能性相等，计算这质点落在直线的左边的概率。3/1x/ 解 记求概率的事件为，则AAS为图中阴影部分，而，2/1|185 95 21 32 21 21|2 AS最后由几何概型的概率计算公式可得.95 2/118/5 |)(ASAP9 （见前面问答题 2. 3）10已知，求BA 4 . 0)(AP6 . 0)(BP(1),；(2)；(3)；(4)；(5).)(AP)(BP)(BAP)(ABP)(),(BAPABP)( BAP解 (1)，；6 . 04 . 01)(1)(APAP4 . 06 . 01)(1

12、)(BPBP(2)；6 . 0)()()()()()()()(BPAPBPAPABPBPAPBAP(3)；4 . 0)()(APABP(4), ;0)()()(PBAPABP4 . 06 . 01)(1)()(BAPBAPBAP(5). 2 . 04 . 06 . 0)()(ABPBAP11设是两个事件，已知，试求及BA,5 . 0)(AP7 . 0)(BP8 . 0)(BAP)(BAP).(ABP解 注意到 ，因而 )()()()(ABPBPAPBAP)()()(BPAPABP)(BAP. 于是， ；4 . 08 . 07 . 05 . 0)()()()(ABPAPABAPBAP1 . 04

13、 . 05 . 0.3 . 04 . 07 . 0)()()()(ABPBPABBPABP习题三解答1已知随机事件的概率，随机事件的概率，条件概率，A5 . 0)(APB6 . 0)(BP8 . 0)|(ABP试求及.)(ABP)( BAP解 4 . 08 . 05 . 0)|()()(ABPAPABP)()()(1)(1)()(ABPBPAPBAPBAPBAP3 . 04 . 06 . 05 . 012一批零件共 100 个，次品率为 10%，从中不放回取三次（每次取一个） ，求第三次才取得正品的概率。解 .10789 989981 989910090910p3某人有一笔资金，他投入基金的概

14、率为 0.58，购买股票的概率为 0.28，两项投资都做的概率为 0.19(1) 已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？(2) 已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？yxO1/311ASh图 2.3/ 解 记基金，股票，则AB19. 0)(,28. 0)(,58. 0)(ABPBPAP(1) .327. 058. 019. 0)()()|(APABPABP(2) .678. 028. 019. 0)()()|(BPABPBAP4给定，验证下面四个等式：5 . 0)(AP3 . 0)(BP15. 0)(ABP，),()|(),()|(APBAPAPBAP)()|(BPABP).()|(B

15、PABP解 )(21 3 . 0 15. 0)()()|(APBPABPBAP)(5 . 07 . 0 35. 07 . 0 15. 05 . 0)(1)()( )()()|(APBPABPAP BPBAPBAP)(3 . 05 . 0 15. 0)()()|(BPAPABPABP)(5 . 0 15. 05 . 0 15. 03 . 0)(1)()( )()()|(BPAPABPBP APBAPABP5有朋自远方来，他坐火车、船、汽车和飞机的概率分别为 0.3，0.2，0.1，0.4，若坐火车，迟到的概率是 0.25，若坐船，迟到的概率是 0.3，若坐汽车，迟到的概率是 0.1，若坐飞机则不

16、会迟到。求他最后可能迟到的概率。解 迟到，坐火车，坐船，坐汽车，乘飞机，则 B1A2A3A4A，且按题意41iiBAB，.25. 0)|(1ABP3 . 0)|(2ABP1 . 0)|(3ABP0)|(4ABP由全概率公式有： 41145. 01 . 01 . 03 . 02 . 025. 03 . 0)|()()(iiiABPAPBP6已知甲袋中有 6 只红球，4 只白球；乙袋中有 8 只红球，6 只白球。求下列事件的概率：(1) 随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球；(2) 合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球。解 (1) 记该球是红球，取自甲袋，取自乙袋，已知，B1A2A10

17、/6)|(1ABP，所以14/8)|(2ABP7041 148 21 106 21)|()()|()()(2211ABPAPABPAPBP(2) 127 2414)(BP7某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一产品，每个车间的产量分别占全厂的25%，35%，40%，各车间产品的次品率分别为 5%，4%，2%，求该厂产品的次品率。解 02. 04 . 004. 035. 005. 025. 0%45. 30345. 0008. 00140. 00125. 0 8发报台分别以概率 0.6，0.4 发出和，由于通信受到干扰，当发出时，分别以“/ 概率 0.8 和 0.2 收到和，同样，当发出信号时，分

18、别以 0.9 和 0.1 的概率收到和“。求(1) 收到信号的概率；(2) 当收到时，发出的概率。“解 记 收到信号，发出信号B“A“(1) )|()()|()()(ABPAPABPAPBP52. 004. 048. 01 . 04 . 08 . 06 . 0(2) .1312 52. 08 . 06 . 0)()|()()|(BPABPAPBAP9设某工厂有三个车间，生产同一螺钉，各个车间的产量分别占总产量的CBA,25%，35%，40%，各个车间成品中次品的百分比分别为 5%，4%，2%，如从该厂产品中抽取一件，得到的是次品，求它依次是车间生产的概率。CBA,解 为方便计，记事件为车间生产

19、的产品，事件次品，因此CBA,CBA,D)|()()|()()|()()(CDPCPBDPBPADPAPDP02. 04 . 004. 035. 005. 025. 00345. 0008. 0014. 00125. 0362. 00345. 005. 025. 0)()|()()|(DPADPAPDAP406. 00345. 004. 035. 0)()|()()|(DPBDPBPDBP232. 00345. 002. 04 . 0)()|()()|(DPCDPCPDCP10设与独立，且，求下列事件的概率：，ABqBPpAP)(,)()(BAP)(BAP. )(BAP解 pqqpBPAPBP

20、APBAP)()()()()(pqqqpqpBPAPBPAPBAP1)1 (1)()()()()(pqBPAPABPBAP1)()(1)()(11已知独立，且，求.BA,)()(, 9/1)(BAPBAPBAP)(),(BPAP解 因，由独立性有)()(BAPBAP)()()()(BPAPBPAP从而 导致 )()()()()()(BPAPBPBPAPAP)()(BPAP再由 ，有 9/1)(BAP2)(1 ()(1)(1 ()()(9/1APBPAPBPAP所以 。最后得到 3/1)(1AP. 3/2)()(APBP12甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为 1/3，1/

21、2，2/3，求目标被命中的概率。解 记 命中目标，甲命中，乙命中，丙命中，则 ，因而B1A2A3A31iiAB. 98 91131 21 321)()()(11)(32131 APAPAPAPBPii/ 13设六个相同的元件，如下图所示那样安置在线路中，设每个元件不通达的概率为，求p这个装置通达的概率。假定各个元件通达与否是相互独立的。解 记 通达，A元件 通达，iAi6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1i则 ， 所以654321AAAAAAA)()()()(654321AAPAAPAAPAP)()()()(654321652165434321AAAAAAPAAAAPAAAAPAAAAP

22、642)1 ()1 (3)1 (3ppp14假设一部机器在一天内发生故障的概率为 0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周五个工作日里每天是否发生故障相互独立，试求一周五个工作日里发生 3 次故障的概率。解 .0512. 0)8 . 0()2 . 0(3523 p15灯泡耐用时间在 1000 小时以上的概率为 0.2，求三个灯泡在使用 1000 小时以后最多只有一个坏了的概率。解 .104. 0096. 0008. 0)2 . 0(8 . 023)2 . 0(3323 p16设在三次独立试验中，事件出现的概率相等，若已知至少出现一次的概率等于AA19/27，求事件在每次试验中出现的概率.A)

23、(AP解 记在第 次试验中出现， iAAi. 3 , 2 , 1i)(APp 依假设 3 32131)1 (1)(12719pAAAPAPii 所以， ， 此即 .278)1 (3 p3/1p17加工一零件共需经过 3 道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为 2%、3%、5%. 假设各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。解 注意到，加工零件为次品，当且仅当 1-3 道工序中至少有一道出现次品。记 第 道iAi工序为次品， 则次品率 . 3 , 2 , 1i097. 090307. 0195. 097. 098. 01)()()(132131 APAPAPAPpii18三个人独立破

24、译一密码，他们能独立译出的概率分别为 0.25，0.35，0.4. 求此密码被译出的概率。解 记 译出密码， 第 人译出， 则AiAi. 3 , 2 , 1i7075. 02925. 016 . 065. 075. 01)()()(1)(32131 APAPAPAPAPii19将一枚均匀硬币连续独立抛掷 10 次，恰有 5 次出现正面的概率是多少？有 4 次至 6 次出现正面的概率是多少？图 3.1123456/解 (1) ；25663 21 51010 (2) .10642110 kk20某宾馆大楼有 4 部电梯，通过调查，知道在某时刻，各电梯正在运行的概率均为T0.75，求：(1) 在此时

25、刻至少有 1 台电梯在运行的概率；(2) 在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率；(3) 在此时刻所有电梯都在运行的概率。解 (1) 256255)25. 0(1)75. 01 (144(2) 12827 41 436)25. 0()75. 0(2422 22 (3) 25681 43)75. 0(4 4 习题四解答1. 下列给出的数列，哪些是随机变量的分布律，并说明理由。（1）；5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0,15iipi（2）；3 , 2 , 1 , 0,652 iipi（3）；5 , 4 , 3 , 2,41ipi（4）。5 , 4 , 3 , 2 , 1,251iipi解 要说

26、明题中给出的数列，是否是随机变量的分布律，只要验证是否满足下列二个条件：ip其一条件为，其二条件为。, 2 , 1, 0ipi1 iip依据上面的说明可得（1）中的数列为随机变量的分布律；（2）中的数列不是随机变量的分布律，因为；（3）中的数列为随机变量的分布律；（4）中的数列不是随机变量064 6953p的分布律，这是因为。 5112520iip2. 试确定常数 ，使成为某个随机变量 X 的分布律，并求：c4 , 3 , 2 , 1 , 0,2iciXPi；。2XP 25 21XP解 要使成为某个随机变量的分布律，必须有，由此解得；ic 21240 iic 3116c/ （2） 2102XP

27、XPXPXP3128 41 2113116 （3）。2125 21 XPXPXP3112 41 21 3116 3. 一口袋中有 6 个球，在这 6 个球上分别标有-3，-3，1，1，1，2 这样的数字。从这袋中任取一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字 X 的分布律与分布函数。解 X 可能取的值为-3，1，2，且，即 X 的分布律为612,211,313XPXPXPX-312概率31 21 61X 的分布函数0 3x= xXPxF3113x6521 x1 2x4. 一袋中有 5 个乒乓球，编号分别为 1，2，3，4，5，从中随机地取 3 个，以 X 表示取出的3 个球中最大

28、号码，写出 X 的分布律和分布函数。解 依题意 X 可能取到的值为 3，4，5，事件表示随机取出的 3 个球的最大号码为3X3，则另两个球的只能为 1 号，2 号，即；事件表示随机取出的 3 个球的1013513 XP4X最大号码为 4，因此另外 2 个球可在 1、2、3 号球中任选，此时；同理可得103352314 XP。106352415 XPX 的分布律为X345概率101 103 106X 的分布函数为0 3x xF10143 x/10454 x1 5x5. 在相同条件下独立地进行 5 次射击，每次射击时击中目标的概率为 0.6，求击中目标的次数X 的分布律。解 依题意 X 服从参数的

29、二项分布，因此，其分布律6 . 0, 5pn，5 , 1 , 0,4 . 06 . 055 kkkXPkk具体计算后可得X012345概率312532 62548 625144 625216 625162 31252436. 从一批含有 10 件正品及 3 件次品的产品中一件一件的抽取。设每次抽取时，各件产品被抽到的可能性相等。在下列三种情形下，分别求出直到取得正品为止所需次数 X 的分布律。（1） 每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品；（2） 每次取出的产品都不放回这批产品中；（3） 每次取出一件产品后总是放回一件正品。解 （1）设事件表示第 次抽到的产品为正品，依题意，相互独立，

30、, 2 , 1, iAii,1nAA且而 , 2 , 1,1310iAPi , 2 , 1,1310 13311111 kAPAPAPAAAPkXPkkkkk即 X 服从参数的几何分布。1310p（2）由于每次取出的产品不再放回，因此，X 可能取到的值为 1，2，3，4，.2861 10111213101234,1435 11121310233,265 12131032,13101XPXPXPXPX 的分布律为X1234概率1310 265 1435 2861（3）X 可能取到的值为 1，2，3，4，.21976 1313131234,219772 13131312233,16933 1313

31、1132,13101XPXPXPXP所求 X 的分布律为X1234/概率1310 16933 219772 21976由于三种抽样方式不同，导致 X 的分布律也不一样，请仔细体会它们的不同处。7. 设随机变量，已知，求与的值。pBX, 651XPXPp2XP解 由于，因此。pBX, 66 , 1 , 0,1666 kppkXPkk由此可算得 ,165,16155ppXPppXP即 解得；,161655pppp21p此时，。6415 21 ! 256 21 21 2626262 XP8. 掷一枚均匀的硬币 4 次，设随机变量 X 表示出现国徽的次数，求 X 的分布函数。解 一枚均匀硬币在每次抛掷

32、中出现国徽的概率为，因此 X 服从的二项分布，即21 21, 4pn4 , 3 , 2 , 1 , 0,21 2144 kkkXPkk由此可得 X 的分布函数0， 0x， 16110 x， xF16521 x， 161132 x， 161543 x1， 4x9. 某商店出售某种物品，根据以往的经验，每月销售量 X 服从参数的泊松分布，问在月4初进货时，要进多少才能以 99%的概率充分满足顾客的需要？解 设至少要进 件物品，由题意 应满足nn ,99. 0,99. 01nXPnXP即 99. 0!41104nkk eknXP99. 0!404 nkk eknXP查泊松分布表可求得 。9n10.

33、有一汽车站有大量汽车通过，每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为 0.0001，在某天该段时间内有 1000 辆汽车通过，求事故次数不少于 2 的概率。解 设 X 为 1000 辆汽车中出事故的次数，依题意，X 服从的二项分布，即0001. 0,1000pn，由于 较大，较小，因此也可以近似地认为 X 服从0001. 0 ,1000 BXnp的泊松分布，即，所求概率为1 . 00001. 01000 np 1 . 0 PX/ .004679. 0090484. 0904837. 01! 11 . 0! 01 . 0110121 . 0 1 1 . 0 0eeXPXPXP11. 某试验的成功概率为

34、 0.75，失败概率为 0.25，若以 X 表示试验者获得首次成功所进行的试验次数，写出 X 的分布律。解 设事件表示第 次试验成功，则，且相互独立。随机变量 X 取iAi 75. 0iAP,1nAA意味着前次试验未成功，但第次试验成功，因此有k1kk 75. 025. 01 1111 k kkkkAPAPAPAAAPkXP所求的分布律为X12k概率0.7575. 025. 075. 025. 01k12. 设随机变量 X 的密度函数为， xfx2Ax 00， 其他，试求：（1）常数；（2）X 的分布函数。A解 （1）成为某个随机变量的密度函数必须满足二个条件，其一为；其二为 xf 0xf，因

35、此有，解得，其中舍去，即取。 1dxxfAxdx0121A1A1A（2）分布函数 xdxxfxXPxF= xxxdxxdxdxxdxdxdx1010000202001100xxx= 102x 1100xxx13. 设随机变量 X 的密度函数为，求：（1）系数；（2）； xAexfx,A10 XP（3）X 的分布函数。解 （1）系数必须满足，由于为偶函数，所以A1dxAexxe12200dxAedxAedxAexxx解得；21A（2）；11010121 21 2110edxedxeXPxx（3） xdxxfxF/= xxxxxdxedxedxe00 21 212100xx= xxxxxdxedx

36、edxe0021 212100xx= xxee121 212100xx= xxee2112100xx14. 证明：函数（ 为正的常数） xf022cx ecx00xx c为某个随机变量 X 的密度函数。证 由于，且， 0xf 12 022022222 cx cx cx ecxdedxecxdxxf因此满足密度函数的二个条件，由此可得为某个随机变量的密度函数。 xf xf15. 求出与密度函数 xf 025. 05 . 0xe2200xxx对应的分布函数的表达式。 xF解 当时，0x xxxxedxedxxfxF5 . 05 . 0当时，20 x 0025. 05 . 025. 05 . 0xd

37、xdxedxxfxF xxx当时，2x 15 . 05 . 0025. 05 . 0 0220xxdxdxdxexF综合有 xF, 1,25. 05 . 0,5 . 0xex. 2; 20; 0xxx16. 设随机变量 X 在上服从均匀分布，求方程有实根的概率。 6 , 1012 Xtt解 X 的密度函数为； xf,5161 x其他., 0/ 方程有实根的充分必要条件为，即，因此所求得概率为012 Xtt042X42X。622 54 51022224dxXPXPXXPXP或17. 设某药品的有效期 X 以天计，其概率密度为; xf, 100200003x0x0， 其他.求：(1) X 的分布函

38、数；(2) 至少有 200 天有效期的概率。解 (1) = xdxxfxF ,10020000, 003dxxx. 0; 0xx= ,100100001, 02x. 0; 0xx(2) 。911002001000011200120012002 FXPXP18. 设随机变量 X 的分布函数为 xF,11, 0xex00 xx求 X 的密度函数，并计算和。1XP2XP解 由分布函数与密度函数的关系，可得在的一切连续点处有，因此 xF xf xf xFxf xf, 0,xxe 其他0x所求概率；112111111eeFXP。 223211121212eeFXPXP19. 设随机变量 X 的分布函数为

39、，求(1) 常数；(2)； xxBAxF,arctanBA,1XP(3) 随机变量 X 的密度函数。解：(1)要使成为随机变量 X 的分布函数，必须满足，即 xF 1lim, 0lim xFxF xx 1arctanlim0arctanlim xBAxBAxx计算后得 1202BABA解得 121BA另外，可验证当时，也满足分布函数其余的几条性质。1,21BA xxFarctan1 21 / （2） 11111FFXPXP 1arctan1 211arctan1 21 241 41 （3）X 的密度函数。 xxxFxf,11220. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（单位：min）服从的指数

40、分布，其密度函51数为 ，某顾客在窗口等待服务，若超过 10min，他就离开。 xf0,515x e其他0x（1）设某顾客某天去银行，求他未等到服务就离开的概率；（2）设某顾客一个月要去银行五次，求他五次中至多有一次未等到服务的概率。解 （1）设随机变量 X 表示某顾客在银行的窗口等待服务的时间，依题意 X 服从的指数分布，51且顾客等待时间超过 10min 就离开，因此，顾客未等到服务就离开的概率为；1025 5110edxeXPx（2）设 Y 表示某顾客五次去银行未等到服务的次数，则 Y 服从的二项分布，所求2, 5epn概率为 4224225202141115105101 eeeeeeYPYPYP21. 设 X 服从，借助于标准正态分布的分布函数表计算：（1）；（2） 1 , 02 . 2XP；（3）；（4）；（5）。176XP78. 0