概率论一二章习题详解.doc

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1、/习题一习题一（A）1. 用三个事件的运算表示下列事件：, ,A B C（1）中至少有一个发生；, ,A B C（2）中只有发生；, ,A B CA（3）中恰好有两个发生；, ,A B C（4）中至少有两个发生；, ,A B C（5）中至少有一个不发生；, ,A B C（6）中不多于一个发生., ,A B C解：（1） （2） (3) ABCABCABCABCCAB(4) (5) (6) ABBCCAABCABBCCA2. 在区间上任取一数， 记 0,2x1 |1,2Axx，求下列事件的表达式：13 |42Bxx（1）； AB （2）；AB(3) .AB解：（1） |1 41 213 2xxx

2、或（2）（3） |01 41 21xxx或3. 已知，求.( )0.4, ()0.2, ()0.1P AP BAP CAB()P ABC解：, 0.2( )()P AP AB0.1()()( )()( )()()()P CABP CABP CP CACBP CP CAP CBP ABC()( )( )( )()()()()P ABCP AP BP CP ABP BCP CAP ABC/0.40.20.10.74. 已知，求与( )0.4, ( )0.25, ()0.25P AP BP AB()P BA.()P AB解：, ,()( )()0.25P ABP AP AB()0.15P AB ,(

3、)( )()0.250.150.1P BAP BP AB()()1( )( )()P ABP ABP AP BP AB 1 0.40.250.150.5 5.将 13 个分别写有的卡片随意地排成一行，求恰, , , , , ,A A A C E H I I M M N T T好排单词“”的概率.MATHEMATICIAN解：2 3 2 2 248 13!13!p 6. 从一批由 45 件正品、5 件次品组成的产品中任取 3 件产品，求其中恰好有 1 件次品 的概率.解：12 545 3 5099 392C CpC7. 某学生研究小组共有 12 名同学，求这 12 名同学的生日都集中在第二季度（

4、即 4 月、 5 月和 6 月）的概率.解： :12123 12p 8. 在 100 件产品中有 5 件是次品，每次从中随机地抽取 1 件，取后不放回，求第三次 才取到次品的概率.解：设表示第 次取到次品，iAi1,2,3i 12395 94 5()0.046100 99 98P A A A9. 两人相约 7 点到 8 点在校门口见面，试求一人要等另一人半小时以上的概率.解：11121222 14p 10. 两艘轮船在码头的同一泊位停船卸货，且每艘船卸货都需要 6 小时.假设它们在一 昼夜的时间段中随机地到达，求两轮船中至少有一轮船在停靠时必须等待的概率.解：22246371 ()1 ( )2

5、4416p 11. 任取两个不大于 的正数，求它们的积不大于，且它们和不大于 1 的概率.12 9/解： ， ，所以 ，2 9xy 1xy1 3x 2 3x 2 3 1 31212ln23939pdxx12. 设 证明：.( ), ( ),P Aa P Bb1(|)abP A Bb证明： ()( )( )()()( )( )P ABP AP BP ABP A BP BP B( )( ) 11 ( )P AP Bab P Bb13. 有朋自远方来，他坐火车、坐船、坐汽车和坐汽车的概率分别为 .若0.3, 0.2, 0.1,0.4坐火车来，迟到的概率是；若坐船来，迟到的概率是；若坐汽车来，迟到的概

6、率0.250.3 是；若坐飞机来，则不会迟到.求他迟到的概率.0.1 解：0.3 0.250.2 0.30.1 0.10.145 14. 设 10 个考题签中有 4 个难答，3 人参加抽签，甲先抽，乙次之，丙最后.求下列事 件的概率：（1）甲抽到难签；（2）甲未抽到难签而乙抽到难签；（3）甲、乙、丙均抽到难签.解；（1）42 105p （2）6 44 10 915p （3） 4 3 21 10 9 830p 15. 发报台分别以概率 0.6 和 0.4 发出信号“”和“” .由于通信系统受到干扰， 当发出信号“”时，收报台未必收到信号“” ，而是分别以概率 0.8 和 0.2 收到信号 “”和

7、“” ；同样，当发出信号“”时，收报台分别以 0.9 和 0.1 收到信号“”和 “”.求： （1）收报台收到信号“”的概率； （2）当收到信号“”时，发报台确实是发出信号“”的概率.解：（1）0.6 0.80.4 0.10.52（2）0.4812 0.521316. 设相互独立，求.,A B()0.6, ( )0.4P ABP B( )P A解：()0.6( )( )()0.4( )()P ABP AP BP ABP AP AB, 0.2( )0.4 ( )P AP A1( )3P A /17. 两两独立的三事件满足并且, ,A B C,ABC .1( )( )( )2P AP BP C若，

8、求.9()16P ABC ( )P A解： ,293 ( )3( )16P APA216( ) 16 ( )30PAP A21( )(, ( )34P AP A舍）18、证明：（1）若，则.(|)( )P A BP A(|)( )P B AP B（2）若，则事件与相互独立.(|)(|)P A BP A BAB证明：（1） ,()( )( )P ABP AP B()( ) ( )P ABP A P B()( ) ( )()( )( )( )P ABP A P BP B AP BP AP A(2) , ()()P A BP A B()() ( )1( )P ABP AB P BP B()( ) (

9、 )P ABP A P B19. 甲、乙、丙三人独立地向一架飞机射击.设甲、乙、丙的命中率分别为 0.4，0.5，0.7. 又飞机中 1 弹，2 弹，3 弹而坠毁的概率分别为 0.2，0.6，1. 若三人各向飞 机射击一次，求： （1）飞机坠毁的概率； （2）已知飞机坠毁，求飞机被击中 2 弹的概率.解：（1）0.2(0.4 0.5 0.30.6 0.5 0.30.6 0.5 0.7) 0.6(0.4 0.5 0.30.4 0.5 0.70.6 0.5 0.7)0.4 0.5 0.7 0.2 0.360.6 0.41 0.14 0.458 （2） 0.6 0.410.540.45820. 三人

10、独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为 0.25，0.35，0.4.求此密码能 被译出的概率.解： 0.25 0.35 0.40.25 0.65 0.60.75 0.35 0.6 0.75 0.65 0.40.25 0.35 0.60.25 0.65 0.4 0.75 0.35 0.4 /0.0350.09750.15750.1950.05250.0650.105 0.7075 21. 在试验中，事件发生的概率为，将试验独立重复进行三次，若EA( )P ApE在三次试验中“至少出现一次的概率为” ，求.A19 27p解：，0033 3191(1)1 (1)27C ppp 1 3p 22.

11、已知某种灯泡的耐用时间在 1000 小时以上的概率为 0.2，求三个该型号的灯泡在 使用 1000 小时以后至多有一个坏掉的概率.解：312 30.20.8 0.20.083 0.8 0.040.104C 23. 设有两箱同种零件，在第一箱内装 50 件，其中有 10 件是一等品；在第二箱内装 有 30 件，其中有 18 件是一等品.现从两箱中任取一箱，然后从该箱中不放回地取两次零件， 每次 1 个，求： （1）第一次取出的零件是一等品的概率； （2）已知第一次取出的零件是一等品， ，第二次取出的零件也是一等品的概率.解： （1） 10 118 10.450 230 2(2) 5 1 10 9

12、1 18 175 1 91 172 2 50 492 30 294 5 495 2919512612499()0.48564 49295684（B） 1.箱中有个白球和个黑球，从中不放回地接连取次球，每次1(1)kk 1 个.求最后取出的是白球的概率.解：(1)(2)() ()(1)()k k 2. 一栋大楼共有 11 层，电梯等可能地停在 2 层至 11 层楼的每一层，电梯在一楼开始 运行时有 6 位乘客，并且乘客在 2 层至 11 层楼的每一层离开电梯的可能性相等，求下列事 件的概率：（1）某一层有两位乘客离开；（2）没有两位及以上的乘客在同一层离开；（3）至少有两位乘客在同一层离开.解：

13、（1）4 2242 666199() ()101010CC（2） 6 10 10!P/(3) 6 10110!P3.将线段任意折成 3 折，求此 3 折线段能构成三角形的概率.(0, )a解：，( , ) 0,0,0x yxayaxya ，( , ) 0,0,22 2aa aAx yxyxya21 12 2 2 14 2a ap a4. 设平面区域由四点围成的正方形，现向内随机投 10 个D(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)D点，求这 10 个点中至少有 2 个落在由曲线和直线所围成的区域的概率.2yxyx1D解： ，1 201()6pxx dx001019 101015151(

14、) ( )( )( )6666CC9 109 10510 55151 ( )( )16666 2929687510.5260466176 5. 设有来自三个地区的 10 名、15 名、25 名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3 份、7 份、5 份. 随机地取一个地区的报名表，从中先后抽取两份. （1）求先抽到的一份是女生表的概率； （2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的是女生表的概率.解：（ 1） 1 31 71 529 3103153 2590（2） 1 3 71 7 81 5 2020 20310 9315143 25 2430 29616119030 6. (Banach 问题

15、)某数学家有两盒火柴，每盒装有根，每次使用时，他在任一盒中取N 一根，问他发现一空盒，而另一盒还有根火柴的概率是多少.k解：22 2211112( ) (1)( )2222N kNNN k NN N kN kpCC /习题二习题二（ A ）1同时抛掷 3 枚硬币，以表示出现正面的枚数，求的分布律。XX解：,108P X 318P X 328P X 138P X 2. 一口袋中有 6 个球，依次标有数字，从口袋中任取一球，设随机变1,2,2,2,3,3量为取到的球上标有的数字，求的分布律以及分布函数.XX解：116P X 326P X 236P X 0,11, 126( )4,236 1,3xx

16、 F x xx 3.已知随机变量的分布函数为X，21,0( ),024 1,2xxF xxx 求概率12PX解： 1312(2)(1)144PXFF 4.设随机变量的分布函数为 求：X0,0; ( )sin ,02; 1,2.x F xAxx x （1）的值；A（2）求.|6PX解：由于在点处右连续，所以,即( )F x2x()(0)22FF/，sin12A。1A ()()666666P XPXFFP X1100225. 设离散型随机变量的分布律为X(1)(2 3) ,11,2,3;iP Xia(2)(2 3) ,1,2,iP Xiai分别求出上述各式中的.a解：（1），24813927aaa

17、27 38a (2) ，232 22231( )( )2233313aaa 1 2a 6.已知连续型随机变量的分布函数为X，0,0; ( ),0 1,.x F xkxbx x 求常数和。kb解：，。0b1kb1k7.已知连续型随机变量的概率密度为X，2( )()1kf xxx 求常数和概率.k 11PX 解： ，2112kdxkx2k121111 1112PXdxx 8.已知连续型随机变量的概率密度为X，,01 ( )2,12 0,xx f xxx 其他求的分布函数。X/解： 220,0,012( )( )21,122 1,2xxxx F xf t dtxxxx 9.连续不断地掷一枚均匀的硬币

18、，问至少掷多少次才能使正面至少出现一次的概率不 少于 0.99.解：，11 ( )0.992n1( )0.012n1lg( )lg0.012nlg0.0171lg2n 10 .设每分钟通过某交叉路口的汽车流量服从泊松分布，且已知在一分钟内无车辆X 通过与恰有一辆车通过的概率相同，求在一分钟内至少有两辆车通过的概率.解：, ，。01P XP Xee1121011 20.2642P XP XP Xe 11.设每次射击命中目标的概率为 0.001，共射击 5000 次，若表示命中目标的次数。X（1）求随机变量的分布律；X （2）计算至少有两次命中目标的概率.解：（1）5000 5000(0.001)

19、 (0.999)kkkP XkC（2）,2101P XP XP X 5np21011 0.00670.0330.9596P XP XP X 12.设随机变量的密度函数为.X| |( ),xf xAex （1）求常数；A （2）求的分布函数。X（3）求.01PX解：（1），001( )()2xxf x dxAe dxe dxA1 2A （2） 00,022( )( )1,0222txxxttxxeedtx F xf t dteeedtdtx /（3）101101222xePXdxe 13.证明：函数（为正常数）是某个随机变量的密度22,0;( )0,0.x cxexf xc x cX函数.证明：

20、由于在内，且(,) ( )0f x ，2222 00( )11xx ccxf x dxedxeec 所以，是某随机变量的概率密度。( )f x14.设随机变量的概率密度为，求：X3200000100 0,x( x)f( x) , 其他（1）的分布函数；X（2）求.200P X 解：（1） ,20,0 ( )( )100001,0(100)xx F xf t dtxx（2）.12001(200)9P XF 15.某种显像管的寿命（单位：千小时）的概率密度为 ，X3,0,( )0,0.xkexf xx（1）求常数的值；k （2）求寿命小于 1 千小时的概率.解：（1）301( ),33xkf x

21、dxkedxk（2）。1330131xp xedxe 16.设，(0,1)XN:（1）求，.1.96, 1.96P XP X | 1.96PX 12PX （2）已知，,，求常0.7019P Xa|0.9242PXb0.2981P Xc/数., ,a b c解： （1）1.96(1.96)0.975P X 1.961(1.96)0.025P X | 1.96(1.96)( 1.96)0.9750.0250.95PX 12(2)( 1)0.9772 1 0.84130.8185PX （2）查表知，0.53a 0.53c |( )()2 ( ) 10.9242PXbbbb 1.9242( )0.96

22、21,2b1.78b 17.设，求：2(8,0.5 )XN:（1）；7.510PX（2）；|8| 1PX （3）.|9| 0.5PX 解： （1）1087.587.510()()0.84130.50.5PX （2）11|8| 1()()0.95440.50.5PX （3）|9| 0.5(3)(1)0.1574PX 18. 设随机变量服从参数为的泊松分布，记随机变量，求随X10,1,1,1.XYX机变量的分布律.Y解：00012 0.36790.7358P YP XP XP X.1101 0.73580.2642P YP Y 19. 设随机变量的概率密度为X， 2 ,01( )0,xxf x 其

23、他对独立重复观察三次，求至少有两次观察值不大于的概率.X0.5解：用表示观察值不大于的次数，则，Y0.50.25p (3,0.25)YB/223P YP YP Y233 (0.25)0.75(0.25)0.1563 20. 已知电源电压服服从正态分布 ,在电源电压处于,X2(220,25 )N200XV, 三种情况下，某电子元件损坏的概率分别为200240VXV240XV。0.1,0.01,0.2（1）求该电子元件损坏的概率；（2）已知该电子元件损坏，求电压在的概率200 240VV解：200( 0.8)0.2119P X 200240(0.8)( 0.8)0.5762PX 2401(0.8)

24、0.2119P X (1) 0.1 0.21190.01 0.57620.2 0.21190.0693(2) 0.01 0.57620.0830.069321. 假设自动生产线加工的某种零件的内径服从正态分布，内径小于 10 或大(11,1)N于 12 为不合格品，其余为合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品则亏损，若 销售利润与销售零件的内径有下列关系 YX1,10, 20,1012, 5,12.X YX X 求的分布律.Y解：110( 1)0.1587P YP X 201012(1)( 1)0.6826P YPX 5121(1)0.1587P YP X 22. 已知随机变量的分布律为

25、X，321012340.050.100.250.150.050.200.150.05 求的分布律。2YX解：00.15P Y 10.3P Y /40.3P Y 90.2P Y 160.05P Y 23. 设随机变量服从上的均匀分布，求的概率密度.X,2 2 sinYX解： 1,( )22 0,Xxfx 其他( )= sinsin YF yP YyPXyP Xy， 20,11, 11 11,1yx yx 21, 11 ( )10,Yx fyy 其他24. 设随机变量服从参数为的指数分布，令，求随机变量的密X221XYe Y度函数.解：，22,0( )0,0xXexfxx。( )= 2X YF y

26、P YyP 1ey由于，所以当时，；当时，；2011Xe 0y ( )=0YF y1y ( )=1YF y当时，01y21( )= 1ln(1)2X YF yP YyPeyP Xy ，1ln(1)22 02yxedx于是1,01( )( )0,YYyfyFy 其他/25. 设随机变量，求随机变量的密度函数.2( ,)XN :XYe解： ，22()21( )2xXfxe ( )= X YF yP YyP ey当时，；当时，0y ( )=0YF y0y ，ln( )= ln ( )yX YXF yP eyP Xyfx dx 于是，22(ln)21,0( )( )2 0,yYYeyfyFyy 其他（

27、 B ）1. 某种电子元件的寿命（单位：小时）的概率密度为X，20001,0( )2000 0,0x exf x x （1）求该电子元件能正常使用小时以上的概率；1000 （2）已知该电子元件已经使用了小时，求它还能只用小时的概率。10001000解：（1）；1 2 10001000( )P Xf x dxe（2） 。1 22000200010001000P XP XXeP X2. 设连续型随机变量的密度函数是偶函数，证明：X( )f x（1）和有相同的分布；XX（2）. 01()( )2aFaP Xaf x dx 证明：（1）令，则的分布函数YX Y( )1YFyP YyP XyP Xy ，

28、1( )yXfx dx 从而的概率密度为Y/，( )( )()( )yYXXXfyfx dxfyfy 所以与具有相同的概率密度。YX（2） ，令，则()( )aXFaP Xafx dx xt ()( )()aaXXFaP Xafx dxft dt ( )1( )( )aaXXXaaft dtft dtft dt 01( )2( )aaXXft dtft dt ， 01()2( )aXFafx dx 所以。 01()( )2aFaf x dx3.设随机变量的概率密度为X， ，21( )(1)f xxx 求（1）随机变量的概率密度。2YX （2）随机变量的概率密度。tanZarcX解： （1） 2

29、( )YFyP YyP Xy当时， ，0y ( )0YFy 当时，0y ，进而2( )( )yYXyFyP YyP XyPyXyfx dx 11( )( )()()22YYXXfyFyfyfyyy。()1(1)Xfyyyy综上所述，；1,0(1)( )0,0Yyyyfyy （2）当时，2z/，( )arctantan ( )ZXFzP ZzPXzP XzFz于是的概率密度为Z；2 2 2sec1( )(tan )sec(1tan)ZXzfzfzzz当时，；2z ( )arctan0ZFzP ZzPXz当时，2z( )arctan1ZFzP ZzPXz于是。1,( )2 0,Zyfz 其他4. 设一大型设备在任何长度为 的时间间隔内发生故障的次数服从参数为（t( )N tt为常数）的泊松分布。0 (1) 求相继两次故障之间的时间间隔的概率密度；T （2）求在设备已经无故障工作 8 小时的情形下再无故障工作 8 小时的概率。解： ，。()( )!k ttP N tkek0,1,2,k （1）的分布函数为，当时，；当时，T( )TF tP Tt0t ( )0TF t 0t ，( )11( )01t TF tP TtP TtP N te 于是的概率密度为T。,0( )0,0tTetftt（2）。16 8 816116168818P TP TeP TTeP TP Te