定积分知识学习专业资料.doc

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1、/第五章第五章 定积分定积分一、内容精要一、内容精要（一）（一） 基本概念基本概念定积分的概念是由求曲边梯形面积，变力作功，已知变速直线运动的速度求路程，密度不均质线段的质量所产生。定义 3.3 设函数 f(x)在闭区间上有定义，在闭区间a,b内任意插入 n-1 个分点将分成n 个小区间，记，作乘积（称为积分元），把这些乘积相加得到和式（称为积分和式）设，若极限存在唯一且该极限值与区是a,b的分法及分点的取法无关，则称这个唯一的极限值为函数 f(x)在上的定积分，记作，即.否则称 f(x)在上不可积.注 1 由牛顿莱布尼兹公式知，计算定积分与原函数有关，故这里借助了不定积分的符号。注 2 若存

2、在，区间进行特殊分割，分点进行特殊的取法得到的和式极限存在且与定积分的值相等，但反之不成立，这种思想在考题中经常出现，请读者要真正理解。注 3 定积分是否存在或者值是多少只与被积函数式和积分区间有关与积分变量用什么字母表示无关，即定积分的几何意义: 若 f(x)在上可积，且则表示曲线与直线所围成的曲边梯形的面积./同样，变力所作的功（其中 f(x)是变力）变速直线运动的路程（是瞬时速度），密度不均质直线段的质量（其中是线密度）。规定 广义积分广义积分定义 3.4 设函数在区间上连续，称记号 （1）为函数在无穷区间上的广义积分（或第一类广义积分）若（1）式右端极限存在，称广义积分收敛，该极限值称

3、为广义积分的值，否则称广义积分发散。由在连续必有原函数，设的原函数为。于是从而广义积分可以按照正常定积分计算方式来计算，即若（存在）=A，则收敛，且若不存在，则发散。同理可得 若存在，则广义积分收敛，否则发散。若，都存在，则收敛，否则发散。定义 3.5 设在区间上连续，不存在（称a点为瑕点），且，称记号与上面研究方式相同，可得/若存在，则广义积分收敛，否则发散。同理若在上连续，不存在（称b点为瑕点），有若在上连续，不存在（称c点为瑕点），定义当且仅当都收敛时，收敛，且值等于的值之和。注 若在上连续，（常数），则可看成正常积分，事实上，定义知在上连续，即存在，而，由于在上连续，知变下限函数在上连

4、续，有，即故可看成正常积分。若广义积分收敛，也有线性运算法则，不等式性质，也有凑微分，变量替换，分部积分公式，换句话说可以像正常的定积分一样运算。第一p广义积分（a0，常数）.当时，当时， 知时收敛，时发散第二p广义积分.令，有/由第一p广义积分知，当，即时收敛，当，即时发散。（二）重要定理与公式（二）重要定理与公式定理 3.2 若函数 f(x)在闭区间上可积，则 f(x)在上有界，反之不成立。例 .事实上，因为不论把0，1分割得多么细，在每个小区间中，总能找到有理数，无理数，知 知不存在。定理 3.3 若 f(x)在闭区间上连续，则 f(x)在上可积，反之不成立.定理 3.4 若 f(x)在

5、闭区间上只有有限个间断点且有界，则 f(x)在上可积，反之不成立.定理 3.5 若 f(x)在闭区间上单调，则 f(x)在上可积，反之不成立.定积分的性质性质 1 性质 2 （线性运算法则）设在上可积，对任何常数则.该性质用于定积分的计算与定积分的证明.性质 3 （区间的可加性），若 f(x)在以 a,b,c 为端点构成的最大区间上可积，则不论 a,b,c 顺序如何，有该性质用于计算分段函数的定积分与定积分的证明.性质 4 若 f(x)在上可积且则./性质 5 若 f(x),g(x)在上可积且则性质 6 若 f(x)在上连续，且 f(x) 0 则性质 7 若 f(x),g(x)在上连续且但,则

6、.性质 8 若 f(x)在上可积，则.性质 9 若 f(x)在上可积，在区间上，mf(x)M，m，M 是常数，则性质 4、5、6、7、8、9 主要用于定积分不等式的证明及不通过定积分的计算，估计定积分值的范围.性质 10 （积分中值定理）若 f(x)在闭区间上连续，则至少存在一点，使而称为 f(x)在区间上的平均值，即闭区间a,b上连续函数 f(x)的平均值是 注：这里的与是不同的。性质 131 变上限积分求导定理 设 f(x)连续，可导，则1定积分计算的方法（1）牛顿一莱布尼兹公式 若 f(x)在上连续,则 .（2）凑微分 /（3）变量替换 （4）分部积分 设在上导数连续，则具体的用法是如果

7、能够计算出就可以计算出定积分的凑微分、变量替换、分部积分与不定积分中三种方法适合的被积函数相同，即不定积分用三种的哪一种方法，定积分也用三种方法的哪一种。（5）设 f(x)在上连续，则事实上， 而故得证推论证 由于且为偶函数， 为奇函数，于是（6）设 f(x)为周期函数且连续，周期为 T，则.事实上/由于于是（7）设 f(x)在0,1上连续，则事实上移项两边同除以 2 得.微元法微元法根据所给条件，画图，适当建立坐标系，在图中把所需曲线的方程表示出来，确定要求量 Q 所分布的区间且区间上的总量 Q 具有等于各小区间上部分量之和的特点.（1）取近似求微元.选取区间。写出部分量的近似值即要求是的线

8、性主部即计算的过程中，可以略的高阶无穷小。这一步是关键、本质的一步，所以称为微元分析法或简称微元法.（2）得微分. （3）计算积分. 注：第一步一定要把表示成 x 的函数与的乘积形式.由，于是又可写成下面的步骤：（1）选取求的线性主部，,（2）二、考题类型、解题策略及典型例题二、考题类型、解题策略及典型例题类型 1.1 涉及到定积分的方程根的存在性/解题策略利用积分中值理，定积分的 13 条性质，尤其是变上限积分求导定理及微分中值定理，证明方法与技巧与第三章我们介绍的证明思想完全类似。例 3.2.1 设函数 f(x)在0，1上连续，在（0，1）内可导，且证明在（0。1）内存在一点，使.分析 由

9、结论知对被积函数用罗尔定理.证由积分中值定理知，在上存在一点 c，使 且，由 f(x)在(0，c)上连续，在0，c内可导，f(0)=f(c)，由罗尔定理知至少存在一点使类型 1.2 涉及到定积分的适合某种条件的等式.解题策略利用积分中值理，定积分的 13 条性质，尤其是变上限积分求导定理及微分中值定理，证明方法与技巧与第三章我们介绍的证明思想完全类似。例 3.2.2 设在0,1上连续，在（0，1）内可导，且满足证明至少存在一点,使分析 由前面的例知原理相同，对被积函数用罗尔定理.证 由及积分中值定理，知至少存在一点，使得令由在c,1上连续，在（c,1）内可导。由罗尔定理知，至少存在一点，使得，

10、由得 即/类型 1.3 涉及到定积分的不等式.解题策略利用积分中值理，定积分的 13 条性质，尤其是变上限积分求导定理及微分中值定理，证明方法与技巧与第三章我们介绍的证明思想完全类似。例 3.2.3 设上连续且递减，证明当 01 时，。分析 利用积分中值定理与函数的单调性.证法一 其中 0上递减，知01，011，从而，即。分析 利用函数的单调性与积分不等式性质.证法二 ，由 01，知 递减，知得.从而 .分析 利用单调性定理与积分中值定理.证法三 要证原不等式成立，只要证成立，令，由 （1）成立，由内可导，且其中知上递减，又 01，有/即（1）式成立，由每一步可递，故原等式成立。类型 1.4

11、涉及到定积分的等式证明.解题策略 用变量代换较多或利用周期函数的性质.例 3.2.4 证明.证 类型 1.5 涉及到定积分变上下限函数的等式证明.解题策略 用分变上下限函数的求导，注意要化成标准形式.以下两题类似.例 3.2.5 设连续函数 f(x)满足 .分析 要化成变上下限函数的标准形式，然后等式两边对 x 求导解 令，有从而得到 ，令 x=1 有 例 3.2. 6 求连续函数 f(x)，使满足分析 通过变量代换把左边的积分化成变上限函数的标准形式，然后等式两边对 x 求导解 代入等式并化简有，等式两边同时对 x 求导有 ，得.于是 .分析 通过变量代换把左边的积分化成变上限函数的标准形式

12、，然后等式两边对 x 求导类型 1.6 涉及到 f(x)与其定积分的等式，求 f(x)/解题策略 令该积分为 k,求出 k，从而求出 f(x)例 3.2.7 设连续函数 f(x) 满足.解 设由于得.例 3.2.8 已知 f(x)满足方程分析如果令又有一个等式中就会有两个未知数，解不出来，因此把等式两边平方后再积分.解 设 得两边平方后再积分有整理得 ，解得，所以类型 1.7 上连续 f(x)定积分的计算.解题策略利用区间的对称性与被积函数的奇偶性例 3.2.9 计算.分析 利用区间的对称性与被积函数的奇偶性.解 原式（利用定积分几何意义）.类型 1.8 定积分的计算.解题策略利用定积分的线性

13、运算法则、凑微分、变量代换、分部积分/例 3.2.10 计算.解 原式。例 3.2.11 计算.解法一 原式.解法二 令则于是原式例 3.2.12 计算.分析 被积函数含有根式不能凑微分，用变量代换.解 设则于是原式类型 1.9 求平面图形的面积解题策略（i）曲线围成的曲边梯形面积是./事实上，由所求平面图形面积 S 分布在区间a,b上.（1）选取，.（2）.注：计算时，需去绝对值进行定积分计算.（ii）特别地围成的平面图形面积 S 为.（iii）同理 所围成的平面图形面积 S 为.（iv）特别地所围成的平面图形面积 S 为.如果所求平面图形是属于上述情形之一，就不需画图，直接用上述公式，否则

14、就需画图选用相应公式.求平面图形的步骤：（1）求出边界曲线交点，画出经过交点的边界曲线，得所求平面图形（若边界曲线简，可在画图的过程中求交点）。/2根据具体情形选择x或y作为自变量，选择上述相应的公式计算或把所求平面形分成几块，每一块可选用上述相应公式计算，然后大块面积等于小块面积之和。例 3.2.13 计算由抛物线及直线所围成的平面图形的面积。解 由即交点为（2，-2），（8，4）. 故所求的曲边形是由直线，曲线及直线所围成（图 3-3），其面积.注：本题如用公式（4.3）来计算，就需要将整个面积分成两部分S1 及S2，分别计算S1，S2，相加才得读者可以计算一下，这样做就复杂多了。例 3.

15、2.14 计算曲线及直线所围成的平面图形面积。解 曲边形如图 3-4 所示，故有注：曲线较简单时，可在画曲线的过程中求交点。/图 3-4 图 5-9类型 1.10 求立体的体积解题策略（a）设 为一空间立体，它夹在垂直于Ox轴的两平面x=a与x=b之间（ab），在区间a,b上任意一点x处，作垂直于Ox轴的平面，它截得立体 的截面面积，显然是x的函数，记为A（x）连续，则立体的体积V为证 所求的立体V分布在a,b上（1）取区间（2）（b）曲线（连续），Ox轴及直线x=a, x=b所围成的曲边梯形绕Ox轴旋转而成的旋转体的体积Vx为证 把旋转体看成夹在两平行平面x=a, x=b之间，那么在a,b上

16、任意一点x处作平行两底面的/平面与立体相截，截面积为因此同理，曲线，Oy轴及直线y=c, y=d所围成的曲边梯形绕Oy轴旋转而成的旋转体的体积Vy为例 3.2.15 求下列平面图形绕坐标轴旋转一周所得的体积（1）绕Ox轴 （2）绕Oy轴解 （1）（2）例 3.2.16 设一个底面半径为a的圆柱体，被一个与圆柱的底面相交为，且过底面直径AB的平面所截，求截下的楔形的体积。解 取坐标系如图，这时垂直x轴的截断面都是直角三角形，它的一个锐角为，这个锐解/的斜边长为，对边长为截面面积于是类型 1.12 求平面曲线的弧长解题策略若给定曲线弧的方程为，其中，在上连续，且，则曲线弧是可求长的。其弧长s可表示

17、为（1）若曲线方程由给出，这时代入（式 1），得曲线弧的长为（2）若曲线方程由给出，这时代入（式 1），得曲线弧的长为（3）若曲线方程由给出，把极坐变换化为参数方程由于于是弧长微分公式若选定点为度量弧长的起点。为弧上一点，设弧的长为s，显然弧长s是t的函数这里规定：当时，s取正值；当时，s取负值。则当t增加时s也增加，因此是严格增函数。/对积分上限求导，得从这里也可以看出是增函数，改写成微分形式，即得弧长的微分公式若曲线方程则若曲线方程则若曲线方程则由于所以它的几何意义是：当自变量x增加到时，相应的曲线段增量的切线长（图 3-23）例 3.2.17 计算曲线的弧长。解 所求曲线的弧长为类型 1.13 广义积分的计算解题策略 用牛顿莱布尼茨公式例 3.2.18 求./解 原式=例 3.2.19 计算分析 注意到被积分函数内有绝对值号且是其瑕点.解 原式=例 3.2.20 求.分析 把根式中二次三项配成两项平方差，然后用变量代换.解 原式=三、综合杂题三、综合杂题例 3.2.21 计算 .分析 利用定积分定义计算.解 原式由于知 b-a=1，设/由令得知在0，1上可积，而此和式是把0，1n 等分，取每个小区间的右端点得到的和式，故原式例 3.2.22 设 f(x)在0，1上连续，计算解 设于是得例 3.2.23 设解 原式解 原式