定积分应用知识学习资料.doc

《定积分应用知识学习资料.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《定积分应用知识学习资料.doc（7页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、,.第六章 定积分及其应用定积分是积分学中的另一个重要概念本章首先由曲边梯形的面积和变速直线运动的路程问题引出定积分的概念，然后讨论它的性质和计算方法最后介绍定积分在几何、物理、经济等方面的一些应用第一节 定积分的概念和性质一、定积分举例1 曲边梯形面积设在区间上非负、连续由直线、及曲线所围成的图形称为曲边梯形，其中曲线弧称为曲边，求这个曲边梯形的面积a=x0xn =bxx1x2xi-1xn-1xiyO12iny = f(x)图61如图61所示，若曲边梯形底边上的高在区间上的变动，可以看出它的变动是连续变化的，在很小一段区间上它的变化很小，近似于不变因此，如果把区间划分为许多小区间，在每个小区

2、间上用其中某一点处的高来近似代替同一个小区间上的小曲边梯形的变高，那么每一个小曲边梯形就可近似地看成一个小矩形，我们就以这些所有的小矩形面积之和作为曲边梯形面积的近似值，并且把区间无限细分下去，使每个小区间的长度都趋于零，这时所有小矩形面积之和的极限就是这个曲边梯形面积的精确值我们把计算步骤叙述于下：（1）分割 把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，在区间中任意插入若干个分点，把分成个小区间, , 它们的长度记为 ，经过每一个分点作平行于轴的直线段，把曲边梯形分成个小曲边梯形，它们的面积记为 （2）近似代替 在每个小区间上任取一点，用以为高，为底的小矩形的面积近似代替第个小曲边梯形的面积，即 （3

3、）求和 用这样得到的个小矩形面积之和近似代替所求整个曲边梯形的面积，即（4）取极限 设，当愈来愈小（同时小曲边梯形的个数愈来愈大）时，每个小矩形面积就越来越接近相应的小曲边梯形的面积，从而就越来越接近曲边梯形的面积当时，和式的极限就是所求的曲边梯形的面积即2 变速直线运动的路程设物体作变速直线运动，已知速度是时间间隔上的连续函数，且，求在这段时间内物体所经过的路积在我们的问题中，速度不是常量而是随时间变化的变量，因此所求路程不能直接按匀速直线运动的路程公式来计算然而物体运动的速度函数是连续变化的，在很短一段时间内，速度的变化很小，近似于匀速因此，如果把时间间隔细分，在小段时间内，以匀速运动代替

4、变速运动，那么就可算出各个部分路程的近似值，再求和，得到整个路程的近似值，最后通过对时间间隔无限细分，这时所有部分路程的近似值之和的极限，就是所求变速直线运动的路程的精确值其计算步骤如下：（1）分割 在内任意插入若干个分点，把分成个小的时间间隔， ， ，各个小时间间隔的长 ，相应各段的路程为（2）近似代替 在上任取一个时刻，以时刻的速度来代替上变化的速度，则得的近似值 （3）求和 把段时间上的路程的近似值相加，就得到总路程的近似值（4）取极限设时，得路程的准确值二、定积分的定义由上述两例可见，虽然所计算的量具有不同的实际意义，但可以看出它们的计算思想方法与步骤都相同它们都是在小范围内“以不变代

5、变”，按“分割取近似，求和取极限”的方法将所求的量归结为一个和式的极限，即面积路程 抽去这些问题的实际意义，抓住特殊和式极限的数学模型的本质，将这种方法加以精确叙述，给出定积分的定义：定义 设函数在区间上有定义, 在中任意插入若干个分点,将区间分为个小区间：, , 在每一个小区间上任取一点，用函数值与该区间的长度相乘，作和式如果不论对区间采用何种分法，也不论在小区间上如何选取，记，当时, 和式的极限存在，则称函数在区间上可积，并将此极限值称为函数在区间 上的定积分（Definite integral）记为，即其中称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量, 称为积分区间称为积分下限,称为积分上

6、限按定积分的定义，前面所举例子可表示如下：（1）曲边梯形的面积是曲线在区间 上的定积分, 即 （2）物体作变速直线运动所经过的路程是速度在区间上的定积分, 即除了这两个可以用定积分表示外，还有类似的表示如：（3）气体（或物体）在外界压强作用下发生体积变化而与环境交换的功为体积功，若体系的体积从变化到，则所需要对体积功为（4）物体在变力作用下从移动到力对物体所做的功为这样的问题还有很多，具体介绍将在本章第六节中描述。注意：1定积分是一个特殊和式的极限值，是一个常量，它只与被积函数和积分区间有关, 而与积分变量用什么字母无关，即有 2定积分的定义中, 我们假定, 如果，我们规定特别地, 当时, 有

7、 3函数在上满足什么条件一定可积？这个问题我们不作深入讨论，仅给出以下两个充分条件定理 若在区间上连续，则在上可积（证明略）定理 若在区间上有界，且仅有有限个第一类间断点，则在上可积（证明略）三、定积分的几何意义当在区间上连续时，其定积分可分为三种情形1若在上，定积分在几何上表示由连续曲线与直线 、及轴所围成的曲边梯形的面积（如图6所示）即曲边梯形的面积2若在上，因，从而，此时的绝对值与由直线，及曲线 所围成的曲边梯形的面积相等（如图63所示），即（曲边梯形的面积）3若在上有正有负，则等于上位于轴上方的图形面积减去轴下方的图形面积（如图64所示），即图62AabxOy=f (x)y图63f(i

8、)Oxiy=f (x)aby图64A2A1A3Oaby=f (x)xy例1 用定积分表示图65中阴影部分的面积：图65xOay = x2 (1)xO21y = x2 (2)yyy=(x-1)2 -1Ox12(3)y解 （1）中的阴影部分的面积为；（2）中的阴影部分的面积为；（3）中的阴影部分的面积为四、定积分的性质在下面讨论中, 我们总假设函数在所讨论的区间上都是可积的性质1 被积函数中的常数因子可以提到积分号前面, 即 (是常数) 性质2 两个函数的代数和的定积分等于它们定积分的代数和，即 性质2可以推广到有限个函数的代数和的情形即性质3 如果将区间分成两个区间与，则 图66(1)AabxO

9、y=f (x)yBCcA2A1x(2)AabOy=f (x)yBCcA2A1这个性质只用几何图形说明由图66（1）可以看出：曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性推论 对于任意三个数，如图66（2）所示： 性质4 如果函数1, 则有由定积分几何意义，如图67所示，表示以为底，为高的矩形面积，因此 例2 已知，求解 根据定积分的性质1，2，4，可知性质5 如果函数在区间上的最大值与最小值分别为与，则()() 其几何意义由图68所示，曲边梯形的面积大于或等于矩形的面积并且小于或等于矩形的面积这个性质说明,由被积函数在积分区间上的最大值及最小值，可以估计积

10、分值的大致范围图67xabOy = 1yy=f (x)x图68OaCAFbDBEy例3 试估计定积分的值解 先求被积函数的最大值与最小值由于，令，得驻点为，计算函数在驻点及区间端点处的值，得 ，从而，由性质5，得 ，即性质6 （积分中值定理） 设函数在区间上连续, 则在内至少存在一点，使 f ()abBx图69Oy=f (x)Ay成立由定积分几何意义，从图69可以看出，在上至少能存在一点，使以为高，以为底的矩形面积等于曲边梯形的面积即此时，它是连续曲线在区间上的平均高度，又称函数在区间上的平均值，记为 例4 计算函数在闭区间上的平均值解 设函数的平均值为，则由于在上以为曲边的曲边梯形就是以原点

11、为圆心，半径等于2的圆在第一象限的部分.因此，从而习题训练1利用定积分的几何意义，判断下列定积分的正负：（1）； （2）；（3）； （4）.2利用定积分的几何意义，说明下列等式成立：（1） =； （2） =23根据定积分的几何意义推出下列积分的值：（1）； （2）；（3）； （4）4质点以速度作直线运动，试用定积分表示它在时刻到之间经过的距离5对直流电来讲，电流是常量，电量电流时间，而对交流电来讲，电流是时间的函数，（其中，是常数）试用定积分表示在时间到通过电路的电量6设，求下列定积分的值：（1）； （2）；（3）7估计下列各积分的值：（1）； （2）；（3）； （4）8求函数在闭区间上的平均值