二次函数铅垂高演练(答案.解析.总结分析-).doc

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1、二次函数铅垂高 如图 12-1，过ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫ABC 的“水平宽”(a)，中间的这条直线在ABC 内部线段的长度叫ABC 的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.ahSABC21解答下列问题：如图 12-2，抛物线顶点坐标为点 C(1,4),交 x 轴于点 A(3,0)，交 y 轴于点 B.(1)求抛物线和直线 AB 的解析式；(2)点 P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结 PA，PB，当 P 点运动到顶点 C 时，求CAB 的铅垂高 CD 及；CABS(3)是

2、否存在一点 P，使 SPAB=SCAB，若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，89请说明理由.例 1 解：(1)设抛物线的解析式为：1 分4) 1(2 1xay把 A（3,0）代入解析式求得1a所以3 分324) 1(22 1xxxy设直线 AB 的解析式为：bkxy2由求得 B 点的坐标为 4 分322 1xxy)3 , 0(把，代入中)0 , 3(A)3 , 0(Bbkxy2解得：3, 1bk所以6 分32xy(2)因为 C 点坐标为(,4)图 12-2xCOyABD 11所以当 x时，y14，y22所以 CD4-228 分(平方单位) 10 分32321CABS(3)假设存在符合条件的点

3、 P，设 P 点的横坐标为 x，PAB 的铅垂高为 h，则12 分xxxxxyyh3)3()32(22 21由 SPAB=SCAB89得：389)3(3212xx化简得：091242xx解得，23x将代入中，23x322 1xxy解得 P 点坐标为14 分)415,23(总结：总结：求不规则三角形面积时不妨利用铅垂高。铅垂高的表示方法是解决问题的关键，要 学会用坐标表示线段。例 2（2010 广东省中考拟）如图 10，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为 D 点，与 y 轴交于 C 点，与x轴交于 A、B 两点，)0(2acbxaxyA 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0） ，OBO

4、C ，tanACO31（1）求这个二次函数的表达式（2）经过 C、D 两点的直线，与x轴交于点 E，在该抛物线上是否存在这样的点 F，使以点 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于 M、N 两点，且以 MN 为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度（4）如图 11，若点 G（2，y）是该抛物线上一点，点 P 是直线 AG 下方的抛物线上一动点，当点 P 运动到什么位置时，APG 的面积最大？求出此时 P 点的坐标和APG 的最大面积._ y_ x_ O_ E_ D_ C_ B_ A图 10_ G_ A_

5、 B_ C_ D_ O_ x_ y图 111）方法一：由已知得：C（0，3） ，A（1，0） 将 A、B、C 三点的坐标代入得 30390ccbacba解得： 321cba所以这个二次函数的表达式为： 322xxy方法二：由已知得：C（0，3） ，A（1，0） 设该表达式为： )3)(1(xxay将 C 点的坐标代入得： 1a所以这个二次函数的表达式为： 322xxy（注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）（2）方法一：存在，F 点的坐标为（2，3） 理由：易得 D（1，4） ，所以直线 CD 的解析式为：3xyE 点的坐标为（3，0） 由 A、C、E、F 四点的坐标得：AECF2

6、，AECF以 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形存在点 F，坐标为（2，3） 方法二：易得 D（1，4） ，所以直线 CD 的解析式为：3xyE 点的坐标为（3，0） 以 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形F 点的坐标为（2，3）或（2，3）或（4，3） 代入抛物线的表达式检验，只有（2，3）符合存在点 F，坐标为（2，3） （3）如图，当直线 MN 在 x 轴上方时，设圆的半径为 R（R0） ，则 N（R+1，R） ，代入抛物线的表达式，解得2171R当直线 MN 在 x 轴下方时，设圆的半径为 r（r0） ，则 N（r+1，r） ，代入抛物线的表达式，解得 2171r圆的半

7、径为或 2171 2171（4）过点 P 作 y 轴的平行线与 AG 交于点 Q，易得 G（2，3） ，直线 AG 为1xy设 P（x，） ，则 Q（x，x1） ，PQ322 xx22xx3)2(212xxSSSGPQAPQAPG当时，APG 的面积最大21x此时 P 点的坐标为，415,21827的最大值为APGS随堂练习 1 （2010 江苏无锡）如图，矩形 ABCD 的顶点 A、B 的坐标分别为（-4，0）和（2，0） ，BC=设直线 AC 与直线 x=4 交于点 E2 3（1）求以直线 x=4 为对称轴，且过 C 与原点 O 的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线一定过点 E；（2）设（

8、1）中的抛物线与 x 轴的另一个交点为 N，M 是该抛物线上位于 C、N 之间的一动点，求CMN 面积的最大值RRrr 11NNMMABDOxyx=4xyEDCBAO【答案】解：（1）点 C 的坐标设抛物线的函数关系式为，(2, 2 3)2(4)ya xm则，解得160423amam38 3,. 63am 所求抛物线的函数关系式为238 3(4) 63yx 设直线 AC 的函数关系式为则，解得,ykxb40223kbkb343, 33kb直线 AC 的函数关系式为，点 E 的坐标为34333yx8 3(4,)3把 x=4 代入式，得，此抛物线过 E 点238 38 3(44)633y （2）

9、（1）中抛物线与 x 轴的另一个交点为 N（8，0） ，设 M（x，y） ，过 M 作 MGx 轴于 G，则 SCMN=SMNG+S 梯形 MGBCSCBN=111(8)(23)(2)(82)23 222xyyxA=223433338 33()38 35 38 3 632yxxxxxx =2393(5), 22x当 x=5 时，SCMN 有最大值932课下练习 1(本题满分 12 分)已知：如图一次函数 y1 2x1 的图象与 x 轴交于点 A，与y 轴交于点 B；二次函数 y1 2x2bxc 的图象与一次函数 y1 2x1 的图象交于 B、C两点，与 x 轴交于 D、E 两点且 D 点坐标为

10、(1，0)(1)求二次函数的解析式； (2)求四边形 BDEC 的面积 S； (3)在 x 轴上是否存在点 P，使得PBC 是以 P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出 所有的点 P，若不存在，请说明理由3 （2010 山东临沂）如图，二次函数的图象与轴交于,2yxaxbx1(,0)2A 两点，且与轴交于点.(2,0)ByC（1）求该抛物线的解析式，并判断的形状；ABC（2）在轴上方的抛物线上有一点,且以四点为顶点的四边形是等腰梯xDACDB、形，请直接写出点的坐标；D（3）在此抛物线上是否存在点,使得以四点为顶点的四边形是直角梯形？PACBP、 若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.P

11、第 26 题图【答案】解：根据题意，将 A（,0）,B（2,0）代入 y=-x2+ax+b 中，1 2得110,42 420.abab 第 24 题图解这个方程，得 全品中考网3,2 1.ab 所以抛物线的解析式为 y=-x2+x+1.3 2当 x=0 时，y=1.所以点 C 的坐标为（0，1） 。所以在AOC 中，AC=.22OAOC5 2在BOC 中，BC=.22OBOC5AB=OA+OB=.15222因为 AC2+BC2=.2125244AB所以ABC 是直角三角形。（2）点 D 的坐标是.3,12（3）存在。 由（1）知，ACBC, 若以 BC 为底边，则 BCAP,如图（1）所示，可

12、求 得直线 BC 的解析式为.112yx 直线 AP 可以看作是由直线 AC 平移得到的，所以设直线 AP 的解析式为，1 2yxb 将 A（,0）代入直线 AP 的解析式求得 b=,所1 21 4以直线 AP 的解析式为.11 24yx 因为点 P 既在抛物线上，又在直线 AP 上，所以点 P 的纵坐标相等，即-x2+x+1=3 2图 1.11 24x解得（不合题意，舍去）.1251 22xx 当 x=时，y=.5 23 2所以点 P 的坐标为（，）.5 23 2若以 AC 为底边，则 BPAC，如图（2）所示， 可求得直线 AC 的解析式为.21yx直线 BP 可以看作是由直线 AC 平移

13、得到的，所以设直线 BP 的解析式为，2yxb将 B（2,0）代入直线 BP 的解析式求得 b=-4,所以直 线 BP 的解析式为 y=2x-4. 因为点 P 既在抛物线上，又在直线 BP 上，所以点 P的纵坐标相等，即-x2+x+1=2x-43 2解得（不合题意，舍去）.125,22xx 当 x=-时，y=-9.5 2所以点 P 的坐标为（-，-9）.5 2综上所述，满足题目的点 P 的坐标为（，）或（-，-9）5 23 25 22(本题 10 分)如图，已知二次函数 y=的图象与 y 轴交于点 A，与 x 轴423 412xx交于 B、C 两点，其对称轴与 x 轴交于点 D，连接 AC(1

14、)点 A 的坐标为_ ，点 C 的坐标为_ ；(2)线段 AC 上是否存在点 E，使得EDC 为等腰三角形?若存在，求出所有符合条件的 点 E 的坐标；若不存在，请说明理由；图 2 (3)点 P 为 x 轴上方的抛物线上的一个动点，连接 PA、PC，若所得PAC 的面积为 S，则 S 取何值时，相应的点 P 有且只有 2 个?解：（1）A（0，4） ，C（8，0） 2 分（2）易得 D（3，0） ，CD=5设直线 AC 对应的函数关系式为ykxb，则4, 80.b kb 解得1,2 4.kb 142yx 3分 当 DE=DC 时，OA=4，OD=3DA=5，1E（0，4） 4分当 ED=EC

15、时，可得2E（11 2，5 4） 5 分当 CD=CE 时，如图，过点 E 作 EGCD，则CEG CAO，EGCGCE OAOCAC即5EG ，2 5CG ，3E（82 5，5） 6分综上，符合条件的点 E 有三个：1E（0，4） ，2E（11 2，5 4） ，3E（82 5，5） （3）如图，过 P 作 PHOC，垂足为 H，交直线 AC 于点 Q设 P（m，213442mm） ，则 Q（m，142m） 当08m时， PQ=（213442mm）(142m)=2124mm，22118(2 )(4)1624APCCPQAPQSSSmmm AAA，7 分016S； 8 分当20m 时， PQ=（142m）(213442mm)=2124mm，22118(2 )(4)1624APCCPQAPQSSSmmm AAA，020S9分故16S 时，相应的点 P 有且只有两个