二次函数铅垂高演练(答案、解析、总结).pdf

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1、二次函数铅垂高如图 12-1，过ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫ABC 的“水平宽”(a)，中间的这条直线在ABC 内部线段的长度叫ABC 的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：SABC即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.解答下列问题：如图 12-2，抛物线顶点坐标为点 C(1,4),交 x 轴于点 A(3,0)，交 y 轴于点 B.(1)求抛物线和直线 AB 的解析式；(2)点 P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P 点运动到顶点 C时，求 CAB 的铅垂高 CD 及SCAB；(3)是否存在一点 P，

2、使S PAB=明理由.1ah，29S CAB，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说8yCBD1O(A：图 12-2例 1 解：(1)设抛物线的解析式为：y1 a(x 1)4 1 分把 A（3,0）代入解析式求得a 1所以y1(x 1)4 x 2x 3 3 分设直线 AB 的解析式为：y2 kx b由y1 x 2x 3求得 B 点的坐标为(0,3)4 分把A(3,0)，B(0,3)代入y2 kx b中解得：k 1,b 3】2222所以y2 x 3 6 分(2)因为 C 点坐标为(,4)所以当 x时，y14，y22所以 CD4-228 分SCAB110 分32 3(平方单位)222(3)假设存

3、在符合条件的点P，设 P 点的横坐标为 x，PAB的铅垂高为 h，则h y1 y2(x 2x 3)(x 3)x 3x12 分由 S PAB=9S CAB8得：193(x23x)3282化简得：4x 12x 9 0解得，x 将x 3232代入y1 x 2x 3中，23 15解得 P 点坐标为(,)14 分24总结：求不规则三角形面积时不妨利用铅垂高。铅垂高的表示方法是解决问题的关键，要学会用坐标表示线段。例 2（2010 广东省中考拟）如图 10，在平面直角坐标系中，二次函数y ax bx c(a 0)的图象的顶点为 D 点，与 y 轴交于 C 点，与 x 轴交于 A、B 两点，A 点在原点的左

4、侧，B点的坐标为（3，0），OBOC，tanACO213（1）求这个二次函数的表达式（2）经过 C、D 两点的直线，与 x 轴交于点 E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由（3）若平行于 x 轴的直线与该抛物线交于 M、N 两点，且以 MN 为直径的圆与 x 轴相切，求该圆半径的长度（4）如图11，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P 是直线 AG 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时，APG 的面积最大求出此时 P 点的坐标和APG 的最大面积._ y_ y】|1）方法一：由已知得：C

5、（0，3），A（1，0）a b c 09a 3b c 0c 3将 A、B、C 三点的坐标代入得a 1b 2c 3解得：&2y x 2x 3所以这个二次函数的表达式为：方法二：由已知得：C（0，3），A（1，0）设该表达式为：y a(x 1)(x 3)将 C 点的坐标代入得：a 12y x 2x 3所以这个二次函数的表达式为：（注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）（2）方法一：存在，F 点的坐标为（2，3）理由：易得 D（1，4），所以直线 CD 的解析式为：y x 3E 点的坐标为（3，0）由 A、C、E、F 四点的坐标得：AECF2，AECF以 A、C、E、F 为顶点的四边形为

6、平行四边形存在点 F，坐标为（2，3）方法二：易得 D（1，4），所以直线 CD 的解析式为：y x 3E 点的坐标为（3，0）以 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形F 点的坐标为（2，3）或（2，3）或（4，3）【代入抛物线的表达式检验，只有（2，3）符合存在点 F，坐标为（2，3）（3）如图，当直线 MN 在 x 轴上方时，设圆的半径为R（R0），则 N（R+1，R），yR 代入抛物线的表达式，解得1 1721MRRN当直线 MN 在 x 轴下方时，设圆的半径为r（r0），则 N（r+1，r），AO1MrrNBxr 代入抛物线的表达式，解得1 1721171 1722或圆的半径为|

7、D（4）过点 P 作 y 轴的平行线与 AG 交于点 Q，易得 G（2，3），直线 AG 为y x 1设 P（x，x 2x 3），则 Q（x，x1），PQ x x 222SAPG SAPQ SGPQx 当1(x2 x 2)3212时，APG 的面积最大11527,SAPG的最大值为4，8此时 P 点的坐标为2随堂练习 1（2010 江苏无锡）如图，矩形ABCD 的顶点 A、B 的坐标分别为（-4，0）和（2，0），BC=2 3设直线 AC 与直线 x=4 交于点 E。（1）求以直线 x=4 为对称轴，且过 C 与原点 O 的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线一定过点 E；（2）设（1）中的抛物

8、线与 x 轴的另一个交点为N，M 是该抛物线上位于 C、N 之间的一动点，求CMN 面积的最大值yD DC CE EA AO O B Bx=4x2【答案】解：（1）点 C 的坐标(2,23)设抛物线的函数关系式为y a(x 4)m，16a m 0383a ,m.4a m 2363则，解得y 36(x 4)2833所求抛物线的函数关系式为4k b 0343k,b 2k b 2333设直线 AC 的函数关系式为y kx b,则，解得y 33x 433，点 E 的坐标为(4,直线 AC 的函数关系式为.8 3)3y 把 x=4 代入式，得38 38 3(44)2633，此抛物线过 E 点（2）（1）

9、中抛物线与x 轴的另一个交点为 N（8，0），设 M（x，y），过 M 作 MGx 轴于 G，则 SCMN=SMNG+S 梯形 MGBCS1(8 x)y 12(y 23)(x 2)12(8 2)23CBN=23y 3x 83 32x 53x 8323x 83 3(36x 2433x)=32(x 5)2932,=93当 x=5 时，SCMN 有最大值2课下练习 1(本题满分 12 分)已知：如图一次函数 y轴交于点 B；二次函数 y1x1 的图象与 x 轴交于点 A，与 y2121x bxc 的图象与一次函数 yx1 的图象交于 B、C 两22点，与 x 轴交于 D、E 两点且 D 点坐标为(1

10、，0)(1)求二次函数的解析式；(2)求四边形 BDEC 的面积 S；%(3)在 x 轴上是否存在点 P，使得PBC 是以 P 为直角顶点的直角三角形若存在，求出所有的点 P，若不存在，请说明理由第 24 题图1A(,0)23（2010 山东临沂）如图，二次函数y x axb的图象与x轴交于,B(2,0)两2点，且与y轴交于点C.（1）求该抛物线的解析式，并判断ABC的形状；（2）在x轴上方的抛物线上有一点D,且以A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；（3）在此抛物线上是否存在点P,使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形若存在，求出P点的坐标；若不存在，说

11、明理由.;第 26 题图1【答案】解：根据题意，将A（2,0）,B（2,0）代入 y=-x2+ax+b 中，11ab 0,424 2ab 0.得3a,2b 1.解这个方程，得全品中考网3所以抛物线的解析式为 y=-x2+2x+1.当 x=0 时，y=1.所以点 C 的坐标为（0，1）。522所以在AOC 中，AC=OA OC=2.22在BOC 中，BC=OB OC=5.152 2.AB=OA+OB=21252 AB24因为 AC2+BC2=4.所以ABC 是直角三角形。3,1（2）点 D 的坐标是2.（3）存在。由（1）知，ACBC,若以 BC 为底边，则 BCAP,如图（1）所示，可求得直线

12、 BC 的解析式为1y x12.直线 AP 可以看作是由直线 AC 平移得到的，所以设直1y xb2线 AP 的解析式为，11将 A（2,0）代入直线 AP 的解析式求得 b=4,所图 111y x24.以直线 AP 的解析式为311x4.因为点 P 既在抛物线上，又在直线 AP 上，所以点 P 的纵坐标相等，即-x2+2x+1=2解得%x151x2 22（不合题意，舍去）.53当 x=2时，y=2.53所以点 P 的坐标为（2，2）.若以 AC 为底边，则 BPAC，如图（2）所示，可求得直线 AC 的解析式为y 2x1.直线 BP 可以看作是由直线 AC 平移得到的，所以设直线 BP 的解

13、析式为y 2xb，将 B（2,0）代入直线 BP 的解析式求得 b=-4,所以直线BP 的解析式为 y=2x-4.图 23因为点 P 既在抛物线上，又在直线BP 上，所以点 P 的纵坐标相等，即-x2+2x+1=2x-45x1,x2 22解得（不合题意，舍去）.5当 x=-2时，y=-9.5所以点 P 的坐标为（-2，-9）.535综上所述，满足题目的点P 的坐标为（2，2）或（-2，-9）123x x 4422(本题 10 分)如图，已知二次函数y=的图象与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于 B、C 两点，其对称轴与 x 轴交于点 D，连接 AC(1)点 A 的坐标为_，点 C 的坐标为_；

14、(2)线段 AC 上是否存在点 E，使得 EDC 为等腰三角形若存在，求出所有符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点 P 为 x 轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，若所得 PAC的面积为 S，则S 取何值时，相应的点 P 有且只有 2 个解：（1）A（0，4），C（8，0）2 分（2）易得 D（3，0），CD=5设直线 AC 对应的函数关系式为y kx b，1k ,b 4,1解得则2y x 4 328k b 0.b 4.分当 DE=DC 时，OA=4，OD=3DA=5，E1（0，4）4 分115，）5 分42当 CD=CE 时，如图，过点 E 作 EGCD，当 ED=

15、EC 时，可得E2（EGCGCE则CEG CAO，OAOCAC即EG 5，CG 2 5，E3（8 2 5，5）6 分115，），E3（8 2 5，5）42（3）如图，过 P 作 PHOC，垂足为 H，交直线 AC 于点 Q综上，符合条件的点 E 有三个：E1（0，4），E2（113设 P（m，m2m 4），则 Q（m，m 4）242当0 m 8时，PQ=（1m23m 4）(1m 4)=1m2 2m，4242118(m2 2m)(m4)216，7 分240 S 16；8 分SAPC SCPQ SAPQ当2 m 0时，PQ=（1m 4）(1m23m 4)=1m2 2m，24421128(m 2m)(m 4)216，APCCPQAPQ240 S 20 9 分S S S故S 16时，相应的点 P 有且只有两个