几何平均数和算术平均数 算术平均数与几何平均数（一）.docx

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1、几何平均数和算术平均数 算术平均数与几何平均数（一）教学目标（1）驾驭“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”这一重要定理；（2）能运用定理证明不等式及求一些函数的最值；（3）能够解决一些简洁的实际问题；（4）通过对不等式的结构的分析及特征的把握驾驭重要不等式的联系；（5）通过对重要不等式的证明和等号成立的条件的分析，培育学生严谨科学的相识习惯，进一步渗透变量和常量的哲学观；教学建议1教材分析（1）学问结构本节依据不等式的性质推导出一个重要的不等式： ，依据这个结论，又得到了一个定理： ，并指出了 为 的算术平均数， 为 的几何平均数后，随后给出了这个定理的几何说明。（2）重点、难点分析

2、本节课的重点内容是驾驭“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”；驾驭两个正数的和为定值时积有最大值，积为定值时和有最小值的结论，教学难点是正确理解和运用平均值定理求某些函数的最值为突破重难点，老师单方面强调是远远不够的，只有让学生通过自己的思索、尝试，留意到平均值定理中等号成立的条件，发觉运用定理求最值的三个条件“一正，二定，三相等”缺一不行，才能大大加深学生对正确运用定理的理解，教学中要留意培育学生分析归纳问题的实力，帮助学生形成学问体系，全面深刻地驾驭平均值定理求最值和解决实际问题的方法定理教学的留意事项在公式 以及算术平均数与几何平均数的定理的教学中，要让学生留意以下两点：（1）

3、和 成立的条件是不同的：前者只要求 都是实数，而后者要求 都是正数。例如 成立，而 不成立。（2）这两个公式都是带有等号的不等式，因此对其中的“当且仅当时取=号”这句话的含义要搞清晰。教学时，要提示学生从以下两个方面来理解这句话的含义：当 时取等号，其含义就是： 仅当 时取等号，其含义就是： 综合起来，其含义就是： 是 的充要条件。（二）关于用定理证明不等式当用公式 ， 证明不等式时，应当使学生相识到：它们本身也是依据不等式的意义、性质或用比较法（将在下一小节学习）证出的。因此，凡是用它们可以获证的不等式，一般也可以干脆依据不等式的意义、性质或用比较法证明。（三）应用定理求最值的条件应用定理时

4、留意以下几个条件：（1）两个变量必需是正变量；（2）当它们的和为定值时，其积取得最大值；当它们的积是定值时，其和取得最小值；（3）当且仅当两个数相等时取最值即必需同时满意“正数”、“定值”、“相等”三个条件，才能求得最值在求某些函数的最值时，还要留意进行恰当的恒等变形、分析变量、配置系数（四）应用定理解决实际问题的分析在应用两个正数的算术平均数与几何平均数的定理解决这类实际问题时，要让学生留意；（1）先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；（3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值；（4）正确写出

5、答案。2教法建议（1）导入新课建议采纳学生比较熟识的问题为背景，这样简单被学生接受，产生爱好，激发学习动机使得学生学习本节课学问自然且合理（2）在新授学问过程中，老师应力求引导、启发，让学生逐步回忆所学的学问，并应用它们来分析问题、解决问题，以形成比较系统和完整的学问结构对有关概念使学生理解精确，尽量以多种形式反映学问结构，使学生在比较中得到深刻理解（3）教学方法建议采纳启发引导，讲练结合的授课方式，发挥老师主导作用，体现学生主体地位，学生获得学问必需通过学生自己一系列思维活动完成，启发诱导学生深化思索问题，有利于培育学生思维敏捷、严谨、深刻等良好思维品质（4）可以设计解法的正误探讨，这样能够

6、使学生尝试失败，并从失败中找到错误缘由，加深对正确解法的理解，真正把新学问纳入到原有认知结构中（5）留意培育应用意识教学中应不失时机地使学生相识到数学源于客观世界并反作用干客观世界为增加学生的应用意识，在平常教学中就应适当增加解答应用问题的教学，使学生不禁感到“数学有用，要用数学”第一课时教学目标：1学会推导并驾驭两个正数的算术平均数与几何平均数定理；2理解定理的几何意义；3能够简洁应用定理证明不等式.教学重点：均值定理证明教学难点：等号成立条件教学方法：引导式教学过程（）：一、复习回顾上一节，我们完成了对不等式性质的学习，首先我们来作一下回顾.（学生回答）由上述性质，我们可以推导出下列重要的

7、不等式.二、讲授新课1 重要不等式：假如证明：当所以，即由上面的结论，我们又可得到2 定理：假如 是正数，那么证明：即明显，当且仅当说明：）我们称 的算术平均数，称 的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.） 成立的条件是不同的：前者只要求 都是实数，而后者要求 都是正数.）“当且仅当”的含义是充要条件.3均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”.以长为 的线段为直径作圆，在直径AB上取点C， .过点C作垂直于直径AB的弦DD,那么即 这个圆的半径为 ，明显，它不小于CD，即 ，其中当且仅当点C与圆心重合；即 时，等号成立. 在定理证明之后，我们来看一下

8、它的详细应用.4 例题讲解：例1 已知 都是正数，求证：（1）假如积 是定值P,那么当 时，和 有最小值（2）假如和 是定值S,那么当 时，积 有最大值 证明：因为 都是正数，所以 （1）积xy为定值P时，有上式当 时，取“=”号，因此，当 时，和 有最小值 .（2）和 为定值S时，有上式当 时取“=”号，因此，当 时，积 有最大值 .说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应留意三个条件：（1）函数式中各项必需都是正数;（2）函数式中含变数的各项的和或积必需是常数；（3）等号成立条件必需存在.接下来，我们通过练习来进一步熟识均值定理的应用.三、课堂练习课本P11练习2，3要求：学生板

9、演，老师讲评.课堂小结：通过本节学习，要求大家驾驭两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式，但是在应用时，应留意定理的适用条件.课后作业：习题6.2 1，2，3，4板书设计：6.2.1 1重要不等式 说明） 4.例题 学生 ） 练习 ） 2均值定理 3.几何意义其次课时教学目标：1进一步驾驭均值不等式定理；2会应用此定理求某些函数的最值；3能够解决一些简洁的实际问题.教学重点：均值不等式定理的应用教学难点：解题中的转化技巧教学方法：启发式教学过程（）：一、复习回顾上一节，我们一起学习了两个正数的算术平均数与几何平均数的定理，首先我们来回顾一下定理内容及其适用条

10、件.（学生回答）利用这肯定理，可以证明一些不等式，也可求解某些函数的最值，这一节，我们来接着这方面的训练.二、讲授新课例2 已知都是正数，求证：分析：此题要求学生留意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而正确运用，同时加强对均值不等式定理的条件的相识.证明：由 都是正数，得即例3 某工厂要建立一个长方体无盖贮水池，其容积为 ，深为3m，假如池底每 的造价为150元，池壁每 的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先须要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理.解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l

11、元，依据题意，得 当因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元.评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应留意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应留意不等式性质的适用条件.为了进一步熟识均值不等式定理在证明不等式与求函数最值中的应用，我们来进行课堂练习.三、课堂练习课本P11练习1，4要 求：学生板演，老师讲评.课堂小结：通过本节学习，要求大家进一步驾驭利用均值不等式定理证明不等式及求函数的最值，并相识到它在实际问题中的应用.课后作业：习题6.2 5,6,7板书设计：均值不等式 例2 6.2.2 例3 学生定理回顾 练习