几何平均数和算术平均数.docx

《几何平均数和算术平均数.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《几何平均数和算术平均数.docx（16页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、几何平均数和算术平均数第一课时一、教材分析 （一）教材所处的地位和作用 “算术平均数与几何平均数”是全日制一般高级中学教科书（试验修订本必修）数学其次册（上）“不等式”一章的内容，是在学完不等式性质的基础上对不等式的进一步探讨本节内容具有变通敏捷性、应用广泛性、条件约束性等特点，所以本节内容是培育学生应用数学学问，敏捷解决实际问题，学数学用数学的好素材二同时本节学问又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，所以有利于培育学生良好的思维品质 （二）教学目标 1学问目标：理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的重要不等式的证明及其几何说明；驾驭两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理的证明及其

2、几何说明；驾驭应用平均值定理解决一些简洁的应用问题2实力目标：培育学生数形结合、化归等数学思想（三）教学重点、难点、关键重点：用平均值定理求某些函数的最值及有关的应用问题难点：定理的运用条件，合理地应用平均值定理关键：理解定理的约束条件，驾驭化归的数学思想是突破重点和难点的关键（四）教材处理依据新大纲和新教材，本节分为二个课时进行教学第一课时讲解不等式（两个实数的平方和不小于它们之积的2倍）和平均值定理及它们的几何说明驾驭应用定理解决某些数学问题其次课时讲解应用平均值定理解决某些实际问题为了讲好平均值定理这节内容，在紧扣新教材的前提下，对例题作适当的调整，适当增加例题二、教法分析（）教学方法为

3、了激发学生学习的主体意识，又有利于老师引导学生学习，培育学生的数学实力与创新实力，使学生能独立实现学习目标在探究结论时，采纳发觉法教学；在定理的应用及其条件的教学中采纳归纳法；在训练部分，主要采纳讲练结合法进行（二）教学手段依据本节学问特点，为突出重点，突破难点，增加教学容量，利用计算机辅导教学三、教学过程（）设计62算术平均数与几何平均数（第一课时）（一）导入新课（老师活动）1老师打出字幕（提出问题）；2组织学生探讨，并点评（学生活动）学生分组探讨，解决问题字幕 某种商品分两次降价，降价的方案有三种：方案甲是第一次9折销售，其次次再8折销售；方案乙是第一次8折销售，其次次再9折销售；方案丙是

4、两次都是 折销售试问降价最少的方案是哪一种？探讨设物价为t元，三种降价方案的销售物价分别是：方案甲： （元）；方案乙： （元）；方案丙： （元）故降价最少的方案是丙若将问题变为第一次a折销售，其次次b折销售明显可猜想有不等式 成立，即 ，当 时，设计意图：提出一个商品降价问题，要求学生探讨哪一种方案降价最少学生对问题的背景较熟识，可能感爱好，从而达到说明学习本节学问的必要，激发学生求知欲望，合理引出新课（二）新课讲授（老师活动）打出字幕（重要不等式），引导学生分析、思索，讲解重要不等式的证明点评有关问题（学生活动）参加探讨重要不等式的证明，理解有关概念字幕假如 ，那么 （当且仅当 时取“=”号

5、）证明：见课本点评强调 的充要条件是 说明“当且仅当”是充要条件的表达方式（“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的） 几何说明，如图。字幕定理 假如a，b是正数，那么 （当且仅当 时取“=”号）证明：学生运用“ ”自己证明 点评 强调；说明“算术平均数”和“几何平均数”的概念，并叙述它们之间的关系；比较上述两个不等式的特征（强调它们的限制条件）；几何说明（见课本）；指出定理可推广为“n个（ ）正数的算术平均数不小干它们的几何平均数” 设计意图：加深对重要不等式的相识和理解；培育学生数形结合的思想方法和对比的数学思想，多方面思索问题的实力 （老师活动）老师打出字幕（例题），引导学生分析

6、，探讨问题，点拨正确运用定理，构建证题思路（学生活动）与老师一道完成问题的论证字幕例题已知 a，b，c，d都是正数，求证：分析 应用定理证明； 探讨问题与定理之间的联系； 留意应用定理的条件和应用不等式的性质证明：见课本设计意图：巩固对定理的理解，学会应用定理解决某些数学问题 （老师活动）打出字幕（练习），要求学生独立思索，完成练习；巡察学生解题状况，对正确的解法赐予确定和激励，对偏差赐予订正；请甲、乙两学生板演；点评练习解法（学生活动）在笔记本上完成练习，甲、动两位同学板演字幕练习：已知 都是正数，求证：（1） ；（2）设计意图：驾驭定理及应用，反馈课堂教学效果，调整课堂教学（老师活动）分析

7、归纳例题和练习的解题过程，小结应用定理解决有关数学问题的解题方法（学生活动）与老师一道分析归纳，小结解题方法，并记录在笔记本上 1重要不等式可以用来证明某些不等式2应用重要不等式证明不等式时要留意不等式的结构特征：满意定理的条件；不等式一边为和的形式，另一边为积或常数的形式3用重要不等式证明有关不等式时留意与不等式性质结合设计意图：培育学生分析归纳问题的实力，驾驭应用重要不等式解决有关数学问题的方法（三）小结（老师活动）老师小结本节课所学的学问要点（学生活动）与老师一道小结，并记录在笔记本上1本节课学习了两个重要不等式及它们在解决数学问题中的应用 2留意：两个重要不等式运用的条件；不等式中“=

8、”号成立的条件设计意图：培育学生对所学学问进行概括归纳的实力，巩固所学学问（四）布置作业1课本作业；习题 1，32思索题：已知 ，求证：3探讨性题：设正数 ， ，试尽可能多的给出含有a和b的两个元素的不等式设计意图：课本作业供学生巩固基础学问；思索题供学有余力的学生完成，敏捷驾驭重要不等式的应用；探讨性题是一道结论开放性题，培育学生创新意识（五）课后点评1导入新课采纳学生比较熟识的问题为背景，简单被学生接受，产生爱好，激发学习动机使得学生学习本节课学问自然且合理2在建立新知过程中，老师力求引导、启发，让学生逐步回忆所学的学问，并应用它们来分析问题、解决问题，以形成比较系统和完整的学问结构对有关

9、概念使学生理解难确，尽量以多种形式反映学问结构，使学生在比较中得到深刻理解3通过变式训练，使学生在对学问初步理解和驾驭后，得到进一步深化，对所学的学问得到巩固与提高，同时反馈信息，调整课堂教学4本节课采纳启发引导，讲练结合的授课方式，发挥老师主导作用，体现学生主体地位，学生获得学问必需通过学生自己一系列思维活动完成，启发诱导学生深化思索问题，有利于培育学生思维敏捷、严谨、深刻等良好思维品质作业答案思索题 证明：因为 ，所以 又因为 ， ， ，所以 ， ，所以 探讨性题 由条件得 ，（A） 利用公式 （B） 得 ，即 由（A）、（B）之和即得 可利用 再利用，即可得 利用立方和公式得到： 利用可

10、得 利用可得 还有 其次课时（）导入新课（老师活动）1老师打出字幕（引例）； 2设置问题，引导学生思索，启发学生应用平均值定理解决有关实际问题（学生活动）思索、回答老师设置的问题，构建应用平均值定理解决实际问题的思路字幕引例如图，用篱笆围一块面积为50 的一边靠墙的矩形篱笆墙，问篱笆墙三边分别长多少时，所用篱笆最省？此时，篱笆墙长为多少米？设问这是一个实际问题，如何把它转化成为一个数学问题？ （学生口答：设篱笆墙长为y，则 （ ）问 题转化成为求函数y的最小值及取得最值时的 的值）求这个函数的最小值可用哪些方法？能否用平均值定理求此函数的最小值？（学生口答：利用函数的单调性或判别式法，也可用平

11、均值定理）设计意图：从学生熟识的实际问题动身，激发学生应用数学学问解决问题的爱好，通过设问，引导和启发学生用所学的平均值定理解决有关实际问题，引入课题（二）新课讲授（老师活动）老师打出字幕（课本例题1），引导学生探讨和解决问题，帮助学生建立用平均值定理求函数最值的学问体系（学生活动）尝试完成问题的论证，构建应用平均值定理求函数最值的方法字幕已知 都是正数，求证：（1）假如积 是定值P，那么当 时，和 有最小值 ；（2）假如和 是定值S，那么当 时，积 有最大值证明：运用 ，证明（略）点评 （l）的结论即 ，（2）的结论即上述结论给出了一类函数求最值的方法，即平均值定理求最值法应用平均值定理求最

12、值要特殊留意：两个变元都为正值；两个变元之积（或和）为定值；当且仅当 ，这三个条件缺一不行，即“一正，二定，三相等”同时成立设计意图：引导学生分析和探讨问题，建立新知应用平均值定理求最值的方法（老师活动）打出字幕（例题），引导学生分析问题，探讨问题的解法（学生活动）分析、思索，尝试解答问题 字幕例题1 求函数 （ ）的最小值，并求相应的 的值分析因为这个函数中的两项不都是正数且 又 与的积也不是常数，所以不能干脆用定理求解但把函数变形为 后，正数 ， 的积是常数1，可以用定理求得这个函数的最小值解： ，由 ，知 ， ，且 当且仅当 ，即 时， （ ）有最小值，最小值是 。点评 要正确理解 的意

13、义，即方程 要有解，且解在定义域内字幕 例2 某工厂要建立一个长方体无盖贮水池，其容积为 4800 ，深为 3 m，假如池底每l 的造价为 150元，池壁每1 的造价为 120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析 设水池底面一边的长为 m，水池的总造价为y，建立y关干 的函数然后用定理求函数y的最小值解：设水池底面一边的长度为 m，则另一边的长度为 m，又设水池总造价为y元，依据题意，得 （ ） 所以当 ，即 时，y有最小值297600因此，当水池的底面是边长为40 m的正方形时水池的总造价最低，最低总造价是297600元设计意图：加深理解应用平均值定理求最值的方法，学会

14、应用平均值定理解决某些函数最值问题和实际问题，并驾驭分析变量的构建思想培育学生用数学学问解决实际问题的实力，化归的数学思想（老师活动）打出字幕（练习），要求学生独立思索，完成练习；请三位同学板演；巡察学生解题状况，对正确的赐予确定，对偏差进行订正；讲评练习（学生活动）在笔记本且完成练习、板演字幕练习 A组 1求函数 （ ）的最大值 2求函数 （ ）的最值 3求函数 （ ）的最大值 B组 1设 ，且 ，求 的最大值 2求函数 的最值，下面解法是否正确？为什么？ 解： ，因为 ，则 所以 讲评 A组 1 ； 2 ； 3B组 1 ； 2不正确 当 时， ；当 时， ，而函数在整个定义域内没有最值设计

15、意图；A组题训练学生驾驭应用平均值定理求最值B组题训练学生驾驭平均值定理的综合应用，并对一些易出现错误的地方引起留意同时反馈课堂教学效果，调整课堂教学（老师活动）分析归纳例题和练习的解题过程，小结应用平均值定理解决有关函数最值问题和实际问题的解题方法（学生活动）与老师一道分析归纳，小结解题方法，并记录笔记1应用平均值定理可以解决积为定值或和为定值条件下，两个正变量的和或积的最值问题2应用定理时留意以下几个条件：（）两个变量必需是正变量（）当它们的和为定值时，其积取得最大值；当它们的积是定值时，其和取得最小值（iii）当且仅当两个数相等时取最值，即必需同时满意“正数”、“定值”、“相等”三个条件

16、，才能求得最值3在求某些函数的最值时，会恰当的恒等变形分析变量、配置系数4应用平均值定理解决实际问题时，应留意：（l）先理解题意，没变量，把要求最值的变量定为函数（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题，确定函数的定义域（3）在定义域内，求出函数的最值，正确写出答案设计意图：培育学生分析归纳问题的实力，帮助学生形成学问体系，全面深刻地驾驭平均值定理求最值和解决实际问题的方法（三）小结（老师活动）老师小结本节课所学的学问要点（学生活动）与老师一道小结，并记录笔记这节课学习了利用平均值定理求某些函数的最值问题现在我们又多了一种求正变量在定积或定和条件下的函数最值方法这是平均值定理

17、的一个重要应用，也是本节的重点内容，同学们要坚固驾驭应用定理时要留意定理的适用条件，即“正数、定值、相等”三个条件同时成立，且会敏捷转化问题，达到化归的目的设计意图：培育学生对所学学问进行概括归纳的实力，巩固所学学问（四）布置作业1课本作业：P ，6，72思索题：设 ，求函数 的最值3探讨性题：某种汽车购车时费用为10万元，每年保险、养路、汽车费用9千元；汽车的修理费各年为：第一年2千元，其次年4千元，依每年2千元的增量逐年递增问这种汽车最多运用多少年报废最合算（即运用多少年的平均费用最少）？设计意图：课本作业供学生巩固基础学问；思索题供学有余力的学生练习，使学生能敏捷运用定理解决某些数学问题

18、；探讨性题培育学生应用数学学问解决实际问题的实力（五）课后点评1关于新课引入设计的想法：导入这一环节是调动学生学习的主动性，激发学生探究精神的重要环节，本节课起先给出一个引例，通过探究解决此问题的各种解法，产生用平均值定理求最值，点明课题事实上，在解决引例问题的过程中也恰恰突出了教学重点2关于课堂练习设计的想法：正确理解和运用平均值定理求某些函数的最值是教学难点为突破难点，老师单方面强调是远远不够的，只有让学生通过自己的思索、尝试，发觉运用定理的三个条件缺一不行，才能大大加深学生对正确运用定理的理解，设计解法正误探讨能够使学生尝试失败，并从失败中找到错误缘由，加深了对正确解法的理解，真正把新学问纳入到原有认知结构中3培育应用意识 教学中应不失时机地使学生相识到数学源于客观世界并反作用干客观世界为增加学生的应用意识，在平常教学中就应适当增加解答应用问题的教学本节课中设计了两道应用问题，用刚刚学过的数学学问解决了问题，使学生不禁感到“数学有用，要用数学”作业解答思索题： 当且仅当 ，即 时，上式取等号所以当 时，函数y有最小值9，无最大值探讨性题：设运用 年报废最合算，由题意有；年平均费用 当且仅当 ，即 时，取得最小值，即运用10年报废最合算，年平均费用3万元