八年级数学竞赛例题专题-图形的折叠与剪拼.docx

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1、八年级数学竞赛例题专题-图形的折叠与剪拼八年级数学竞赛例题专题-梯形 专题21梯形阅读与思索梯形是一类具有一组对边平行而另一组对边不平行的特别四边形，梯形的主要内容是等腰梯形、直角梯形等相关概念及性质.解决梯形问题的基本思路是：通过适当添加协助线，把梯形转化为三角形或平行四边形，常见的协助线的方法有：（1）过一个顶点作一腰的平行线（平移腰）；（2）过一个顶点作一条对角线的平行线（平移对角线）；（3）过较短底的一个顶点作另一底的垂线；（4）延长两腰，使它们的延长线交于一点，将梯形还原为三角形如图所示： 例题与求解【例1】如图，在四边形ABCD中，AB/CD，D2B，AD和CD的长度分别为，那么A

2、B的长是_.（荆州市竞赛试题）解题思路：平移一腰，构造平行四边形、特别三角形【例2】如图1，四边形ABCD是等腰梯形，AB/CD由四个这样的等腰梯形可以拼出图2所示的平行四边形（1）求四边形ABCD四个内角的度数；（2）摸索究四边形ABCD四条边之间存在的等量关系，并说明理由；（3）现有图1中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一个菱形吗？若能，请你画出大致的示意图（山东省中考试题）解题思路：对于（1）、（2），在视察的基础上易得出结论，探寻上、下底和腰及上、下底之间的关系，从作出梯形的常见协助线入手；对于（3），在（2）的基础上，绽开想象的翅膀，就可设计出若干种图形 【例3】如图，在等腰梯形A

3、BCD中，AD/BC，ABDC，且ACBD，AF是梯形的高，梯形的面积是49cm2，求梯形的高.（内蒙古自治区东四盟中考试题）解题思路：由于题目条件中涉及对角线位置关系，不妨从平移对角线入手【例4】如图，在等腰梯形ABCD中，AB/DC，AB998，DC1001，AD1999，点P在线段AD上，问：满意条件BPC900的点P有多少个？（全国初中数学联赛试题）解题思路：依据ABDCAD这一关系，可以在AD上取点构造等腰三角形 【例5】如图，在等腰梯形ABCD中，CD/AB，对角线AC，BD相交于O，ACD600，点S，P，Q分别为OD，OA，BC的中点（1）求证：PQS是等边三角形；（2）若AB

4、5，CD3，求PQS的面积；（3）若PQS的面积与AOD的面积的比是7：8，求梯形上、下两底的比CD：AB（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：多个中点给人以广泛的联想：等腰三角形性质、直角三角形斜边中线、三角形中位线等.【例6】如图，分别以ABC的边AC和BC为一边，在ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到边AB的距离是AB的一半（山东省竞赛试题）解题思路：本题考查了梯形中位线定理、全等三角形的判定与性质关键是要构造能运用条件EPPF的图形 实力训练A级1.等腰梯形中，上底：腰：下底1：2：3，则下底角的度数是_.（天津市中考试题）2.如图，直角梯形ABCD中，ABB

5、C，AD3，BC5，将腰DC绕点D逆时针方向旋转900至DE，连接AE，则ADE的面积为_.（宁波市中考试题）3如图，在等腰梯形ABCD中，AB/CD，A，12，且梯形的周长为30cm，则这个等腰梯形的腰长为_.4.如图，梯形ABCD中，AD/BC，EF是中位线，G是BC边上任一点，假如，那么梯形ABCD的面积为_.（成都市中考试题）5.等腰梯形的两条对角线相互垂直，则梯形的高和中位线的长之间的关系是()ABCD无法确定6.梯形ABCD中，AB/DC，AB5，BC，BCD，CDA，则DC的长度是()A.B8C.D.E.（美国中学考试题）7如图，在等腰梯形ABCD中，ACBCAD，则DBC的度数

6、是()A.300B.450C.600D.900（陕西省中考试8如图，在直角梯形ABCD中，AD/BC，ABBC，AD2，BCDC5，点P在BC上移动，则当PAPD取最小值时，APD中边AP上的高为()ABCD3（鄂州市中考试题）9如图，在等腰梯形ABCD中，AD/BC，ABCD，点P为BC边上一点，PEAB，PFCD，BGCD，垂足分别为E，F，G求证：PEPFBG（哈尔滨市中考试题） 10.如图，在梯形ABCD中，AD/BC，E，F分别为AB，AC中点，BD与EF相交于G求证：11.如图，等腰三角形ABC中，ABAC，点E、F分别是AB、AC的中点，CEBF于点O求证：（1）四边形EBCF是

7、等腰梯形；（2）（深圳市中考试题）12.如图1，在等腰梯形ABCD中，AD/BC，E是AB的中点，过点E作EF/BC交CD于点F，AB4，BC6，B（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PMEF交BC于点M，过M作MN/AB交折线ADC于点N，连接PN，设EP当点N在线段AD上时（如图2），PMN的形态是否发生变更？若不变，求出PMN的周长；若变更，请说明理由当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使PMN为等腰三角形？若存在，恳求出全部满意要求的的值；若不存在，请说明理由（江西省中考试题) B级1.如图，在梯形ABCD中，AB/DC，ADBC，AB10，CD

8、4，延长BD到E，使DEDB，作EFAB交BA的延长线于点F，则AF_.（山东省竞赛试题）2.如图，在梯形ABCD中，AD/BC，ABDC10cm，AC与BD相交于G，且AGD，设E为CG中点，F是AB中点，则EF长为_.（“希望杯”邀请赛试题）3.用四条线段：作为四条边，构成一个梯形，则在所构成的梯形中，中位线的长的最大值为_.（湖北赛区选拔赛试题）4.如图，梯形ABCD的两条对角线AC，BD相交于O点，且AO：CO3：2，则两条对角线将梯形分成的四个小三角形面积之比为_.（安徽省中考试题）第4题图第5题图第6题图5.如图，在四边形ABCD中，AD/BC，E是AB的中点，若DEC的面积为S，

9、则四边形ABCD的面积为()AB2SCD（重庆市竞赛试题）6.如图，在梯形ABCD中，AD/BC，B，C，E，M，F，N分别为AB，BC，CD，DA的中点，已知BC7，MN3，则EF的值为()A4BC5D6（全国初中数学联赛试题）7.如图，梯形ABCD中，AB/DC，E是AD的中点，有以下四个命题：若ABDCBC，则BEC；若BEC，则ABDCBC；若BE是ABC的平分线，则BEC；若ABDCBC，则CE是DCB的平分线.其中真命题的个数是()A1个B2个C3个D4个（重庆市竞赛试题）8.如图，四边形ABCD是一梯形，AB/CD，ABC，AB9cm，BC8cm，CD7cm，M是AD的中点，从M

10、作AD的垂线交BC于N，则BN的长等于()A1cmB1.5cmC2cmD2.5cm（“希望杯”邀请赛试题）9.如图，在梯形ABCD中，AB/DC，M是腰BC的中点，MNAD.求证：（山东省竞赛试题）10.如图，在梯形ABCD中，AD/BC，分别以两腰AB，CD为边向两边作正方形ABGE和正方形DCHF，设线段AD的垂直平分线交线段EF于点M.求证：点M为EF的中点.（全国初中数学联赛试题） 11.已知一个直角梯形的上底是3，下底是7，且两条对角线的长都是整数，求此直角梯形的面积.（“东方航空杯”上海市竞赛试题） 12.如图1，平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过矩形OABD的边BD的三等分点

11、（）交AB于E，AB12，四边形OEBF的面积为16.（1）求值.（2）已知，点P从A动身以0.5cm/s速度沿AB、BD向D运动，点Q从C同时动身，以1.5cm/s的速度沿CO，OA，AB向B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.从运动起先，经过多少时间，四边形PQCB为等腰梯形（如图2）.（3）在（2）条件下，在梯形PQCB内是否有一点M，使过M且与PB，CQ分别交于S，T的直线把PQCB的面积分成相等的两部分，若存在，请写出点M的坐标及CM的长度；若不存在，请说明理由. 八年级数学竞赛例题专题-整体与完形 专题28整体与完形 阅读与思索很多几何问题，常因图形困难、不规则

12、而给解题带来困难，这些困难、不规则的图形，从整体考虑，可看作某种图形的一部分，假如将它们补充完整，就可得到常见的特别图形，那么就能利用特别图形的特别性质转化问题，这就是解几何问题的补形法，常见的补形方法有：1.将原图形补形为最能体现相关定理、推论、公理的基本图形；2.将原图形补形为等腰三角形、等边三角形、直角三角形等特别三角形；3.将原图形补形为平行四边形、矩形、正方形、梯形等特别四熟识以下图形：例题与求解【例1】如图，已知CDAF，CDEBAF，ABBC，E，C，则AFE_度.(北京市竞赛试题)解题思路：有平行的条件，不妨将六边形补形为较为规整的平行四边形. 【例2】设分别是ABC的三边长，

13、且满意，则它的内角A、B的关系是（）.A.B2AB.B2AC.B2AD.不确定（全国初中数学竞赛试题）解题思路：从化简已知等式入手，并补出相应的图形. 【例3】如图1，BD，CE分别是ABC的外角平分线，过点A作AFBD，AGCE，垂足分别为F，G，连结FG，延长AF，AG，与直线BC相交，易证.若（1）BD，CE分别是ABC的内角平分线（如图2）；（2）BD为ABC的内角平分线；（3）CE为ABC的外角平分线（如图3），则在图2、图3两种状况下，线段FG与ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种状况赐予证明.（黑龙江省中考试题）解题思路：既有平分线又有垂线，联想到等腰三角

14、形性质，考虑将图形补成等腰三角形. 【例4】如图，四边形ABCD中，ABC，BCD，AB，BC，CD，求AD的长.（全国初中数学竞赛试题）解题思路：由于四边形ABCD是一般四边形，所以干脆求AD比较困难，应设法将AD转化为特别三角形的边.例4题图例5题图【例5】如图，凸八边形中，试证明：该凸八边形内随意一点到8条边的距离之和是一个定值.（山东省竞赛试题）解题思路：本例是一个几何定值证明问题，关键是将八边形问题转化为三角形或四边形问题来解决，若连结对角线，则会破坏一些已知条件，应当考虑向外补形. 【例6】如图，在ABC中，ABC，点D在边BC上，ADC，且.将ACD以直线AD为轴作轴对称变换，得

15、到，连结.(1)证明：;(2)求C的大小.（全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题）解题思路：本题分别考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定及轴对称的性质，解题的关键是利用角平分线的性质与判定构造全等三角形，然后利用全等三角形的性质即可解决问题. 实力训练1.如图，在四边形ABCD中，AC，ABAD，若这个四边形的面积为12，则BCCD_.（山东省竞赛试题）2.如图，凸五边形ABCDE中，AB，EAABBC，CDDE，则这个五边形的面积为_.（美国AHSME试题）3.如图，一个凸六边形六个内角都是，其中连续四条边的长依次为，则该六边形的周长为_.4.如图，ABCDEF是正六边形，M，N

16、分别是边CD，DE的中点，线段AM与BN相交于P，则 _.（浙江省竞赛试题）5.如图，长为的三条线段交于O点，并且，则三个三角形的面积和_（填“”，“”，或“”）.（“希望杯”邀请赛试题）6.如图，在四边形ABCD中，A，BD，BC，CD，则AB().A.B.C.D.（广西壮族自治区中考试题）7.如图，在ABC中，M为BC中点，AN平分A，ANBN于N，且AB，AC，则MN等于（）.A.B.C.D.8.如图，在四边形ABCD中，ABBC，ABCCDA，BEAD于E，则BE的长为（）A.B.C.D.9.如图，在四边形ABCD中，AB，BC，CD，B，C，则D等于（）A.B.C.D.条件不够，无法

17、求出（重庆市竞赛试题） 10.如图，在ABC中，E是AC中点，D是BC边上一点，若BC，ABC，BAC，CED，求的值.11.如图，设是的斜边长，是直角边，求证：.（加拿大中学生竞赛试题）12.如图，已知八边形ABCDEFGH全部的内角都相等，而且边长都是整数.求证：这个八边形的对边相等.13.如图，设P为ABC的中位线DE上的一点，BP交AC于N，CP交AB于M，求证：.（齐齐哈尔市竞赛试题）14.一个圆内接八边形相邻的四条边长是，另四条边长是，求八边形的面积. 八年级数学竞赛例题专题-配方法 专题25配方法阅读与思索把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种

18、方法叫配方法，配方法是代数变形的重要手段，是探讨相等关系，探讨不等关系的常用技巧.配方法的作用在于变更式子的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具.配方法解题的关键在于“配方”，恰当的“拆”与“添”是配方常用的技巧，常见的等式有：1、2、3、4、配方法在代数式的求值，解方程、求最值等方面有较广泛的应用，运用配方解题的关键在于：(1)具有较强的配方意识，即由题设条件的平方特征或隐含的平方关系，如能联想起配方法.(2)具有整体把握题设条件的实力，即擅长将某项拆开又重新安排组合，得到完全平方式. 例题与求解【例1】已知实数，满意，那么_(“祖冲之杯

19、”邀请赛试题)解题思路：对题设条件实施变形，设法确定x，y的值. 【例2】若实数，c满意，则代数式的最大值是()A、27B、18C、15D、12(全国初中数学联赛试题)解题思路：运用乘法公式，将原式变形为含常数项及完全平方式的形式. 配方法的实质在于揭示式子的非负性，而非负数有以下重要性质；(1)非负数的最小值为零；(2)有限个非负数的和为零，则每一个非负数都为零.【例3】已知，求a+b+c的值.解题思路：题设条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式，怎样才能确定未知量的值呢？不妨用配方法试一试.复合根式的化简，含多元的根式等式问题，经常用到配方法. 【例4】证明数列49，4489，

20、444889，44448889，的每一项都是一个完全平方数.解题思路：，由此可猜想，只需完成从左边到右边的推导过程即可. 几个好玩的结论：(1)(2)这表明：只出现1个奇数或只出现1个偶数的完全平方数分别有无限多个. 【例5】一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满足，往上走一层楼梯感到3分不满足，现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层时，可以使得这32个人不满足的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯即干脆从楼梯上楼）(全国初中数学联

21、赛试题) 解题思路：通过引元，把不满足的总分用相关字母的代数式表示，解题的关键是对这个代数式进行恰当的配方，进而求出代数式的最小值.把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题条件的目的，这种解题方法叫配方法.配方法的作用在于变更代数式的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具. 【例6】已知自然数n使得为完全平方数，求n的值.(“希望杯”邀请赛试题) 解题思路：原式中n的系数为奇数，不能干脆配方，可想方法化奇为偶，解决问题. 实力训练1、计算=_.(“希望杯”邀请赛试题)2、已知，则.3、，y为实数，且

22、，则+y的值为_.4、当2时，化简代数式，得_.5、已知，当=_，y=_时，的值最小.(全国通讯赛试题) 6、若，则MN的值()A、负数B、正数C、非负数D、可正可负7、计算的值为()A、1B、C、D、(全国初中数学联赛试题)8、设，,为实数，则x，y，z中至少有一个值()A、大于零B、等于零C、不大于零D、小于零(全国初中数学竞赛试题)9、下列代数式表示的数肯定不是某个自然数的平方(其中n为自然数)的是()A、B、C、D、E、10、已知实数，c满意，则a+b+c的值等于()A、2B、3C、4D、5(河北省竞赛试题)解“存在”、“不存在”“至少存在一个”等形式的问题时，常从整体考虑并常常用到一

23、下重要命题：设x1，x2，x3,xn为实数.(1)若则x1，x2，x3,xn中至少有(或存在)一个为零；(2)若，则x1，x2，x3，xn中至少有(或存在)一个大于零；(3)若，则x1，x2，x3，xn中至少有(或存在)一个小于零. 11、解方程组(苏州市竞赛试题) 12、能使是完全平方数的正整数n的值为多少？(全国初中数学联赛试题) 13、已知，且，为自然数，求，的值.(天津市竞赛试题) 13、设a为质数，b为正整数，且，求，的值.(全国初中数学联赛试题) 14、某宾馆经市场调研发觉，每周该宾馆入住的房间数y与房间单价x之间存在如图所示的一次函数关系.(1)依据图象求y与x之间的函数关系式(0160)；(2)从经济效益来看，你认为该宾馆如何制定房间单价，能使其每周的住宿收入最高？每周最高住宿收入是多少元？ 第13页 共13页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页