2022年八年级数学竞赛讲座第二十七讲图形的折叠剪拼与分割人教新课标版 .pdf

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1、第二十七讲图形的折叠、剪拼与分割一页普通的纸， 童年时我们用稚气的双手把它折成有趣的动物，民间艺人可以把它剪成美丽的图案 折纸与剪纸是最富于自然情趣而又形象生动的实验，是丰富想象力与心灵手巧的结合对图形进行折叠与剪拼，是学习几何不可或缺的重要一环，通过折叠与剪拼图形，我们可 以发现一些几何结论并知晓这些结论是怎样被证明的把图形或部分沿某直线翻折叫图形的折叠，对图形通过有限次的剪裁再重新拼接成新的图形叫图形的剪拼解与图形折叠或剪拼相关的问题，利用不变量解题是关键，在折叠过程中，线段的长度、角的度数保持不变；在剪拼过程中，新图形与原图形的面积一般保持不变例题求解【例 1】 如图，有一块直角三角形纸

2、片，两直角边AC=6， BC=8，现将直角边AC沿直线 AD折叠，使它落在斜边AB上，且与 AE重合，则CD等于 (南通市中考题 ) 思路点拨设 CD=x ，由折叠的性质实现等量转换，将条件集中到RtBDE中，建立x的方程注图形折叠与剪拼问题可考壹我们的动手操作能力和分析推理能力，解题时需要把计算、推理与合 情想象结合起来折叠问题可以对称观点认识： (1)折痕两边是全等的； (2)对应点连线被折痕垂直平分解折叠问题常用到勾股定理、相似形、方程思想等知识与方法【例 2】如图，在矩形ABCD中， AB=8 ，BC=4 ，将矩形沿AC折叠，则重叠部分AFC的面积 为( ) A12 D10 C8 D

3、6 (20XX年武汉市选拔赛试题) 思路点拨只需求出 AF长即可【例 3】取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 第一步：先把矩形ABCD 对折，折痕为MN ，如图 1；第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点 B在 MN上的对应点为B，得 RtABE，如图 2；第三步：沿EB线折叠得折痕EF，如图 3利用展开图4 探究： (1)AEF是什么三角形 ?证明你的结论 (2)

4、对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形?请说明理由 (山西省中考题) 思路点拨本例没有现成的结论，需经历实验、观察、猜想、证明等数学活动，从而探究得到结论【例 4】如图，是从边长为40cm 、宽为 30cm的矩形钢板的左上角截取一块长为20cm 、宽为 10cm的矩形后，剩下的一块下脚料工人师傅要将它作适当地切割，重新拼接后焊成一个面积与原下脚料的面积相等，接缝尽可能短的正方形工件 (1)请根据上述要求，设计出将这块下脚料适当分割成三块或三块以上的两种不同的拼接方案 ( 在图 2 和图 3 中分别画出切割时所沿的虚线，以及拼接后所得到的正方形，保留拼接的痕迹 )；(2) 比较 (1)

5、 中的两种方案，哪种更好一些?说说你的看法和理由（山东省中考题) 思路点拨拼接后正方形的边长为221030，它恰是以 30cm和 10cm为两直角边的直角三角形的斜边的长， 为此可考虑设法在原钢板上构造两直角边长分别为30 和 l0cm 的直角三角形，这是解本例的关键注 有效的数学学习过程不能单纯地依赖模仿与记忆，应该通过观察、实验、操作、猜测、验证、 推理等数学活动，形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略，从而使知识得到内化，形成能力近年中考中涌现的设计新颖、富有创意的折叠、 剪拼与分割等问题，注重对动手实践操作、应用意识、学习潜能的考查【例 5】用 10 个边长分别为3，5，6，11，1

6、7，19，22，23，24，25 的正方形，可以拼接成一个矩形 (1)求这个矩形的长和宽； (2)请画出拼接图思路点拨利用拼接前后图形面积不变求矩形的长和宽；运用矩形对边相等这一性质画拼接图【例 6】 如图，已知 ABC中， B=C=30，请设计三种不同的分法，将ABC分割成四个三角形， 使得其中两个是全等三角形，而另外两个是相似但不全等的直角三角形请画出分割线段，标出能够说明分法的所得三角形的顶点和内角度数( 或记号 ) ( 画图工具不名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第

7、 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 限， 不要求证明，不要求写出画法) (温州市中考题) 思路点拨充分运用几何计算、推理和作图，综合运用动手操作、空间想象、解决问题学力训练1 将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕( 图中虚线 ) ，继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到 7 条折痕，那么对折四次可以得到条折痕，如果对折n 次，可以得到条折痕(20XX 年南宁市中考题) 2 一张直角三角形的纸片，像图中那样折叠， 使两个锐角顶点A、 B重合，若 B=30， AC=3，则折痕 DE的长等于 ( 三明市中考题 ) 3如图，将一块长为12

8、的正方形纸片ABCD 的顶点 A折至 DC边上的点E，使 DE5，折痕为 PQ ，则线段PM= 4在 ABC中 ，已知 AB=20 ， A=30， CD是 AB边的中线，若将ABC沿 CD对折起来，折叠后两个小三角形ACD与三角形 BCD重叠部分的面积恰好等于折叠前ABC的面积的41，有如下结论： AC边的长可以等于a；折叠前的 ABC的面积可以等于223a；折叠后，以 A、B为端点的线段AB与中线 CD平行且相等，其中，正确结论有个 (天津市中考题) 5将四个相同的矩形( 长是宽的3 倍)，用不同的方式拼成一个大矩形，设拼得大矩形的面积是四个小矩形的面积和，则大矩形周长的值只可能有( ) A

9、1 种 B2 种 C3 种 D4 种 (20XX年南昌市中考题) 6如图，把 ABC纸片沿 DE折叠，当点A落在四边形BCDE 内部时，则 A与 1+2 之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是( ) A A=1+2 B2A1+2 C3A21+2 D 3A=2(l+ 2) (北京市海淀区中考题) 7将一张矩形纸对折再对折( 如图 ) ，然后沿着图中的虚线剪下，得到、两部分将展开后得到的平面图形是( ) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页

10、，共 8 页 - - - - - - - - - A 矩形 B三角形 C 梯形 D菱形 (陕西省中考题 ) 8如图 1，小强拿一张正方形的纸，沿虚线对折一次得图2，再对折一次得图3，然后用剪刀沿图 3 中的虚线剪去一个角，再打开后的形状是( ) (济南市中考题) 9如图，东风汽车公司冲压厂冲压汽车零件的废料都是等腰三角形的小钢板，其中AB=AC ，该冲压厂为了降低汽车零件成本，变废为宝， 把这些废料再加工成红星农业机械厂粉碎机上的零件，销售给红星农业机械厂，这些零件的形状都是矩形现在要把如图所示的等腰三角形钢板切割后再焊接成两种不同规格的矩形，每种矩形的面积正好等于该三角形的面积，每次切割的次

11、数最多两次( 切割的损失可忽略不计) (1)请你设计两种不同的切割焊接方案，并用简要的文字加以说明； (2)若要把该三角形废料切割后焊接成正方形零件( 只切割一次 ) ，则该三角形需满足什么条件 ? (十堰市中考题 ) 10如图， ABCD是矩形纸片， E是 AB上一点，且BE ：EA 5：3，EC=155，把 BCE沿折痕 EC向上翻折，若点B恰好落在 AD边上，设这个点为F，求 AB 、BC的长11如图，在 ABC中， AB 3，AC 4，BC=5，现将它折叠，使点B与点 C重合，则折痕的长是 (四川省竞赛题 ) 12如图，一张矩形纸片沿BC折叠，顶点A 落在点 A，处，第二次过A，再折叠

12、，使折痕DE BC ，若 AB=2，AC=3 ，则梯形 BDEC 的面积为 ( “宇振杯”上海市竞赛题) 13如图，将矩形ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成既无缝隙又无重叠的四边形EFGH ，若EH 3，EF 4，那么线段AD与 AB的比等于 ( “希望杯”邀请赛试题) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 14要剪切如图l( 尺寸单位 mm) 所示的两种直角梯形零件，且使两种零件的数量相等有两种面积相等的矩形铝板，

13、第一种长 500mm ，宽 300mm( 如图 2)；第二种长600mm ，宽 250mm( 如图 3) ；可供选用 (1)填空：为了充分利用材料，应选用第种铝板，这时一块铝板最多能剪甲、乙两种零件共个，剪出这些零件后，剩余的边角料的面积是 mm2(2) 画图，从图2 或图 3 中选出你要用的铝板示意图，在上面画出剪切线，并把边角余料用阴影表示出来15如图， EF为正方形 ABCD的对折线，将A沿 DK折叠使它的顶点A落在 EF上的 G点，则 DKG为( ) A15 B30 C55 D7516某班在布置新年联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图，在 RtABC中，C90

14、，AC=30，AB=50cm ，依次裁下宽为1 的矩形纸条a1，a2， a3，若使裁得的矩形纸条的长都不小于5cm ，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是( ) A24 B25 C 26 D27 (山东省济南市中考题) 17如图，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，设a1，则这个正方形的面积为 ( ) A2537 B253 C 251 D2)21( (20XX年山东省竞赛题) 18如图，已知RtABC中， C90，沿过点月的一条直线BE折叠这个三角形，使点C落在 AB边上的点为D，要使点 D恰为 AB的中点，问在图中还需添加什么条件? (1) 写出两个满足边的条件；(2) 写出

15、两个满足角的条件；(3) 写出一个满足除边角以外的其他条件 (黄冈市竞赛题) 19如图，正方形纸片ABCD 中，E为 BC的中点， 折叠正方形，使点A与点 E重合，压平后，得折痕 MN ，设梯形ADMN 的面积为 S1，梯形 BCMN 的面积为S2，求21SS的值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 20已知一个三角形纸片ABC ，面积为 25，BC的长为 l0 ， B、 C都为锐角， M为 AB边上的一动点 (M与

16、A、B不重合 ) ，过点 M作 MN BC交 AC于点 N，设 MN=x (1) 用 x 表示 AMN 的面积；(2) AMN 沿 MN折叠，使AMN 紧贴四边形BCNM( 边 AM 、AN落在四边形BCNM 所在的平面内) ，设点 A落在平面 BCNM 内的点 A， A MN与四边形 BCNM 重叠部分的面积为y用的代数式表示y，并写出 x 的取值范围当 x 为何值时，重叠部分的面积y 最大，最大为多少? 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -