初高级中学数学衔接教材(已整理编辑.).doc

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1、目录第一章第一章 数与式数与式 1.1 数与式的运算数与式的运算 1.1.1 绝对值 1.1.2 乘法公式 1.1.3 二次根式 1.1.4 分式 1.2 分解因式分解因式 第二章第二章 二次方程与二次不等式二次方程与二次不等式 2.1 一元二次方程一元二次方程 2.1.1 根的判别式 2.1.2 根与系数的关系2.2 二次函数二次函数 2.2.1 二次函数 y=ax2+bx+c 的图像和性质 2.2.2 二次函数的三种表达方式 2.2.3 二次函数的应用2.3 方程与不等式方程与不等式 2.3.1 二元二次方程组的解法 第三章第三章 相似形、三角形、圆相似形、三角形、圆 3.1 相似形相似形

2、 3.1.1 平行线分线段成比例定理 3.1.2 相似三角形形的性质与判定3.2 三角形三角形 3.2.1 三角形的五心 3.2.2 解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用3.3 圆圆 3.3.1 直线与圆、圆与圆的位置关系：圆幂定理 3.3.2 点的轨迹 3.3.3 四点共圆的性质与判定 3.3.4 直线和圆的方程（选学）初中升高中数学教材变化分析初中升高中数学教材变化分析21.11.1 数与式的运算数与式的运算1.1绝对值绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反 数，零的绝对值仍是零即 ,0,|0,0,0.aaaaa a 绝对值的几何意义：一个数的

3、绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距 离 两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数 和数 之间的距ba ab离 例 1 解不等式：413xx解法一：由，得；由，得；01x1x30x3x 若，不等式可变为，1x(1)(3)4xx 即4，解得 x0，24x 又 x1， x0； 若，不等式可变为，12x(1)(3)4xx 即 14， 不存在满足条件的 x； 若，不等式可变为，3x (1)(3)4xx 即4， 解得 x424x 又 x3， x4 综上所述，原不等式的解为x0，或 x4 解法二：如图 111，表示 x 轴上坐标为 x 的点 P 到坐标为 1 的点1xA 之间的距离|PA|，即|PA

4、|x1|；|x3|表示 x 轴上点 P 到坐标为 2 的点 B 之间的距离|PB|， 即|PB|x3| 所以，不等式4 的几何意义即13xx为 |PA|PB|4 由|AB|2，可知13ABx04CDxP|x1|x3|图 111初中升高中数学教材变化分析初中升高中数学教材变化分析3点 P 在点 C(坐标为 0)的左侧、或点 P 在点 D(坐标为 4)的右侧x0，或 x4 练 习 1填空： （1）若，则 x=_；若，则 x=_.5x4x（2）如果，且，则 b_；若，则5 ba1a21cc_. 2选择题： 下列叙述正确的是 （ ） （A）若，则 （B）若，则 abababab（C）若，则 （D）若，

5、则abababab 3化简：|x5|2x13|（x5） 1.1.2. 乘法公式乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 ；22()()ab abab （2）完全平方公式 222()2abaabb 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式 ；2233()()ab aabbab （2）立方差公式 ；2233()()ab aabbab （3）三数和平方公式 ；2222()2()abcabcabbcac （4）两数和立方公式 ；33223()33abaa babb （5）两数差立方公式 33223()33abaa babb 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学

6、可以自己去证明 例例 1 计算：22(1)(1)(1)(1)xxxxxx 解法一：解法一：原式=2222(1) (1)xxx=242(1)(1)xxx=61x 解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)xxxxxx=33(1)(1)xx=61x 例 2 已知，求的值4abc4abbcac222abc 解： 2222()2()8abcabcabbcac 练 习 1填空：（1）（ ） ；221111()9423abba（2） ；(4m22)164(mm)(3 ) 2222(2)4(abcabc) 2选择题：初中升高中数学教材变化分析初中升高中数学教材变化分析4（1）若是一个完全平方式，则 等于 （

7、 21 2xmxkk）（A） （B） （C） （D）2m21 4m21 3m21 16m（2）不论 ， 为何实数，的值 （ ab22248abab ）（A）总是正数 （B）总是负数 （C）可以是零 （D）可以是正数也可以是 负数1.1.3二次根式二次根式一般地，形如的代数式叫做二次根式根号下含有字母、且不能(0)a a 够开得尽方的式子称为无理式. 例如 ，等是无理式，而232aabb22ab，等是有理式22212xx222xxyy2a1分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化分母（子）有理化为了进行分母（子） 有理化，需要引入有理化因式的概念两个含有二次根式的代数式相乘

8、，如果 它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与2 ，与，与，与，等等 一般地，23 aa36362 33 22 33 2 与，与，与互为有理化因式a xxa xbya xbya xba xb 分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的 根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分 子中的根号的过程 在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行， 运算中要运用公式；而对于二次根式的除法，通常先写成(0,0)a bab ab 分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加 减法类似，

9、应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式2二次根式的意义2a2aa,0, ,0.aa a a 例 1 将下列式子化为最简二次根式： （1）； （2）； （3）12b2(0)a b a 64(0)x y x 解： （1）；122 3bb（2）；2(0)a baba b a（3）633422(0)x yxyxy x 例例 2 计算：3(33)初中升高中数学教材变化分析初中升高中数学教材变化分析5解法一： 3(33)3 333 (33) (33)(33) 3 33 93 3( 31) 631 2解法二解法二： 3(33)3 333 3( 31)1 3131 ( 31)( 31) 31 2例 3 试比

10、较下列各组数的大小：（1）和； （2）和.121111102 642 26解： （1），1211( 1211)( 1211)11211112111211，1110( 1110)( 1110)11110111101110 又，12111110 12111110（2）2 26(2 26)(2 26)22 26,12 262 26+又 42，242，662.2 642 26例 4 化简：20042005( 32)( 32)解：20042005( 32)( 32)20042004( 32)( 32)( 32)2004( 32) ( 32)( 32)20041( 32)32例 5 化简：（1）； （2）

11、94 52 212(01)xxx解：（1）原式 54 5422( 5)2 252 2(25)2552（2）原式=，21()xx1xx初中升高中数学教材变化分析初中升高中数学教材变化分析6，所以，原式01x11xx 1xx例 6 已知，求的值 3232,3232xy22353xxyy解： ，223232( 32)( 32)103232xy，323213232xy22223533()113 1011289xxyyxyxy 练 习1填空：（1）_ _；13 13 （2）若，则 的取值范围是_ _ _；2(5)(3)(3) 5x xxxx （3）_ _；4 246 543 962 150（4）若，则_

12、 _5 2x 1111 1111xxxx xxxx 2选择题：等式成立的条件是 （ 22xx xx ） （A） （B） （C） （D）2x 0x 2x 02x3若，求的值2211 1aaba ab4比较大小：2 （填“”，或“”） 3541.1.分式1分式的意义形如的式子，若 B 中含有字母，且，则称为分式分式当 M0 时，A B0B A B分式具有下列性质：A B； AA M BBMAAM BBM上述性质被称为分式的基本性质2繁分式像，这样，分子或分a b cd2mnp m np母中又含有分式的分式叫做繁分式繁分式例 1 若，求常数的值54 (2)2xAB x xxx,A B初中升高中数学教

13、材变化分析初中升高中数学教材变化分析7解： ，(2)()254 2(2)(2)(2)ABA xBxAB xAx xxx xx xx x 解得 5, 24,AB A 2,3AB例 2 （1）试证：（其中 n 是正整数） ；111 (1)1n nnn（2）计算：；111 1 22 39 10（3）证明：对任意大于1 的正整数n， 有1111 2 33 4(1)2n n（1）证明：，11(1)1 1(1)(1)nn nnn nn n（其中 n 是正整数）成立111 (1)1n nnn （2）解：由（1）可知111 1 22 39 1011111(1)()()2239101110 9 10 （3）证明

14、：，111 2 33 4(1)n n111111()()()23341nn11 21n又 n2，且 n 是正整数，一定为正数，1n1 111 2 33 4(1)n n12例 3 设，且 e1，2c25ac2a20，求 e 的值cea解：在 2c25ac2a20 两边同除以 a2，得2e25e20，(2e1)(e2)0，e 1，舍去；或 e212e2 练 习1填空题：对任意的正整数 n， ()；1 (2)n n11 2nn 2选择题：若，则 （ 22 3xy xyx y ）（A） （B） （C） （D）5 44 56 5初中升高中数学教材变化分析初中升高中数学教材变化分析83正数满足，求的值,

15、x y222xyxyxy xy 4计算1111.1 22 33 499 100习题习题 11 A 组组 1解不等式： (1) ； (2) ；13x327xx(3) 116xx已知，求的值1xy333xyxy 3填空： （1）_；1819(23) (23)（2）若，则 的取值范围是_；22(1)(1)2aaa（3）_11111 1223344556B 组组 1填空： （1），则_ _；1 2a 1 3b 2223 352aab aabb（2）若，则_ _；2220xxyy22223xxyy xy2已知：，求的值11,23xyyyxyxy C 组组 1选择题： （1）若，则 （ 2ababba ）

16、（A） （B） （C） （D）abab0ab0ba（2）计算等于 1aa（ ） （A） （B） （C） （D）aaa a2解方程2 2112()3() 10xxxx 3计算：1111 1 32 43 59 114试证：对任意的正整数 n，有 111 1 2 32 3 4(1)(2)n nn 141.21.2 因式分解因式分解初中升高中数学教材变化分析初中升高中数学教材变化分析9因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解 法，另外还应了解求根法及待定系数法1十字相乘法例 1 分解因式：（1）x23x2； （2）x24x12；（3）； （4）22()xab xyaby1xyx

17、y 解：（1）如图 111，将二次项 x2分解成图中的两个 x 的积，再将常数 项 2 分解成1 与2 的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为3x， 就是 x23x2 中的一次项，所以，有 x23x2(x1)(x2)说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图 111 中 的两个 x 用 1 来表示（如图 112 所示） （2）由图 113，得 x24x12(x2)(x6) （3）由图 114，得22()xab xyaby()()xay xby （4）xy(xy)11xyxy (x1) (y+1) （如图 115 所示） 课堂练习 一、填空题： 1、把下列各式分解因式： （1）_

18、。652xx （2）_。652xx （3）_。652xx （4）_。652xx （5） _。axax12（6）_。18112xx （7）_。2762xx （8）_。91242mm （9）_。2675xx （10） _。22612yxyx 2、 3 42xxxx 3、若则，。422xxbaxx a b 二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的）12xx图 1111211图 1122611图 113aybyxx图 11411xy图 115初中升高中数学教材变化分析初中升高中数学教材变化分析101、在多项式（1）（2）（3）（4）672 xx342 xx862 xx1072 xx（5）中，有相

19、同因式的是（ ）44152xx A、只有（1） （2） B、只有（3） （4） C、只有（3） （5） D、 （1）和（2） ；（3）和（4） ；（3）和（5） 2、分解因式得（ ）22338baba A、 B、 C、 D、3 11aababa3 11baba3 11 baba3 113、分解因式得（ ）2082baba A、 B、2 10baba4 5baba C、 D、10 2baba5 4baba 4、若多项式可分解为，则 、 的值是（ ）axx32bxx5ab A、， B、， C、， D、，10a2b10a2b10a2b10a 2b 5、若其中 、 为整数，则的值为（ ）bxaxmxx

20、 102abm A、 或 B、 C、 D、或393939 三、把下列各式分解因式 1、 2、3211262pqqp22365abbaa3、 4、6422 yy8224 bb2提取公因式法例 2 分解因式：（1）（2） baba55232933xxx 解： （1） =baba552) 1)(5(aba （2）=32933xxx32(3)(39)xxx2(3)3(3)xxx=2(3)(3)xx或 32933xxx32(331)8xxx3(1)8x33(1)2x 22(1)2(1)(1) 22 xxx 2(3)(3)xx 课堂练习： 一、填空题： 1、多项式中各项的公因式是_。xyzxyyx4262

21、2 2、_。 yxxynyxm 3、_。222yxxynyxm初中升高中数学教材变化分析初中升高中数学教材变化分析114、_。 zyxxzynzyxm 5、_。zyxzyxzyxm 6、分解因式得_。523623913xbaxab 7计算= 99992 二、判断题：（正确的打上“” ，错误的打上“” ） 1、 （ baababba24222） 2、 （ bammbmam ） 3、 （ 5231563223xxxxxx ） 4、（ 111xxxxnnn）3：公式法 例 3 分解因式：（1） （2）164a2223yxyx 解：(1)=164a)2)(2)(4()4)(4()(4222222aaa

22、aaa (2) =2223yxyx)32)(4()23)(23(yxyxyxyxyxyx课堂练习 一、，的公因式是222baba22ba 33ba _。二、判断题：（正确的打上“” ，错误的打上“” ）1、 （ ）1 . 0321 . 0321 . 03201. 09422 2xxxx2、 （ babababa43 4343892222 ） 3、 （ bababa45 4516252 ） 4、 （ yxyxyxyx 2222） 5、（ cbacbacba 22） 五、把下列各式分解1、 2、229nmnm3132x3、 4、22244xx1224 xx初中升高中数学教材变化分析初中升高中数学教

23、材变化分析124分组分解法例 4 （1） （2）xyxyx332222456xxyyxy（2）=222456xxyyxy222(4)56xyxyy=22(4)(2)(3)xyxyy(22)(3)xyxy 或 =222456xxyyxy22(2)(45 )6xxyyxy=(2)()(45 )6xy xyxy=(22)(3)xyxy课堂练习：用分组分解法分解多项式（1）byaxbayx222222 （2）91264422bababa5关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c(a0)的因式分解 若关于若关于 x 的方程的方程的两个实数根是的两个实数根是、，则二次三项式，则二次三项式20(0)axbx

24、ca1x2x 就可分解为就可分解为.2(0)axbxc a12()()a xxxx 例 5 把下列关于 x 的二次多项式分解因式： （1）； （2）221xx2244xxyy 解： （1）令=0，则解得，221xx112x 212x =221xx( 12)( 12)xx =(12)(12)xx （2）令=0，则解得，2244xxyy1( 22 2)xy 1( 22 2)xy =2244xxyy2(12) 2(12) xy xy 练 习 1选择题： 多项式的一个因式为 （ ）22215xxyy （A） （B） （C） （D）25xy3xy3xy5xy 2分解因式： （1）x26x8； （2）8a

25、3b3； （3）x22x1； （4）4(1)(2 )xyy yx 习题习题 12 1分解因式：初中升高中数学教材变化分析初中升高中数学教材变化分析13（1） ； （2）； 31a 424139xx （3）； （4）22222bcabacbc2235294xxyyxy 2在实数范围内因式分解： （1） ； （2）； 253xx22 23xx （3）； （4）2234xxyy222(2 )7(2 ) 12xxxx 3三边 ， ， 满足，试判定的形状ABCabc222abcabbccaABC 4分解因式：x2x(a2a)5. （尝试题）已知 abc=1，a+b+c=2，a+b+c=，求+1-cab1

26、 1-abc1 的值.1-bca1 2.12.1 一元二次方程一元二次方程2.1.1 根的判别式根的判别式情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法，情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法， 如求方程的根（如求方程的根（1）(2) (3) 0322 xx0122 xx0322 xx我们知道，对于一元二次方程 ax2bxc0（a0） ，用配方法可以将其变 形为 2 2 24()24bbacxaa因为 a0，所以，4a20于是 （1）当 b24ac0 时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不 相等的实数根x1，2；24 2bbac a （2）当 b24ac0 时，

27、方程的右端为零，因此，原方程有两个等的实数 根x1x2；2b a （3）当 b24ac0 时，方程的右端是一个负数，而方程的左边一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根2()2bxa由此可知，一元二次方程 ax2bxc0（a0）的根的情况可以由 b24ac 来判定，我们把 b24ac 叫做一元二次方程 ax2bxc0（a0）的根的判别根的判别 式式，通常用符号“”来表示 综上所述，对于一元二次方程对于一元二次方程 ax2bxc0（a0） ，有，有（1）当当 0 时，方程有两个不相等的实数根时，方程有两个不相等的实数根 x1，2；24 2bbac a 初中升高中数学教材变化分析初中升高中数学教材

28、变化分析14（2）当）当 0 时，方程有两个相等的实数根时，方程有两个相等的实数根 x1x2；2b a （3）当）当 0 时，方程没有实数根时，方程没有实数根 例 1 判定下列关于 x 的方程的根的情况（其中 a 为常数） ，如果方程有实 数根，写出方程的实数根 （1）x23x30； （2）x2ax10； （3） x2ax(a1)0； （4）x22xa0 解：（1）3241330，方程没有实数根 （2）该方程的根的判别式 a241(1)a240，所以方程一定有 两个不等的实数根， 214 2aax224 2aax（3）由于该方程的根的判别式为 a241(a1)a24a4(a2)2， 所以， 当

29、 a2 时，0，所以方程有两个相等的实数根x1x21； 当 a2 时，0， 所以方程有两个不相等的实数根x11，x2a1 （3）由于该方程的根的判别式为 2241a44a4(1a)， 所以 当 0，即 4(1a) 0，即 a1 时，方程有两个不相等的实数根， ；111xa 211xa 当 0，即 a1 时，方程有两个相等的实数根x1x21；当 0，即 a1 时，方程没有实数根 说明：说明：在第 3，4 小题中，方程的根的判别式的符号随着 a 的取值的变化 而变化，于是，在解题过程中，需要对 a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做 分类讨论分类讨论分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法

30、，在今后 的解题中会经常地运用这一方法来解决问题2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程 ax2bxc0（a0）有两个实数根，214 2bbacxa 224 2bbacxa 则有初中升高中数学教材变化分析初中升高中数学教材变化分析15；2212442 222bbacbbacbbxxaaaa 2222122244(4)4 2244bbacbbacbbacaccx xaaaaa 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果如果 ax2bxc0（a0）的两根分别是）的两根分别是 x1，x2，那么，那么 x1x-2，x1x2这一关系也被称为韦达定理韦达定理

31、b ac a 特别地，对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2pxq0，若 x1，x2是其 两根，由韦达定理可知 x1x2p，x1x2q， 即 p(x1x2)，qx1x2， 所以，方程 x2pxq0 可化为 x2(x1x2)xx1x20，由于 x1，x2是一 元二次方程 x2pxq0 的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程 x2(x1x2) xx1x20因此有 以两个数以两个数 x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为为根的一元二次方程（二次项系数为 1）是）是 x2(x1x2)xx1x20 例 2 已知方程的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值2560xkx 分析：由于已知了方程的

32、一个根，可以直接将这一根代入，求出 k 的值， 再由方程解出另一个根但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来 解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利 用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出 k 的值 解法一：2 是方程的一个根，522k260，k7所以，方程就为 5x27x60，解得 x12，x2 3 5所以，方程的另一个根为 ，k 的值为73 5解法二：设方程的另一个根为 x1，则 2x1 ，x1 6 53 5由 （ ）2，得 k73 55k所以，方程的另一个根为 ，k 的值为73 5例 3 已知关于 x 的方程 x22(m2)xm240 有两个实

33、数根，并且 这两个实数根的平方和比两个根的积大 21，求 m 的值 分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大 21 得到关于 m 的方程，从而解得 m 的值但在解题中需要特别注意的是，由于 所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零 解：设 x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得x1x22(m2)，x1x2m24x12x22x1x221，(x1x2)23 x1x221，初中升高中数学教材变化分析初中升高中数学教材变化分析16即 2(m2)23(m24)21， 化简，得 m216m170， 解得 m1，或 m17 当 m1 时，方程为 x26x50，0，满足题意； 当

34、m17 时，方程为 x230x2930，302412930，不合题意， 舍去 综上，m17 说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根 所对应的 m 的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大 21”求出 m 的值，取满足条件的 m 的值即可 （1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根 的判别式 是否大于或大于零因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有 实数根 例 4 已知两个数的和为 4，积为12，求这两个数 分析：我们可以设出这两个数分别为 x，y，利用二元方程求解出这两个 数也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解 解法一：设这两个数

35、分别是 x，y， 则 xy4， xy12 由，得 y4x， 代入，得 x(4x)12， 即 x24x120， x12，x26 或112,6,xy 226,2.xy 因此，这两个数是2 和 6 解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程 x24x120 的两个根解这个方程，得 x12，x26 所以，这两个数是2 和 6 说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解 题）要比解法一简捷 例 5 若 x1和 x2分别是一元二次方程 2x25x30 的两根（1）求| x1x2|的值； （2）求的值；（3）x13x2322 1211 xx解：x1和 x2分别是一元二次方程 2x25x30 的两根，125 2xx 123 2x x （1）| x1x2|2x12+ x222 x1x2(x1x2)24 x1x26，253()4 ()22 25 449 4初中升高中数学教材变化分析初中升高中数学教材变化分析17| x1x2|7 2（2）2222 121212 2222221212125325()2 ()3()21137224 39()9()24xxxxx x xxxxx x （3）x13x23(x1x2)( x12x1x2x22)(x1x2) ( x1x2) 23x1x2()()23()