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初高中数学衔接教材
1.乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式 ；
（2）完全平方公式 ．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式 ；
（2）立方差公式 ；
（3）三数和平方公式 ；
（4）两数和立方公式 ；
（5）两数差立方公式 ．
对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．
例1 计算：．
解法一：原式=
=
=．
解法二：原式=
=
=．
例2 已知，，求的值．
解： ．
练 习
1．填空：
（1）（ ）；
（2） ；
(3 ) ．
2．选择题：
（1）若是一个完全平方式，则等于 （ ）
（A） （B） （C） （D）
（2）不论，为何实数，的值 （ ）
（A）总是正数 （B）总是负数
（C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数
2．因式分解
因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．
1．十字相乘法
例1 分解因式：
（1）x2－3x＋2； （2）x2＋4x－12；
（3）； （4）．
解：（1）如图1．1－1，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以，有
x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．
－ay
－by
x
x
图1．1－4
－2
6
1
1
图1．1－3
－1
－2
1
1
图1．1－2
－1
－2
x
x
图1．1－1
说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1中的两个x用1来表示（如图1．1－2所示）．
（2）由图1．1－3，得
x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．
（3）由图1．1－4，得
－1
1
x
y
图1．1－5
＝
（4）＝xy＋(x－y)－1
＝(x－1) (y+1) （如图1．1－5所示）．
课堂练习
一、填空题：
1、把下列各式分解因式：
（1）__________________________________________________。
（2）__________________________________________________。
（3）__________________________________________________。
（4）__________________________________________________。
（5）__________________________________________________。
（6）__________________________________________________。
（7）__________________________________________________。
（8）__________________________________________________。
（9）__________________________________________________。
（10）__________________________________________________。
2、
3、若则，。
二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的）
1、在多项式（1）（2）（3）（4）
（5）中，有相同因式的是（ ）
A、只有（1）（2） B、只有（3）（4）
C、只有（3）（5） D、（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5）
2、分解因式得（ ）
A、 B、 C、 D、
3、分解因式得（ ）
A、 B、
C、 D、
4、若多项式可分解为，则、的值是（ ）
A、， B、， C、， D、，
5、若其中、为整数，则的值为（ ）
A、或 B、 C、 D、或
三、把下列各式分解因式
1、 2、
3、 4、
2．提取公因式法
例2 分解因式：
（1） （2）
解： （1）．=
（2）==
=．
或
＝＝＝
＝ ＝
课堂练习：
一、填空题：
1、多项式中各项的公因式是_______________。
2、__________________。
3、____________________。
4、_____________________。
5、______________________。
6、分解因式得_____________________。
7．计算=
二、判断题：（正确的打上“√”，错误的打上“” ）
1、………………………………………………………… （ ）
2、…………………………………………………………… （ ）
3、…………………………………………… （ ）
4、……………………………………………………………… （ ）
3：公式法
例3 分解因式： （1） （2）
解：(1)=
(2) =
课堂练习
一、，，的公因式是______________________________。
二、判断题：（正确的打上“√”，错误的打上“” ）
1、………………………… （ ）
2、 ………………………………… （ ）
3、………………………………………………… （ ）
4、………………………………………… （ ）
5、……………………………………………… （ ）
五、把下列各式分解
1、 2、
3、 4、
4．分组分解法
例4 （1） （2）．
（2）=
==．
或
=
=
=．
课堂练习：用分组分解法分解多项式（1）
（2）
5．关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．
若关于x的方程的两个实数根是、，则二次三项式就可分解为.
例5 把下列关于x的二次多项式分解因式：
（1）； （2）．
解： （1）令=0，则解得，，
∴=
=．
（2）令=0，则解得，，
∴=．
练 习
1．选择题：
多项式的一个因式为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
2．分解因式：
（1）x2＋6x＋8； （2）8a3－b3；
（3）x2－2x－1； （4）．
习题1．2
1．分解因式：
（1） ； （2）；
（3）； （4）．
2．在实数范围内因式分解：
（1） ； （2）；
（3）； （4）．
3．三边，，满足，试判定的形状．
4．分解因式：x2＋x－(a2－a)．
5. （尝试题）已知abc=1，a+b+c=2，a+b+c=，求++的值.
3.一元二次不等式的解法
1、一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系
2、一元二次不等式的解法步骤
一元二次不等式的解集：
设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：
二次函数
（）的图象
一元二次方程
有两相异实根
有两相等实根
无实根
R
例1 解不等式：
（1）x2＋2x－3≤0； （2）x－x2＋6＜0；
（3）4x2＋4x＋1≥0； （4）x2－6x＋9≤0；
（5）－4＋x－x2＜0．
例2 解关于x的不等式
解：原不等式可以化为：
若即则或
若即则
若即则或
例3 已知不等式的解是求不等式的解．
解：由不等式的解为，可知
，且方程的两根分别为2和3，
∴，
即 ．
由于，所以不等式可变为
，
即 －
整理，得
所以，不等式的解是
x＜－1，或x＞．
说明：本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题．
练 习
1．解下列不等式：
（1）3x2－x－4＞0； （2）x2－x－12≤0；
（3）x2＋3x－4＞0； （4）16－8x＋x2≤0．
2.解关于x的不等式x2＋2x＋1－a2≤0（a为常数）．
作业：
1.若0
或xa
2.如果方程ax2＋bx＋b＝0中，a＜0，它的两根x1，x2满足x1＜x2，那么不等式ax2＋bx＋b＜0的解是______.
3．解下列不等式：
（1）3x2－2x＋1＜0； （2）3x2－4＜0；
（3）2x－x2≥－1； （4）4－x2≤0．
(5)4+3x－2x2≥0; (6)9x2－12x>－4;
4．解关于x的不等式x2－(1＋a)x＋a＜0（a为常数）．
5．关于x的不等式的解为
求关于x的不等式的解．
4.三角形的“四心”
1.“四心”的概念及性质
内心：
性质：
外心：
性质：
重心：
性质：
垂心：
2.典型例题
例1 求证：三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.
已知 D、E、F分别为△ABC三边BC、CA、AB的中点，
求证 AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1.
图3.2-3
证明 连结DE，设AD、BE交于点G，
D、E分别为BC、AE的中点，则DE//AB，且，
∽，且相似比为1：2，
.
设AD、CF交于点，同理可得，
图3.2-4
则与重合，
AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成.
图3.2-5
例2 已知的三边长分别为，I为的内心，且I在的边上的射影分别为，求证：.
证明 作的内切圆，则分别为内切圆在三边上的切点，
为圆的从同一点作的两条切线，，
同理，BD=BF，CD=CE.
图3.2-6
即.
例3 若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形.
已知 O为三角形ABC的重心和内心.
求证 三角形ABC为等边三角形.
证明 如图，连AO并延长交BC于D.
O为三角形的内心，故AD平分，
（角平分线性质定理）
O为三角形的重心，D为BC的中点，即BD=DC.
，即.
图3.2-7
同理可得，AB=BC.
为等边三角形.
图3.2-8
例4 求证：三角形的三条高交于一点.
已知 中，AD与BE交于H点.
求证 .
证明 以CH为直径作圆，
在以CH为直径的圆上，
.
同理，E、D在以AB为直径的圆上，可得.
图3.2-9
，
又与有公共角，
黑公网安备:91230400333293403D