北师大版八年级下册《第1章+三角形的证明》.pdf

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1、 三角形的证明 一、选择题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）1（2013新疆）等腰三角形的两边长分别为 3 和 6，则这个等腰三角形的周长为（）A12 B15 C12 或 15 D18 ,2（2013武汉）如图，ABC 中，AB=AC，A=36，BD 是 AC 边上的高，则 DBC 的度数是（）A18 B24 C30 D36 3（2011十堰）工人师傅常用角尺平分一个任意角做法如下：如图，AOB 是一个任意角，在边OA，OB 上分别取 OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与 M，N 重合过角尺顶点 C 作射线 OC由此做法得 MOC NOC 的依据是（）AAAS BSA

2、S CASA DSSS 4（2011和平区一模）如图，AEB、AFC 中，E=F，B=C，AE=AF，则下列结论错误的是（）A EAM=FAN BBE=CF C ACN ABM DCD=DN 5（2012淄博）已知一等腰三角形的腰长为 5，底边长为 4，底角为 满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等的是（）A两条边长分别为 4，5，它们的夹角为 B两个角是，它们的夹边为 4 C三条边长分别是 4，5，5 D两条边长是 5，一个角是 6（2013湘潭）如图，在 ABC 中，AB=AC，点 D、E 在 BC 上，连接 AD、AE，如果只添加一个条件使 DAB=EAC，则添加的条件不能为（）AB

3、D=CE BAD=AE CDA=DE DBE=CD 二、填空题（共 4 小题，每小题 3 分，满分 12 分）7（2012滨州）如图，在 ABC 中，AB=AD=DC，BAD=20，则 C=_ 8（2013赤峰）在等腰三角形中，马彪同学做了如下研究：已知一个角是 60，则另两个角是唯一确定的（60，60），已知一个角是 90，则另两个角也是唯一确定的（45，45），已知一个角是 120，则另两个角也是唯一确定的（30，30）由此马彪同学得出结论：在等腰三角形中，已知一个角的度数，则另两个角的度数也是唯一确定的马彪同学的结论是 _ 的（填“正确”或“错误”）、9（2012绥化）如图所示，直线 a

4、 经过正方形 ABCD 的顶点 A，分别过正方形的顶点 B、D 作 BFa于点 F，DEa 于点 E，若 DE=8，BF=5，则 EF 的长为 _ 10如图，如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角的关系是 _ 三、解答题（共 3 小题，满分 0 分）11（2013东城区一模）已知：如图，在 ABC 中，AB=AC，点 D 是 BC 的中点，作 EAB=BAD，AE边交 CB 的延长线于点 E，延长 AD 到点 F，使 AF=AE，连结 CF 求证：BE=CF 12（2013舟山）如图，ABC 与 DCB 中，AC 与 BD 交于点 E，且 A=D，A

5、B=DC（1）求证：ABE DCE；:（2）当 AEB=50，求 EBC 的度数 13（2012安庆二模）在 ABC 中，AB=AC，D 是线段 BC 的延长线上一点，以 AD 为一边在 AD 的右侧作 ADE，使 AE=AD，DAE=BAC，连接 CE（1）如图 1，点 D 在线段 BC 的延长线上移动，若 BAC=30，则 DCE=_ （2）设 BAC=，DCE=：如图 1，当点 D 在线段 BC 的延长线上移动时，与 之间有什么数量关系请说明理由；）当点 D 在直线 BC 上（不与 B、C 重合）移动时，与 之间有什么数量关系请直接写出你的结论 .三角形的证明 参考答案与试题解析 一、选

6、择题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）1（2013新疆）等腰三角形的两边长分别为 3 和 6，则这个等腰三角形的周长为（）A|12 B 15 C 12 或 15 D 18 )考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系 分析：因为已知长度为 3 和 6 两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论 解答：解：当 3 为底时，其它两边都为 6，3、6、6 可以构成三角形，周长为 15；（当 3 为腰时，其它两边为 3 和 6，3+3=6=6，不能构成三角形，故舍去，答案只有 15 故选 B 点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想

7、到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键 2（2013武汉）如图，ABC 中，AB=AC，A=36，BD 是 AC 边上的高，则 DBC 的度数是（）A 18 B 24|C 30 D 36 考点：等腰三角形的性质 分析：根据已知可求得两底角的度数，再根据三角形内角和定理不难求得 DBC 的度数 解答：解：AB=AC，A=36，ABC=ACB=72 BD 是 AC 边上的高，BDAC，DBC=9072=18 故选 A 点评：本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行答题，此题难度一般 3

8、（2011十堰）工人师傅常用角尺平分一个任意角做法如下：如图，AOB 是一个任意角，在边 OA，OB 上分别取 OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与 M，N 重合过角尺顶点 C 作射线 OC由此做法得 MOC NOC 的依据是（）A AAS B SAS C ASA D SSS 考点：全等三角形的判定；作图基本作图 分析：利用全等三角形判定定理 AAS、SAS、ASA、SSS 对 MOC 和 NOC 进行分析，即可作出正确选择 解答：解：OM=ON，CM=CN，OC 为公共边，MOC NOC（SSS）故选 D 点评：此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此题难度不大，属于

9、基础题 4（2011和平区一模）如图，AEB、AFC 中，E=F，B=C，AE=AF，则下列结论错误的是（）A EAM=FAN B）BE=CF C ACN ABM D CD=DN 考点：全等三角形的判定与性质 【专题：证明题 分析：由 E=F，B=C，AE=AF，可证明 AEB AFC，利用全等三角形的性质进行判断 解答：解：在 AEB 和 AFC 中，E=F，B=C，AE=AF，AEB AFC（AAS），BE=CF，EAB=FAC，-EAM=FAN，故选项 A、B 正确；EAM=FAN，E=F，AE=AF，ACN ABM，故选项 C 正确；错误的是 D 故选 D 点评：本题考查了全等三角形的

10、判定与性质关键是根据已知条件确定全等三角形&5（2012淄博）已知一等腰三角形的腰长为 5，底边长为 4，底角为 满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等的是（）A 两条边长分别为 4，5，它们的夹角为 B 两个角是，它们的夹边为 4 ：C 三条边长分别是 4，5，5 D 两条边长是 5，一个角是 考点：全等三角形的判定；等腰三角形的性质 分析：根据全等三角形的判定方法对各选项分析判断后利用排除法求解 解答：解：A、两条边长分别为 4，5，它们的夹角为，可以利用“边角边”证明三角形与已知三角形全等，故本选项错误；B、两个角是，它们的夹边为 4，可以利用“角边角”证明三角形与已知三角形全等，故

11、本选项错误；C、三条边长分别是 4，5，5，可以利用“边边边”证明三角形与已知三角形全等，故本选项错误；D、两条边长是 5，角 如果是底角，则顶角为（1802），则转化为“角边角”，利用 ASA 证明三角形与已知三角形全等；当角 如果是顶角时，底角为（180）2，此时两三角形不一定全等故本选项正确 故选 D 点评：本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角 6（2013湘潭）如图，在 ABC 中，A

12、B=AC，点 D、E 在 BC 上，连接 AD、AE，如果只添加一个条件使 DAB=EAC，则添加的条件不能为（）A BD=CE B AD=AE C DA=DE D BE=CD 考点：等腰三角形的性质 专题：压轴题 分析：根据全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质对各选项分析判断后利用排除法求解 解答：解：A、添加 BD=CE，可以利用“边角边”证明 ABD 和 ACE 全等，再根据全等三角形对应角相等得到 DAB=EAC，故本选项错误；B、添加 AD=AE，根据等边对等角可得 ADE=AED，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出 DAB=EAC，故本选项错误；C、添加

13、DA=DE 无法求出 DAB=EAC，故本选项正确；D、添加 BE=CD 可以利用“边角边”证明 ABE 和 ACD 全等，再根据全等三角形对应角相等得到 DAB=EAC，故本选项错误 故选 C 点评：本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，全等三角形的判定与性质，小综合题，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键 二、填空题（共 4 小题，每小题 3 分，满分 12 分）7（2012滨州）如图，在 ABC 中，AB=AD=DC，BAD=20，则 C=40 】考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理 分析：先根据等腰三角形的性质及三角形内角和

14、定理可求出 B 的度数，再根据三角形外角的性质可求出 ADC 的度数，再由三角形内角和定理解答即可 解答：解：AB=AD，BAD=20，B=80，ADC 是 ABD 的外角，ADC=B+BAD=80+20=100，AD=DC，C=40 点评：本题涉及到三角形的内角和定理、三角形外角的性质及等腰三角形的性质，属较简单题目?8（2013赤峰）在等腰三角形中，马彪同学做了如下研究：已知一个角是 60，则另两个角是唯一确定的（60，60），已知一个角是 90，则另两个角也是唯一确定的（45，45），已知一个角是 120，则另两 个角也是唯一确定的（30，30）由此马彪同学得出结论：在等腰三角形中，已知

15、一个角的度数，则另两个角的度数也是唯一确定的马彪同学的结论是 错误 的（填“正确”或“错误”）考点：等腰三角形的性质 分析：分别把已知角看做等腰三角形的顶角和底角，分两种情况考虑，利用三角形内角和是 180 度计算即可 解答：解：如已知一个角=70 当 70为顶角时，另外两个角是底角，它们的度数是相等的，为（18070）2=55，当 70为底角时，另外一个底角也是 70，顶角是 180140=40 故答案为：错误 点评：主要考查了等腰三角形的性质要注意分两种情况考虑，不要漏掉一种情况 9（2012绥化）如图所示，直线 a 经过正方形 ABCD 的顶点 A，分别过正方形的顶点 B、D 作 BFa

16、 于点F，DEa 于点 E，若 DE=8，BF=5，则 EF 的长为 13%考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质 专题：压轴题 分析：根据正方形的性质、直角三角形两个锐角互余以及等量代换可以证得 AFB AED；然后由全等三角形的对应边相等推知 AF=DE、BF=AE，所以 EF=AF+AE=13 解答：,解：ABCD 是正方形（已知），AB=AD，ABC=BAD=90；又 FAB+FBA=FAB+EAD=90，FBA=EAD（等量代换）；BFa 于点 F，DEa 于点 E，在 Rt AFB 和 Rt AED 中，AFB AED（AAS），AF=DE=8，BF=AE=5（全等三角形的对应

17、边相等），EF=AF+AE=DE+BF=8+5=13 故答案为：13 点评：本题考查了全等三角形的判定、正方形的性质实际上，此题就是将 EF 的长度转化为与已知长度的线段 DE 和 BF 数量关系 10如图，如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角的关系是 相等或互补 考点：全等三角形的性质 分析：第三边所对的角即为前两边的夹角分两种情况，一种是两个锐角或两个钝角三角形，另一种是一个钝角三角形和一个锐角三角形 解答：解：当两个三角形同为锐角或同为钝角三角形时，易得两三角形全等，则第三边所对的角是相等关系；当一个钝角三角形和一个锐角三角形时（如图），则第

18、三边所对的一个角与另一个角的邻补角相等，即这两个角是互补关系 故填“相等或互补”点评：本题考查全等三角形的性质，应注意的是，两边相等不一定角相等，解题时要多方面考虑 三、解答题（共 3 小题，满分 0 分）|11（2013东城区一模）已知：如图，在 ABC 中，AB=AC，点 D 是 BC 的中点，作 EAB=BAD，AE 边交 CB 的延长线于点 E，延长 AD 到点 F，使 AF=AE，连结 CF 求证：BE=CF 考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质 专题：证明题 分析：根据等腰三角形的性质可得 CAD=BAD，由等量关系可得 CAD=EAB，有 SAS 可证 ACF ABE，

19、再根据全等三角形的对应边相等即可得证 解答：证明：AB=AC，点 D 是 BC 的中点，CAD=BAD 又 EAB=BAD，CAD=EAB 在 ACF 和 ABE 中，ACF ABE（SAS）BE=CF 点评：此题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质 此题难度中等，注意掌握数形结合思想的应用 12（2013舟山）如图，ABC 与 DCB 中，AC 与 BD 交于点 E，且 A=D，AB=DC（1）求证：ABE DCE；。（2）当 AEB=50，求 EBC 的度数 考点：全等三角形的判定与性质 分析：（1）根据 AAS 即可推出 ABE 和 DCE 全等；（2）根据三角形全等得出 E

20、B=EC，推出 EBC=ECB，根据三角形的外角性质得出 AEB=2 EBC，代入求出即可 解答：（1）证明：在 ABE 和 DCE 中 ABE DCE（AAS）；（2）解：ABE DCE，BE=EC，EBC=ECB，EBC+ECB=AEB=50，EBC=25 点评：本题考查了三角形外角性质和全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力 13（2012安庆二模）在 ABC 中，AB=AC，D 是线段 BC 的延长线上一点，以 AD 为一边在 AD 的右侧作 ADE，使 AE=AD，DAE=BAC，连接 CE（1）如图 1，点 D 在线段 BC 的延长线上移动，若 BAC=30，则 DC

21、E=30 （2）设 BAC=，DCE=：如图 1，当点 D 在线段 BC 的延长线上移动时，与 之间有什么数量关系请说明理由；当点 D 在直线 BC 上（不与 B、C 重合）移动时，与 之间有什么数量关系请直接写出你的结论 考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质 分析：（1）证 BAD CAE，推出 B=ACE，根据三角形外角性质求出即可；（2）证 BAD CAE，推出 B=ACE，根据三角形外角性质求出即可；+=180或=，根据三角形外角性质求出即可 解答：（1）解：DAE=BAC，DAE+CAD=BAC+CAD，BAD=CAE，在 BAD 和 CAE 中，BAD CAE（SAS），

22、B=ACE，ACD=B+BAC=ACE+DCE，BAC=DCE，BAC=30，DCE=30，故答案为：30；（2）解：当点 D 在线段 BC 的延长线上移动时，与 之间的数量关系是=，理由是：DAE=BAC，DAE+CAD=BAC+CAD，BAD=CAE，在 BAD 和 CAE 中，BAD CAE（SAS），B=ACE，ACD=B+BAC=ACE+DCE，BAC=DCE，BAC=，DCE=，=；（3）解：当 D 在线段 BC 上时，+=180，当点 D 在线段 BC 延长线或反向延长线上时，=点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点，题目比较典型，是一道证明过程类似的题目