导数恒成立,能成立问题专题讲解.pdf

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1、课题：与导数有关的“恒成立”，“能成立”问题 学习目标:1、理解“任意”，“存在”的意义,并加以区别；2、能熟练的把与导数有关的常见“恒成立”，“能成立问题转化为函数的最值问题；3、在解题过程中提高对“转化化归”分类讨论、函数方程等数学解题思想方法的应用能力，树立解决导数综合题的信心。基础再现：1、（2013 全国卷）若函数)(xf=xaxx12在,21上是增函数，则a的取值范围是(）A 0,1 B ,1 C 3,0 D ,3 2、若曲线)(xf=xaxln2 存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是 。3、若函数)(xf=1)2(3323xaaxx有极大值和极小值，则a的取值范围是 。4、

2、已知)(xf=x，)(xg=xaln.(1）若),0(x,总有)(xf)(xg成立，则实数a的取值范围是 。(2)若 2,1,21xx，总有)(1xf)(2xg成立,则实数a的取值范围是 。（3)若 2,1,2,121xx,使)(1xf)(2xg成立，则实数a的取值范围是 。(4）若 2,1,2,121xx，使)(1xf)(2xg成立,则实数a的取值范围是 。(5)若 2,1,2,121xx，使)(1xf)(2xg成立，则实数a的取值范围是 。总结:1、导数与不等式的问题，一般都可转化为极值最值问题解决。2、区间上不等式的 12 种类型及其解决方法：不等式类型 解决方法（1)Dx，)(xfM

3、min)(xfM（2）Dx，)(xf)(xg Dx，0)()()(xgxfxh，0)(minxh（3)Dx,)(xfM max)(xfM(4)Dx，)(xf)(xg Dx，0)()()(xgxfxh，0)(maxxh（5）Dx，)(xfM max)(xfM（6)Dx，)(xf)(xg Dx,0)()()(xgxfxh，0)(maxxh(7)Dx,)(xfM min)(xfM(8)Dx，)(xf)(xg Dx，0)()()(xgxfxh，0)(minxh（9)11Dx,22Dx,)(1xf)(2xg min)(xfmax)(xg(10)11Dx，22Dx,)(1xf)(2xg min)(xfmi

4、n)(xg（11)11Dx,22Dx,)(1xf)(2xg max)(xfmax)(xg（12)11Dx,22Dx，)(1xf)(2xg max)(xfmin)(xg 典型例题 例 1、已知向量,/),(,1(),ln,(nmxfnkxemx 曲线)(xfy 在点(1，)1(f）处的切线与 y 轴垂直,)()(xfxexFx（1）求 k 的值及)()(xfxexFx的单调区间和最大值（2）已知函数)(xg=axx22(0a）.若x 1,0求)(xg的最大值。变式 1、已知函数)(xg=axx22（0a)。若对于任意2x 1,0,总存在),0(1x，使得)()(12xFxg，求实数a的取值范围.

5、变式 2、已知函数)(xg=axx22(0a)。求证:对于任意),0(1x，总存在2x 1,0使得)(21)(12xFaxg，对,ea恒成立。例 2、已知函数)(xg=323 xx如果存在 2,0,21xx,使得Mxgxg)()(21 成立，求满足条件的最大整数 M.例 3、已知函数kxekxxf2)()(（1）求)(xf的单调区间；（2）若对于任意),0(x，都有)(xfe1，求 k 的取值范围.与导数有关的“恒成立，“能成立”问题突破练习 1、已知函数xxaxfln)(在区间 3,2上单调递增，则实数a的取值范围是 。2、若函数xxxfln2)(2在其定义域内的一个子区间1,1kk内不是单

6、调函数，则实数k的取值范围是 .3、对 2,1t，函数xxmxxg2)22()(23在区间 3,t上不单调，则实数m的取值范围是 。4、已知函数xaxxfln)(，函数)(xg的导函数xexg)(，且egg)1()0(（1）求函数)(xf的极值；（2）若),0(x,使得不等式xmxxg3)(成立，试求实数m的取值范围;（3）当a=0 时，对),0(x，求证：2)()(xgxf 6。已知函数 12ln2(0)f xaxax ax。（1）当0a 时，求 f x的极值;（2）当0a 时，讨论 f x的单调性;（3）若对任意的 123,2,1,3,ax x 恒有 12ln32ln3maf xf x成立

7、，求实数m的取值范围。解：（1)当0a 时,22121212ln,(0).xf xxfxxxxxx 1 分 由 2210 xfxx,解得12x。2 分 f x在10,2上是减函数，在1,2上是增函数。3 分 f x的极小值为122ln22f,无极大值。4 分（2）2222221121212(0)axa xaxxafxaxxxxx。6 分 当20a 时，f x在10,2和1,a上是减函数，在11,2a上是增函数；7 分 当2a 时,f x在0,上是减函数;8 分 当2a时，f x在1,2和10,a上是减函数,在1 1,2a上是增函数.9 分（3）当32a 时,由（2）可知 f x在 1,3上是减

8、函数,1221342 ln33f xf xffaa.10 分 由 12ln32ln3mafxfx对任意的 123,2,1,3ax x 恒成立，12maxln32ln3maf xf x 11 分 即2ln32ln342 ln33maaa对任意32a 恒成立，即243ma 对任意32a 恒成立，12 分 由于当32a 时，132384339a ，133m 。13 分 7。设()lnaf xxxx,32()3g xxx(I）当2a 时，求曲线()yf x在1x 处的切线方程;（II）如果存在12,0,2x x，使得12()()g xg xM成立，求满足上述条件的最大整数M；（III）如果对任意的1,

9、22s t，都有()()f sg t成立，求实数a的取值范围 解：（）当2a 时，2()lnf xxxx，22()ln1fxxx，(1)2f，(1)1f，所以曲线()yf x在1x 处的切线方程为3yx .3 分(）存在12,0,2x x，使得12()()g xg xM成立 等价于：12max()()g xg xM，考察32()3g xxx，22()323()3g xxxx x，由上 表 可知：minmax285()(),()(2)1327g xgg xg，12maxmaxmin112()()()()27g xg xg xg x，所以满足条件的最大整数4M。7 分（）对任意的1,22s t，都

10、有()()f sg t成立 等价于：在区间1,22上，函数()f x的最小值不小于()g x的最大值，由（）知,在区间1,22上,()g x的最大值为(2)1g。(1)1fa，下证当1a 时，在区间1,22上，函数()1f x 恒成立.当1a 且1,22x时，1()lnlnaf xxxxxxx，记1()lnh xxxx,21()ln1h xxx，(1)0h 当1,1)2x,21()ln10h xxx ；当(1,2x，21()ln10h xxx ，所以函数1()lnh xxxx在区间1,1)2上递减，在区间(1,2上递增，min()(1)1h xh，即()1h x，x 0 2(0,)3 23 2

11、(,23()g x 0 0 ()g x 3 递减 极（最)小值8527 递增 所以当1a 且1,22x时,()1f x 成立，即对任意1,22s t，都有()()f sg t。12 分 方法二：当1,22x时，()ln1af xxxx恒成立 等价于2lnaxxx恒成立,记2()lnh xxxx，()12 lnh xxxx，(1)0h 记()12 lnm xxxx，()32lnm xx ，由于1,22x,()32ln0m xx ,所以()()12 lnm xh xxxx 在1,22上递减，当1,1)2x时,()0h x，(1,2x时，()0h x，即函数2()lnh xxxx在区间1,1)2上递增，在区间(1,2上递减,所以max()(1)1h xh，所以1a.12 分