04184自学专业考试.线性代数试卷.及其内容答案.doc

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1、2014 年 10 月高等教育自学考试全国统一命题考试 04184 线性代数（经管类）试卷线性代数（经管类）试卷 本试卷共 8 页，满分 100 分，考试时间 150 分钟。说明：本试卷中，表示矩阵的转置矩阵，表示矩阵的伴随矩阵，TAA*AA是单位矩阵，表示方阵的行列式，表示矩阵的秩。EAA ArA1、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代 码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设 3 阶行列式=2，若元素的代数余子公式为111232221131211 aaaaaaija（i,j=1,2,3)，则

2、 【 ijA333231AAA】 A. B.0 C.1 D.212.设为 3 阶矩阵，将的第 3 行乘以得到单位矩阵，AA21E则=【 】AA. B. C. D.2221213.设向量组的秩为 2，则中 【 】321,321,A.必有一个零向量 B. B.任意两个向量都线性无关 C.存在一个向量可由其余向量线性表出 D.每个向量均可由其余向量线性表出4.设 3 阶矩阵,则下列向量中是的属于特征值的特 466353331 AA2征向量为 【 】A. B. C. D. 0111012012115.二次型的正惯性指数为 【 212 32 22 13214),(xxxxxxxxf】 A.0 B.1 C

3、.2 D.3 2、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错误、不填均无分、6.设，则方程的根是 1312)(xxf0)(xf7.设矩阵,则= 0210A*A8.设为 3 阶矩阵，,则行列式= A21A1)2(A9.设矩阵,若矩阵满足,则= 4321B 2001PABPA A10.设向量,则由线性表出T)4 , 1(1T)2 , 1 (2T)2 , 4(3321,的表示式为 11.设向量组线性相关，TTTk), 0 , 1 (,)0 , 1 , 4(,) 1 , 1 , 3(321则数 k12.3 元齐次线性方程组的基础解系中所含解向量的个

4、数 003221 xxxx为 13.设 3 阶矩阵满足，则必有一个特征值为 A023AEA14.设 2 阶实对称矩阵的特征值分别为和 1，则 A12A15.设二次型正定，212 22 1212),(xtxxtxxxf则实数 的取值范围是 t3、计算题（本大题共 7 小题，每小题 9 分，共 63 分）16.计算 4 阶行列式的值。3100131001310013D17.已知矩阵，求。0001001011223aaaaaaA1A18.设矩阵,且矩阵满足,求。 110011111AXXAEAX3X19.设向量,TTTTkkkk) 1 , 1 , 1 , 1(,) 1, 1 , 1(,) 1 , 1

5、 , 2 , 1 (,) 1 , 1 , 1 , 1 (2 321试确定当取何值时能由线性表出，并写出表示式。k321,20.求线性方程组的通解（要求用其一个特解和 1332122043214324321xxxxxxxxxxx导出组的基础解系表示） 。21.设矩阵与对角矩阵相似，求数与 11131111xA 200020001 Bx可逆矩阵，使得。PBAPP122.用正交变换将二次型化为标准形，312 32 22 132122),(xxxxxxxxf写出标准形和所作的正交变换。四、证明题（本题 7 分）23.设向量组线性相关，且其中任意两个向量都线性无关。证明：321,存在全不为零的常数使得。

6、321,kkk0332211kkk2014 年 10 月高等教育自学考试全国统一命题考试 线性代数（经管类）试题答案及评分参考线性代数（经管类）试题答案及评分参考 （课程代码 04184） 1、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分） 1.D 2.A 3.C 4.B 5.C 2、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 6. 57. 02108. 419. 2232110. 213311. 1 12. 113. 2314. E 15. 0t1 3、计算题（本大题共 7 小题，每小题 9 分，共 63 分）16.解 = 3100131001310013D

7、3100131000130131.3 分5555000310013100131.9 分 17.解 0001100100101000011000000110000001010000100100100011232223aaaaaaaaaaaa.2 分00110000100100100001010000001aaa.7 分从而 00101010010001aaaA.9 分18.解 由,得 XAEAX3EAXEA3)(.2 分又由可逆 010001110100010001110011111 EA.5 分由,可得EAXEA3)()()(2EAAEAXEA两边左乘,得到1)( EA 33112332210

8、00100011100111111211022102EAAX.9 分19 解 设， 332211xxx.2 分 该线性方程组的增广矩阵为22222000100101111111111111211111kkkkkkkkkkA.6 分由于能有线性表出，则必有321,3)()( ArAr此时，方程组有唯一解0k0, 1321xxx表示式为 1.9 分 20.解 方程组的增广矩阵 000001221011101133211221001111 A.2 分可知4，方程组有无穷多解 2)()( ArAr.4 分由同解方程组 432431 2211xxxxxx求出方程组的一个特解,T)0 , 0 , 1 ,

9、1(*导出组的一个基础解系为 TT) 1 , 0 , 2, 1 (,)0 , 1 , 2, 1 (21.7 分 从而方程组的通解为TTTcccc) 1 , 0 , 2, 1 ()0 , 1 , 2, 1 ()0 , 0 , 1 , 1(212211*为任意常数） 21,(cc.9 分21.解 由条件可知矩阵的特征值为 A2, 1321.2 分由，得 0101121110xxAE1x.4 分对于，由线性方程组求得一个特征向量为110)(xAET) 1 , 1 , 1(1对于，由线性方程组求得两个线性无关的特征2320)2(xAE向量为TT) 1 , 1 , 0(,) 1 , 0 , 1 (32令

10、,则 111101011 ),(321PBAPP1.9 分22.解 二次型的矩阵 101020101A.2 分由0)2( 1010201012 AE故的特征值为 A0, 2321.4 分对于，求解齐次线性方程组，得到基础解系2210)(xAT) 1 , 0 , 1(3将其单位化，得 T)21, 0 ,21(3.7 分令,则为正交矩阵，21 21000121 210),(321PP经正交变换，化二次型为标准形 321321yyy P xxx2 22 122yy .9 分 4、证明题（本题 7 分）23.证 由于向量组线性相关，故存在不全为零的常数，321,321,kkk使得0332211kkk.2 分其中必有。否则，如果，则上式化为01k01k03322kk其中不全为零，由此推出线性相关，与向量组中任意两个向32,kk32,量都线性无关的条件矛盾 .5 分类似地，可证明 0, 032kk.7 分