专题.3等式与不等式-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(解析版).pdf

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1、努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！第一篇 集合与不等式 专题 1.03 等式与不等式的性质【考试要求】梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质.【知识梳理】1.两个实数比较大小的方法(1)作差法ab0ab，ab0ab，ab0a1（aR，b0）ab（aR，b0），ab1ab（a，b0），ab0）a0）.2.等式的性质(1)对称性：若 ab，则 ba.(2)传递性：若 ab，bc，则 ac.(3)可加性：若 ab，则 acbc.(4)可乘性：若 ab，则 acbc；若 ab，cd，则 acbd.3.不等式的性质(1)对称性：abba；(2)传递性：ab，bcac；(3)可加性：ab

2、acbc；ab，cdacbd；(4)可乘性：ab，c0acbc；ab，c0acbc；ab0，cd0acbd；(5)可乘方：ab0anbn(nN，n1)；(6)可开方：ab0nanb(nN，n2).【微点提醒】1.在不等式的两边同乘以一个正数，不等号方向不变；同乘以一个负数，不等号方向改变.2.有关分数的性质(1)若 ab0，m0，则babmam(bm0).努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！(2)若 ab0，且 ab1a1，则 ab.()(4)0axb 或 axb01b1x1，但 a【解析】(7 10)2172 70，(3 14)2172 42，(7 10)2(3 14)2，7 10 3

3、14.【真题体验】4.(2018衡阳联考)若 a，b，c 为实数，且 ab0，则下列命题正确的是()A.ac2bc2 B.1aab D.a2abb2 【答案】D【解析】c0 时，A 项不成立；1a1bbaab0，选项 B 错；baabb2a2ab（ba）（ba）ab0，选项 C错.由 ababb2.D 正确.5.(2017北京卷改编)能够说明“设 a，b，c 是任意实数，若 abc，则 abc”说法不正确的一组整数 a，b，c 的值依次为_.【答案】1，2，3(答案不唯一)【解析】因为 abc，所以 ac，bc，则 ab2c.所以 abc 不一定正确.因为 2c 与 c 的大小关系不确定，当

4、c0 时，2cc；当 c0 时，2cc；当 c0 时，2cc.不妨令 a1，b2，c3，则 abc.6.(2019运城模拟)若22，则 的取值范围是_.【答案】(，0)【解析】由22，22，得a B.acb C.cba D.acb(2)已知 a1，a2(0，1)，记 Ma1a2，Na1a21，则 M 与 N 的大小关系是()A.MN C.MN D.不确定(3)(一题多解)若 aln 33，bln 44，cln 55，则()A.abc B.cba C.cab D.ba0，ba，cba.(2)MNa1a2(a1a21)a1a2a1a21a1(a21)(a21)(a11)(a21)，又因为 a1(0

5、，1)，a2(0，1)，所以 a110，a210，即 MN0，所以 MN.(3)法一 易知 a，b，c 都是正数，ba3ln 44ln 3log8164b；bc5ln 44ln 5 log6251 0241，所以 bc.即 cb0，得 0 xe；由 f(x)e.f(x)在(0，e)为增函数，在(e，)为减函数.f(3)f(4)f(5)，即 abc.【规律方法】1.作差法一般步骤：(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差.2.作商法一般步骤：(1)作商；(2)变形；

6、(3)判断商与 1 的大小；(4)结论.3.函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系.4.特殊值法：对于选择、填空题，可以选取符合条件的特殊值比较大小.【训练 1】(1)若 a，b 为正数，且 ab，则 a3b3_a2bab2(用符号、填空).(2)若 0a(2)a2ab12a2b20，b0 且 ab，(ab)20，ab0，(a3b3)(a2bab2)0，即 a3b3a2bab2.(2)0ab 且 ab1，a12b1 且 2a1，努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！a2ba2a(1a)2a22a2a1221212.即 a2ab11212，即 a2

7、b212.12b1，(a2b2)b(1b)2b2b2b23b1(2b1)(b1)0.考点二 不等式的性质【例 2】(1)已知 a，b，c 满足 cba，且 acac B.c(ba)0 C.cb20(2)(一题多解)若1a1b0，给出下列不等式：1ab1ab；|a|b0；a1ab1b；ln a2ln b2.其中正确的不等式是()A.B.C.D.【答案】(1)A(2)C【解析】(1)由 cba 且 ac0，知 c0.由 bc，得 abac 一定成立.(2)法一 因为1a1b0，故可取 a1，b2.显然|a|b1210，所以错误；因为 ln a2ln(1)20，ln b2ln(2)2ln 40，所以

8、错误.综上所述，可排除 A，B，D.法二 由1a1b0，可知 ba0.中，因为 ab0，ab0，所以1ab0，1ab0.故有1ab1ab，即正确；中，因为 ba0，所以ba0.故b|a|，即|a|b0，故错误；中，因为 ba0，又1a1b0，则1a1b0，所以 a1ab1b，故正确；中，因为 ba0，根据 yx2在(，0)上为减函数，可得 b2a20，而 yln x 在定义域(0，)上为增函数，所以 ln b2ln a2，故错误.由以上分析，知正确.【规律方法】解决此类题目常用的三种方法：(1)直接利用不等式的性质逐个验证；(2)利用特殊值法排除错误答案，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要

9、特别注意前提条件；努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断.【训练 2】(1)(2019东北三省四市模拟)设 a，b 均为实数，则“a|b|”是“a3b3”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件(2)设 ab1，ccb；acloga(bc).其中所有正确结论的序号是()A.B.C.D.【答案】(1)A(2)D【解析】(1)a|b|能推出 ab，进而得 a3b3；当 a3b3时，有 ab，但若 ba|b|不成立，所以“a|b|”是“a

10、3b3”的充分不必要条件.(2)由不等式性质及 ab1，知1a1b，又 ccb，正确；构造函数 yxc，cb1，acb1，cbc1，logb(ac)loga(ac)loga(bc)，正确.考点三 不等式及其性质的应用 角度 1 不等式在实际问题中的应用【例 31】(2017北京卷)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：(1)男学生人数多于女学生人数；(2)女学生人数多于教师人数；(3)教师人数的两倍多于男学生人数.若教师人数为 4，则女学生人数的最大值为_.该小组人数的最小值为_.【答案】6 12【解析】令男学生、女学生、教师人数分别为 x，y，z，且 2zxyz，若教师人

11、数为 4，则 4yx8，当 x7 时，y 取得最大值 6.当 z1 时，1zyx2，不满足条件；当 z2 时，2zyx4，不满足条件；当 z3 时，3zyx6，y4，x5，满足条件.所以该小组人数的最小值为 34512.努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！角度 2 利用不等式的性质求代数式的取值范围【例 32】(经典母题)已知1x4，2y3，则 xy 的取值范围是_，3x2y 的取值范围是_.【答案】(4，2)(1，18)【解析】因为1x4，2y3，所以3y2，所以4xy2.由1x4，2y3，得33x12，42y6，所以 13x2y18.【迁移探究 1】将本例条件改为“1xy3”，求 xy

12、 的取值范围.【答案】见解析【解析】因为1x3，1y3，所以3y1，4xy4.又因为 xy，所以 xy0，由得4xy0，故 xy 的取值范围是(4，0).【迁移探究 2】将本例条件改为“已知1xy4，2xy3”，求 3x2y 的取值范围.【答案】见解析【解析】设 3x2y(xy)(xy)，即 3x2y()x()y，于是3，2，解得12，52，3x2y12(xy)52(xy).1xy4，2xy3，1212(xy)2，552(xy)152，9212(xy)52(xy)192.故 3x2y 的取值范围是92，192.【规律方法】1.解决有关不等关系的实际问题，应抓住关键字词，例如“要”“必须”“不少

13、于”“大于”等，从而建立相应的方程或不等式模型.2.利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.【训练 3】(1)已知甲、乙两种食物的维生素 A，B 含量如下表：甲 乙 维生素 A(单位/kg)600 700 维生素 B(单位/kg)800 400 设用甲、乙两种食物各 x kg、y kg 配成至多 100 kg 的混合食物，并使混合食物内至少含有 56 000 单位维生素 A 和 62 000

14、单位维生素 B，则 x，y 应满足的所有不等关系为_.努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！(2)(2019青岛测试)已知实数 a(1，3)，b18，14，则ab的取值范围是_.【答案】(1)xy100，6x7y560，2xy155，x0，y0(2)(4，24)【解析】(1)x，y 所满足的关系为 xy100，600 x700y56 000，800 x400y62 000，x0，y0，即xy100，6x7y560，2xy155，x0，y0.(2)依题意可得 41b8，又 1a3，所以 4ab24.【反思与感悟】1.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法

15、的主要步骤为作差变形判断正负.2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单.【易错防范】1.运用不等式的性质解决问题时，注意不等式性质成立的条件以及等价转化的思想，比如减法可以转化为加法，除法可以转化为乘法等.但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.2.形如例 32 探究 2 题型的解决途径：先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再通过“一次性”不等关系的运算求解范围.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：35 分钟)一、选择题 1.限速 4

16、0 km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度 v 不超过 40 km/h，写成不等式为()A.v40 km/h C.v40 km/h D.v40 km/h【答案】D【解析】由汽车的速度 v 不超过 40 km/h，即小于等于 40 km/h，即 v40 km/h，故选 D.努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！2.若 f(x)3x2x1，g(x)2x2x1，则 f(x)，g(x)的大小关系是()A.f(x)g(x)B.f(x)g(x)C.f(x)g(x)D.随 x 的值变化而变化【答案】B【解析】f(x)g(x)x22x2(x1)210f(x)g(x).3.若 a，b 都是

17、实数，则“a b0”是“a2b20”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】a b0 a baba2b2，但由 a2b20 不能推出 a b0.故选 A.4.若 a，bR，且 a|b|0 B.a3b30 C.a2b20 D.ab0【答案】D【解析】由 a|b|0 知，a|b|，当 b0 时，ab0 成立，当 b0 时，ab0 成立，所以 aby”的充要条件是()A.2x2y B.lg xlg y C.1x1y D.x2y2【答案】A【解析】因为 2x2yxy，所以“2x2y”是“xy”的充要条件，A 正确；lg xlg yxy0，则

18、“lg xlg y”是“xy”的充分不必要条件，B 错误；“1x1y”和“x2y2”都是“xy”的既不充分也不必要条件.6.(2018湖州质检)若实数 m，n 满足 mn0，则()A.1m1n B.m n12n D.m2mn【答案】B【解析】取 m2，n1，代入各选择项验证 A，C，D 不成立.21 21只有 B 项成立.努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！7.已知 0aN B.MN C.MN D.不能确定【答案】A【解析】因为 0a0，1b0，1ab0，所以 MN1a1a1b1b22ab1abab0.故选 A.8.已知函数 f(x)x3ax2bxc.且 0f(1)f(2)f(3)3，则(

19、)A.c3 B.3c6 C.69【答案】C【解析】由 f(1)f(2)f(3)得1abc84a2bc，1abc279a3bc，解得a6，b11，则 f(x)x36x211xc，由 0f(1)3，得 01611c3，即 6”“”或“”).【答案】【解析】分母有理化有152 52，16 5 6 5，显然 52 6 5，所以1520，bcad0，则cadb0；若 ab0，cadb0，则 bcad0；若 bcad0，cadb0，则 ab0.努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！其中正确的命题是_(填序号).【答案】【解析】ab0，bcad0，cadbbcadab0，正确；ab0，又cadb0，即bc

20、adab0，bcad0，正确；bcad0，又cadb0，即bcadab0，ab0，正确.故都正确.12.已知 a0，b0，ab，则 aabb与(ab)ab2的大小关系是_.【答案】aabb(ab)ab2【解析】aabb（ab）ab2abab2.当 ab0 时，ab1，ab20，则abab21，aabb(ab)ab2.当 ba0 时，0ab1，ab21，aabb(ab)ab2.【能力提升题组】(建议用时：20 分钟)13.已知 0a0 B.2ab12 C.log2alog2b2 D.2abba12【答案】C【解析】由题意知 0a1，此时 log2a0，A 错误；由已知得 0a1，0b1，所以1b

21、0，又 ab，所以1ab0，所以122ab1，B 错误；因为 0a2abba2，所以 2abba224，D 错误；由 ab12 ab，得 ab14，因此 log2alog2blog2(ab)b，abb，ab，a，ab.若 mn2，pq2，则()A.mn4 且 pq4 B.mn4 且 pq4 C.mn4 且 pq4 D.mn4 且 pq4【答案】A【解析】结合定义及 mn2 可得 m2，mn或n2，mn，即 nm2 或 mn2，所以 mn4；努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！结合定义及 pq2，可得 p2，pq或q2，pq，即 qaab，则实数 b 的取值范围是_.【答案】(，1)【解析】

22、因为 ab2aab，所以 a0，当 a0 时，b21b，即b21，b1，解得 b1；当 a0 时，b21b，即b21，此式无解.综上知实数 b 的取值范围是(，1).16.已知函数 f(x)ax2bxc 满足 f(1)0，且 abc，求ca的取值范围.【答案】见解析【解析】因为 f(1)0，所以 abc0，所以 b(ac).又 abc，所以 a(ac)c，且 a0，cacaca，即 11caca.所以2ca2，解得2ca12.即ca的取值范围为2，12【新高考创新预测】17.(多选题)下列四个条件，能推出1a1b成立的有()A.b0a B.0ab C.a0b D.ab0【答案】ABD【解析】运用倒数性质，由 ab，ab0 可得1a1b，B、D 正确.又正数大于负数，A 正确，C 错误，故选A，B，D.努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！