2021届云南省昆明市第一中学高三高中新课标第一次摸底测试数学(文)试题(解析版).pdf

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1、努力的你，未来可期!精品 2021 届云南省昆明市第一中学高三高中新课标第一次摸底测试数学（文）试题 一、单选题 1已知集合 A=221x xy，集合 B=y yx，则 AB=（）A0，1 B-1，1 C-1，0)D-1，0【答案】A【解析】先根据圆的范围和值域的求法，化简两个集合，再利用集合的交集运算求解.【详解】因为集合2211,1Ax xy，集合0,By yx，所以 0,1AB，故选：A【点睛】本题主要考查结合的基本运算以及值域的求法和圆的范围，属于基础题.2复数 z满足1322z ii，则复数 z 在复平面内对应的点的坐标为（）A(1，0)B(0，1)C(1，0)D(0，1)【答案】D

2、【解析】求出左边复数的模，利用除法运算化简复数 z，可得复数 z 的坐标，从而可得答案.【详解】因为1322z ii 2213122，所以1izi，所以复数z在复平面内对应的点的坐标为0,1，故选：D【点睛】本题主要考查复数的模与复数的除法运算，考查了复数的坐标表示，属于基础题.努力的你，未来可期!精品 3抛物线24yx的焦点到双曲线221xy的渐近线的距离为（）A12 B22 C32 D2【答案】B【解析】根据抛物线方程求出焦点，根据双曲线方程求出渐近线方程，利用点到直线距离求解.【详解】因为抛物线的焦点为(1,0)，双曲线的渐近线为0 xy，所以抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2210

3、2211d，故选：B【点睛】本题主要考查了抛物线，双曲线的简单几何性质，点到直线的距离公式，属于容易题.4已知 na是公差为12的等差数列，nS为数列 na的前 n项和，若248,a a a成等比数列，则7=S（）A194 B14 C12 D16【答案】B【解析】由248,a a a成等比数列，可得2428aaa，再利用等差数列的通项公式化简可得112a，12d,再利用等差数列前n项和公式即可得7S.【详解】解设数列 na的公差为d，由题意12d，由248,a a a成等比数列,所以2428aaa，211137adadad整理得21da d，故112a，所以7172114Sad.故选:B【点睛

4、】本题主要考查了等比中项的性质，等差数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题.努力的你，未来可期!精品 5我国目前部分普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，某学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图 根据这两幅图中的信息，下列统计结论正确的是（）A样本中的男生数量多于女生数量 B样本中有理科意愿的学生数量少于有文科意愿的学生数量 C对理科有意愿的男生人数多于对文科有意愿的男生人数 D对文科有意愿的女生人数多于对理科有意愿的女生人数【答案】C【解析】由等高条形图的特点和性质进行判断，【详解】由等高堆积条形图 1 可知，不管是文科还是理科，女生占比均高于男生，

5、故样本中的女生数量多于男生数量，A错误；从图 2 可以看出男生和女生中选择理科的人数均高于选择文科的人数，故选：C【点睛】本题主要考查了独立性检验中利用等高条形图判断两个变量之间的差异，属于基础题.6数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读.数学中有回文数，如 343，12521 等.两位数的回文数有 11，22，3，99 共 9 个，则在三位数的回文数中偶数的个数是（）A40 B30 C20 D10【答案】A【解析】根据回文数定义，确定首位，再确定中间数，最后根据分步乘法计数原理得结果.【详解】努力的你，未来可期!精品 由题意，若三位数的回文数是偶数

6、，则末（首）位可能为2，4，6，8.如果末（首）位为2，中间一位数有10种可能，同理可得，如果末（首）位为4或6或8，中间一位数均有10种可能，所以有4 1040个，故选：A【点睛】本题考查分步计数原理实际应用，考查基本分析求解能力，属基础题.7阅读下面的程序框图，则输出的 S=（）A15 B4 C31 D5【答案】C【解析】根据程序框图逐次计算可得输出的S的值.【详解】第一次判断前，2,2Si；第二次判断前，6,3Si；第三次判断前，15,4Si；第四次判断前，31,5Si，执行判断后，满足54，终止循环，故31S.故选：C.【点睛】本题考查根据程序框图计算输出结果，此类问题，可模拟计算机逐

7、次计算即可，计算时注意判断条件是否满足.本题属于基础题.8已知圆 C:22420 xyxy与 x轴，y轴的正半轴分别交于 A，B两点，则弦长AB（）努力的你，未来可期!精品 A5 B5 C2 5 D3 2【答案】A【解析】分别令0 x 和0y，从而求出 A，B两点的坐标，由两点的距离公式可求出弦长.【详解】令0y，解得4x 或 0；令0 x，解得2y 或 0.所以(4,0)A，(0,2)B，所以2240022 5AB，故选:A【点睛】本题考查了两点的距离公式，属于基础题.本题的关键是求出 A，B两点的坐标.9函数1lnlnyxx的值域为（）A(-，-2 B2，+)C(-，-2 2，+)D-2，

8、2【答案】C【解析】利用基本不等式可求该函数的值域.【详解】当1x 时，11ln2 ln2lnlnyxxxx，当01x时，111ln(ln)()2(ln)()2lnlnlnyxxxxxx ，所以函数的值域为(,22，)，故选：C【点睛】本题考查函数值域、基本不等式，注意根据基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”，本题属于基础题.10 在三棱锥 S-ABC中，平面 SAB平面 ABC，ABC是边长为 3的等边三角形，SAB是以 AB为斜边的直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（）A32 B16.C24 D12【答案】D【解析】先根据题意确定三棱锥外接球的球心为ABC 外接圆圆心，再根据

9、正弦定理求努力的你，未来可期!精品 得求半径，最后根据球表面积公式得结果.【详解】由题意，SAB是以AB斜边的直角三角形，以三角形SAB所在平面截球所得的小圆面圆心在AB中点，又因为平面SAB 平面ABC，所以平面ABC截球所得平面即为大圆.因为ABC是边长为3的正三角形，其外接圆半径3333R ，故该三棱锥外接球的半径3R，其表面积2412SR，故选：D【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积，考查空间想象能力，属基础题.11已知函数 sin0,2f xx的最小正周期是，把它图象向右平移3个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数.现有下列结论：函数 f x的图象关于直线12x 对称.；函数 f x的

10、图象关于点,06对称；函数 f x在区间,212上单调递减；函数 f x在3,32上有3个零点.正确的结论是（）A B C D【答案】A【解析】利用函数 yf x的最小正周期以及平移后的函数的奇偶性求出、的值，可求得函数 yf x的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断的正误；利用正弦型函数的单调性可判断的正误；当3,32x时，解方程 0f x 可判断的正误.【详解】因为函数 yf x的最小正周期为，则22，则 sin 2f xx，将函数 yf x的图象向右平移3个单位后得到函数2sin 2sin 233yxx，努力的你，未来可期!精品 由于函数2sin 23yx为奇函数，则23kkZ，可得2,

11、3kkZ.22，1k，则3，sin 23fxx.对于命题，minsin 2sin1121232ff x ，正确；对于命题，sin 2sin00663f，正确；对于命题，当212x 时，42332x，所以，函数 yf x在区间,212上单调递减，正确；对于命题，当3,32x时，82333x，由 0f x 可得23x或223x，解得23x或76x，错误.故选：A.【点睛】本题考查正弦型函数的对称性、单调性与零点个数的判断，同时也考查了利用正弦型函数的周期和图象变换求函数解析式，考查计算能力，属于中等题.12 已知定义在 R.上的偶函数 f(x)，对任意 xR，都有 f(2-x)=f(x+2)，且当

12、 2,0 x 时()21xf x.若在 a 1 时，关于 x的方程 log20af xx恰有三个不同的实数根，则实数 a的取值范围是（）A(1，2)B(232，2)C23(,2)(2，+)D(2，+)【答案】B【解析】由函数的奇偶性和周期性作()f x的图象，将方程的根的问题转化为两函数图象交点的问题，从而得log(22)3log(62)3aa，进而可求出实数 a的取值范围.【详解】依题意函数()f x的图象关于y轴及直线2x 对称，所以()f x的周期为4，作出2,0 x 时()f x的图象，由()f x的奇偶性和周期性作出()f x的图象，努力的你，未来可期!精品 关于x的方程()log(

13、2)0af xx恰有三个不同的实数根，可转化为函数()f x与log(2)ayx的图象有三个不同的交点，由数形结合可知log(22)3log(62)3aa，解得2322a，故选:B 【点睛】本题考查了数形结合的思想，考查了函数的奇偶性和周期性，考查了函数的零点与方程的根，考查了对数不等式的求解，属于中档题.画出函数的图象是本题的关键.二、填空题 13若 x，y满足约束条件33040 xyxyxy，则 z=2x+y的最大值是_.【答案】6【解析】画出不等式组对应的可行域，平移动直线20 xyz可得z的最大值.【详解】不等式组对应的可行域如图所示：由40 xyxy可得22xy，故2,2A.平移动直

14、线2zxy至2,2A处时，z取得最大值，且最大值为2 226 故答案为：6.努力的你，未来可期!精品 【点睛】本题考查线性规划，注意利用它来求最值时，应挖掘目标函数的几何意义，本题属于基础题.14已知(2,3),(1,3)ab，则a在b方向上的投影为_.【答案】12【解析】利用数量积的几何意义可求投影的值.【详解】a在b方向上的投影是 222 1331213a bb 故答案为：12.【点睛】本题考查数量积的几何意义，考查学生对概念的理解与掌握，本题属于基础题.15函数4()3lnf xxxx在(1,(1)f处的切线方程为_【答案】6110 xy【解析】先求导数()fx，计算切线斜率(1)kf

15、和切点坐标，再利用点斜式写出切线方程即可【详解】因为243()1fxxx，所以切线斜率(1)6kf ，又因为43ln11(1)15f，所以切点为1,5，努力的你，未来可期!精品 所以所求切线方程为56(1)yx，即6110 xy 故答案为：6110 xy【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线的方程，属于基础题.16如图，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，线段 AC1上有两个动点 E、F，且EF3=3，给出下列四个结论:CEBD 三棱锥 E-BCF的体积为定值 BEF在底面 ABCD 内的正投影是面积为定值的三角形 在平面 ABCD内存在无数条与平面 DEA1平行的直线 其中，

16、正确的结论是_【答案】【解析】根据棱柱的结构特征和线面关系逐项排除即可.【详解】因为BD 平面1ACC，所以BDCE，故对；因为点C到直线EF的距离是定值，点B到平面CEF的距离也是定值，所以三棱锥BCEF的体积为定值，故对；线段EF在底面ABCD上的正投影是线段GH，所以BEF在底面ABCD内的正投影是BGH.又因为线段EF的长是定值，所以线段GH是定值，从而BGH的面积是定值，故对；设平面ABCD与平面1DEA的交线为l，则在平面ABCD内与直线l平行的直线有无数条，故对.所以正确结论是 努力的你，未来可期!精品 故答案为：【点睛】本题主要考查命题的真假判断，解题时要认真审题，要熟练掌握棱

17、柱的结构特征，线与面之间的关系.三、解答题 17某杜区为了解居民参加体育锻炼的情况，从该社区中随机抽取了 18 名男性居民和12 名女性居民，对他们参加体育锻炼的情况进行问卷调查.现按是否参加体育锻炼将居民分成两类:甲类(不参加体育锻炼)、乙类(参加体育锻炼)，调查结果如下表:（1）根据上表中的统计数据，完成下面的 2 2 列联表:（2）通过计算判断是否有 95%的把握认为参加体育锻炼与否跟性别有关?【答案】（1）表格见解析；（2）没有95%的把握认为参加体育锻炼与否跟性别有关.【解析】（1）根据调查结果完成列联表即可；（2）根据22列联表计算2K，与附表对照，即可判断.【详解】解：（1）填写

18、的22列联表如下 男性居民 女性居民 合计 努力的你，未来可期!精品 不参加体育锻炼 3 6 9 参加体育锻炼 15 6 21 合计 18 12 30 （2）计算22303 66 15803.80959 21 18 1221K 因为3.80953.841.所以没有95%的把握认为参加体育锻炼与否跟性别有关.【点睛】本题考查了利用独立性检验解决实际问题，属于基础题.18已知ABC的内角 A、B、C所对边分别为 a、b、c，且cos 2cos()ABC （1）求 A；（2）若 a=3，且ABC的面积为32，求ABC的周长.【答案】（1）3A；（2）3+3.【解析】（1）先利用二倍角公式和诱导公式化

19、简整理得cos A的方程并求得cos A，再根据 A的范围求得 A 即可；（2）利用面积公式求出bc，再结合余弦定理求出bc，即得ABC的周长.【详解】解：（1）因为cos2cosAA，所以22coscos10AA 解得1cos2A或1（舍），又因为0A，所以3A .（2）因为13sin22ABCSbcA，所以2bc，又因为2222cosabcbcA，所以223bcbc，从而得2()33bcbc，因为2bc，所以3bc，所以ABC的周长为3+3.【点睛】本题考查了余弦定理、面积公式，以及诱导公式和二倍角的余弦公式，属于中档题.努力的你，未来可期!精品 19如图，在六面体 ABCDEF中，AB/

20、CD，ABAD，且 AB=AD=12CD=1，四边形 ADEF是正方形，平面 ADEF平面 ABCD.（1）证明:平面 BCE平面 BDE;（2）求六面体 ABCDEF 的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）23.【解析】（1）由勾股定理可得BCBD，再由面面垂直得到ED 平面ABCD，即可得到BCED，从而得到BC 平面BDE，即可得证；（2）根据ABCDEFV六面体+B ADEFV四棱锥E BCDV三棱锥计算可得；【详解】解：（1）证明：因为/AB CD，ABAD，且112ABADCD，可得2BDBC，2CD，所以BCBD 又平面ADEF 平面ABCD，平面ADEF平面ABCDAD，四边

21、形ADEF是正方形，EDAD，ED 平面ABCD，可得ED 平面ABCD，BC 平面ABCD，则BCED，BD，ED 平面BDE，BDEDD，故BC 平面BDE，BC 平面BCE，所以平面BCE 平面BDE 努力的你，未来可期!精品 （2）ABCDEFV六面体+B ADEFV四棱锥E BCDV三棱锥 13BCDADEFSABSED正方形（）111 122 132（）23 所以六面体ABCDEF的体积为23.【点睛】本题考查面面垂直的判定，以及几何体体积的计算，属于中档题.20已知点 Q是圆 M:22(1)16xy上一动点(M为圆心)，点 N的坐标为(1，0)，线段 QN的垂直平分线交线段 QM

22、于点 C，动点 C的轨迹为曲线 E.（1）求曲线 E的轨迹方程;（2）直线 l过点 P(4，0)交曲线 E于点 A，B，点 B关于 x的对称点为 D，证明:直线AD恒过定点.【答案】（1）22143xy；（2）证明见解析.【解析】（1）根据中垂线性质得CQCN，即得4CMCN，最后根据椭圆定义求方程;（2）先设直线AD的方程ykxm，并与椭圆方程联立，再根据A，B，P共线，结合韦达定理求得mk，即得定点.【详解】解：（1）因为线段QN的中垂线交线段QM于点C，则CQCN，所以42CMCNCMCQQMMN，由椭圆定义知：动点C的轨迹为以原点为中心的椭圆，其中：24a，22c，又222=3bac，

23、努力的你，未来可期!精品 所以曲线E的轨迹方程为22143xy.（2）设11,D x y，22,A x y，则11,B xy，由题意知直线AD的斜率必存在，设直线AD的方程为：ykxm，由22+143ykx mxy，消y得：222438430kmkmxx，故22222212221226416 43303408434343m kkmkmmkxxkmxxk 因为A，B，P共线，其中224,PAxy，114,PBxy 所以212144xyyx，整理得12122480kx xmkxxm，则22224388044343kmmkmkmkk，解得mk，此时2330k 则直线AD的方程为：1yk x，所以直线

24、AD恒过定点1,0【点睛】本题考查椭圆标准方程、椭圆定义、直线过定点，考查综合分析求解能力，属中档题.21已知函数()(ln)()f xxxax aR（1）当 a=1 时，求函数 f(x)的单调区间;（2）若函数 f(x)有两个极值点，求实数 a的取值范围.【答案】（1）单调递减区间为0,，无单调递增区间；（2）10,2.【解析】（1）求出 fx，讨论其符号后可得函数的单调区间.（2）令 h xfx，则 h x有两个不同的零点，利用导数讨论 h x的单调性并结合零点存在定理可得实数a的取值范围.【详解】努力的你，未来可期!精品 解：（1）当1a 时，()(ln)f xxxx，函数()f x的定

25、义域为0,，1()ln(1)ln21fxxxxxxx，设()ln21g xxx，则11 2()2xg xxx，当10,2x时，()0g x，()g x为增函数；当1,+2x时，()0g x，()g x为减函数 所以111()()ln1 1ln0222g xg ，即()0fx，所以函数()f x的单调递减区间为0,，无单调递增区间.（2）因为()(ln)f xxxax(0)x，所以()ln21fxxax，令 ln21h xxax，由题意可知()h x在0,上有两个不同零点 又 12axh xx，若0a，则 0h x，故()h x在0,上为增函数，这与()h x在0,上有两个不同零点矛盾，故0a.

26、当10,2xa时，()0h x，()h x为增函数；当1,+2xa时，()0h x，()h x为减函数 故max11()ln22h xhaa，因为()h x在0,上有两个不同零点，故1ln02a即112a即102a.取1112ea，120ahee，故()h x在11,2ea有一个零点，取2112aa，21122ln1haaa，努力的你，未来可期!精品 令 2ln21,2s xxxx，则 2 1220 xsxxx，故 s x在2,为减函数，因为12a，故122ln12ln 232310aa ，故210ha，故()h x在211,2a a有一个零点，故()h x在0,上有两个零点，故实数a的取值范

27、围为10,2.【点睛】本题考查函数单调性和函数的零点，后者应该利用导数研究单调性并结合零点存在定理来判断，本题属于较难题.22 已知平面直角坐标系 xOy中，曲线221:1Cxy经过伸缩变换2xxyy得到曲线C2，直线 l过点 P(-1，0)，斜率为33，且与曲线 C2交于 A，B两点.（1）求曲线 C2的普通方程和直线 l的参数方程;（2）求PA PB的值.【答案】（1）31,21.2xtyt （t为参数）；2214xy；（2）127.【解析】(1)由变换规则可得12xxyy，代入曲线1C可得 C2的普通方程，由已知条件即可写出直线的参数方程.(2)设A，B所对应参数分别为1t，2t，将l的

28、参数方程代入曲线2C，结合韦达定理和参数的几何意义即可求出PAPB的值.【详解】努力的你，未来可期!精品（1）由2,xxyy得12xxyy，代入曲线1C得：2212xy，所以曲线2C的普通方程为2214xy.因为直线l过点(1,0)P，斜率为33，所以l的参数方程为31,21.2xtyt （t为参数）.（2）设A，B所对应参数分别为1t，2t，将l的参数方程代入曲线2C得:274 3120tt，则24 34 7 120 ，且1 2127t t ，所以，121 2127PAPBttt t.【点睛】本题考查了伸缩变换，考查了直线的参数方程，考查了参数的几何意义.23已知函数()22,0f xxxa

29、 a.（1）当 a=1 时，求不等式 f(x)2 的解集;（2）若 f(x)的图象与 x轴围成的三角形的面积大于 6，求实数 a的取值范围.【答案】（1）2,23；（2）1,.【解析】(1)代入1a，通过讨论去掉绝对值号，从而求出解集.(2)讨论x的取值范围，去掉函数的绝对值号，从而可得图象与x轴所围成的三角形三个顶点的坐标，进而可求出面积表达式，由题意可写出关于 a的不等式，从而可求出实数a 的取值范围.【详解】解：（1）1a 时，由不等式()2f x 可得：()2212f xxx，可化为：22222xxx 或212222xxx 或12222xxx，解得：x 或 213x 或 12x，即：223x，则不等式的解集为2,23.努力的你，未来可期!精品（2）因为22,2,()322,2,22,xa xf xxaxaxa xa 所以()f x的图象与x轴所围成的三角形，三个顶点分别为22,03aA，,2B a a，22,0Ca，由题意，122222623aaa，整理得：2450aa，因为0a，所以解得：1a，所以，实数a的取值范围为1,.【点睛】本题考查利用零点分段法求解绝对值不等式，同时也考查了利用绝对值函数与坐标轴围成的三角形面积求参数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.