【志鸿优化设计】高考数学一轮复习第六章数列6.4数列的通项与求和教学案新人教B版.pdf

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1、 6.4 数列的通项与求和 考纲要求 1熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式 2掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法 数列求和的常用方法 1公式法(1)直接用等差、等比数列的求和公式(2)掌握一些常见的数列的前n项和 123n_；135(2n1)_；2462n_；122232n2_；132333n3_.2倒序相加法 如果一个数列an，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如_数列的前n项和公式即是用此法推导的 3错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如_数列的

2、前n项和公式就是用此法推导的 4裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和 5分组转化法 把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比 数列，然后由等差、等比数列求和公式求解 6并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和 形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解 例如Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.1.114147171013n23n1等于()An3n1 B3n3n1 C11n1 D313n1 2已知数列an的通项公式是an2n12n，其前n项

3、和Sn32164，则项数n等于()A 13 B10 C9 D6 3数列(1)n(2n1)的前 2 012 项和S2 012()A2 012 B2 012 C2 011 D2 011 4已知数列an的前n项和为Sn且ann2n，则Sn_.一、分组转化法求和【例 1】已知函数f(x)2x3x1，点(n，an)在f(x)的图象上，an的前n项和为Sn.(1)求使an0 的n的最大值；(2)求Sn.方法提炼 1数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转 化为等差数列或等比数列或可求数列的前n项和的数列求和 2常见类型及方法(1)anknb，利用等差数列前n项和公式直接求解；(2

4、)anaqn1，利用等比数列前n项和公式直接求解；(3)anbncn，数列bn，cn是等比数列或等差数列，采用分组求和法求an的前n项和 请做演练巩固提升4 二、裂项相消法求和【例 21】等比数列an的各项均为正数，且 2a13a21，a239a2a6.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog3a1log3a2log3an，求数列1bn的前n项和【例 22】已知各项均不相等的等差数列an的前四项和S414，且a1，a3，a7成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)设Tn为数列1anan1的前n项和，若Tnan1对一切nN*恒成立，求实数的最小值 方法提炼 1利用裂项相消法求和时，应注

5、意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项将通项裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等 2 一般情况如下，若an是等差数列，则1anan11d1an1an1，1anan212d1an1an2.此外根式在分母上时可考虑利用分母有理化相消求和 3常见的拆项公式有：(1)1nn11n1n1；(2)1nnk1k1n1nk；(3)12n12n11212n112n1；(4)1nn1n2121nn11n1n2；(5)1nnk1k(nkn)请做演练巩固提升 3 三、错位相减法求和【例 31】(2012 浙江高考)已知数列an的前n项和为Sn，且S

6、n2n2n，nN*，数列bn满足an4log2bn3，nN*.(1)求an，bn；(2)求数列anbn的前n项和Tn.【例 32】已知在数列an中，a13，点(an，an1)在直线yx2 上(1)求数列an的通项公式；(2)若bnan3n，求数列bn的前n项和Tn.方法提炼 1用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式 2利用错位相减法求和时，转化为等比数列求和若公比是个参数(字母)，则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于 1 和不等于 1

7、两种情况分别求和 特别强调：利用裂项相消法求和时要注意：(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；(2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下两项 请做演练巩固提升 5 分类讨论思想在数列求和中的应用【典例】(13 分)(2012 湖北高考)已知等差数列an前三项的和为3，前三项 的积为 8.(1)求等差数列an的通项公式；(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列|an|的前n项和 规范解答：(1)设等差数列an的公差为d，则a2a1d，a3a12d，由题意得 3a13d3，a1a1da12d8.解得 a12，d3，或 a14，d3.(4 分)所

8、以由等差数列通项公式可得 an23(n1)3n5，或an43(n1)3n7.故an3n5，或an3n7.(6 分)(2)当an3n5 时，a2，a3，a1分别为1，4,2，不成等比数列，不满足条件；当an3n7 时，a2，a3，a1分别为1,2，4，成等比数列，满足条件 故|an|3n7|3n7，n1，2，3n7，n3.(8 分)记数列|an|的前n项和为Sn.当n1 时，S1|a1|4；(9 分)当n2 时，S2|a1|a2|5；当n3 时，SnS2|a3|a4|an|5(337)(347)(3n7)5n223n7232n2112n10，当n2 时，满足此式(12 分)综上，Sn 4，n1，

9、32n2112n10，n1.(13 分)答题指导：分类讨论思想在数列求和时经常遇到，尤其是含绝对值的求和问题，与等比数列有关的问题，还有分奇偶项进行讨论的问题，此类问题讨论时要掌握不遗漏、不重复的原则 1在各项均为正数的等比数列an中，a3a54，则数列log2an的前 7 项和等于()A7 B8 C27 D28 2已知等比数列an的首项为 1，若 4a1,2a2，a3成等差数列，则数列1an的前 5项和为()A3116 B2 C3316 D1633 3数列124，146，168，12n2n2，的前n项和为()An2n2 Bn4n4 C2nn1 D2n2n1 4求下面数列的前n项和 11，1a

10、4，1a27，1an13n2，.5已知数列an是首项a11 的等比数列，且an0，bn是首项为 1 的等差数列，又a5b321，a3b513.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)求数列bn2an的前n项和Sn.参考答案 基础梳理自测 知识梳理 1(2)n(n1)2 n2 n(n1)n(n1)(2n1)6 n(n1)22 n2(n1)24 2等差 3等比 基础自测 1A 解析：Sn 13 1141417 13n213n1 13113n1n3n1.故选 A.2D 解析：an2n12n112n，Snn1212212n n112n.而321645164.n112n5164.n6.3B 解析：S2

11、0121357(22 0111)(22 0121)2 012.故选 B.4(n1)2n12 解析：Sn2222323n2n，2Sn22223324(n1)2nn2n1.，得Sn222232nn2n12(12n)12n2n12n12n2n1，Sn(n1)2n12.考点探究突破【例 1】解：(1)依题意an2n3n1，an0，即 2n3n10.函数f(x)2x3x1 在1,2上为减函数，在 3，)上为增函数 当n3 时，239120，当n4 时，2412130，2n3n10 中n的最大值为 3.(2)Sna1a2an(2222n)3(123n)n2(12n)123n(n1)2n2n1n(3n5)2

12、2.【例 21】解：(1)设数列an的公比为q.由a329a2a6 得a329a42，所以q219.由条件可知q0，故q13.由 2a13a21 得 2a13a1q1，所以a113.故数列an的通项公式为an13n.(2)bnlog3a1log3a2log3an(12n)n(n1)2.故1bn2n(n1)21n1n1，1b11b21bn 2 1121213 1n1n12nn1.所以数列1bn的前n项和为2nn1.【例 22】解：(1)设公差为d.由已知得 4a16d14，(a12d)2a1(a16d)，联立解得d1 或d0(舍去)，a12，故ann1.(2)1anan11(n1)(n2)1n1

13、1n2，Tn121313141n11n2121n2n2(n2).Tnan1，n2(n2)(n2)n2(n2)2.又n2(n2)212n4n412(44)116.的最小值为116.【例 31】解：(1)由Sn2n2n，得当n1 时，a1S13；当n2 时，anSnSn14n1.所以an4n1，nN*.由 4n1an4log2bn3，得bn2n1，nN*.(2)由(1)知anbn(4n1)2n1，nN*.所以Tn3721122(4n1)2n1,2Tn32722(4n5)2n1(4n1)2n，所以 2TnTn(4n1)2n34(2222n1)(4n5)2n5.故Tn(4n5)2n5，nN*.【例 3

14、2】解：(1)点(an，an1)在直线yx2 上，an1an2，即an1an2.数列an是以 3 为首项，2 为公差的等差数列，an32(n1)2n1.(2)bnan3n，bn(2n1)3n.Tn33532733(2n1)3n1(2n1)3n，3Tn332533(2n1)3n(2n1)3n1.得2Tn332(32333n)(2n1)3n1 929(13n1)13(2n1)3n1 2n3n1 Tnn3n1.演练巩固提升 1A 解析：在各项均为正数的等比数列an中，由a3a54，得a424，a42.设bnlog2an，则数列bn是等差数列，且b4log2a41.所以bn的前 7 项和S77(b1b

15、7)27b47.2A 解析：设数列an的公比为q，则有 4q222q，解得q2，所以an2n1.1an12n1，所以S511251123116.故选 A.3B 解析：12n(2n2)1212n12n2，Sn12 12141416 12n12n2121212n2 122n2(2n2)n4n4.4解：前n项和为Sn(11)1a4 1a27 1an13n2 11a1a21an1147(3n2)，设T111a1a21an1，当a1 时，T1n；当a1 时，T1an1anan1，T2147(3n2)(3n1)n2.当a1 时，SnT1T2n(3n1)n2(3n1)n2；当a1 时，SnT1T2an1anan1(3n1)n2.5解：(1)设数列an的公比为q，bn的公差为d，则由已知条件得：q412d21，q214d13，解之得 d2，q2或q2(舍去).an2n1，bn1(n1)22n1.(2)由(1)知bn2an2n12n.Sn123225232n32n12n12n.12Sn1223232n32n2n12n1.得，12Sn1222222322n2n12n1 121212212n12n12n1 1212112n11122n12n1 12112n12n12n1.Sn32n32n.