2015届广东惠州第一次考试'数学(理-).doc

《2015届广东惠州第一次考试'数学(理-).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015届广东惠州第一次考试'数学(理-).doc（15页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、惠州市惠州市 20152015 届高三第一次调研考试届高三第一次调研考试数数 学学 ( (理科）理科） 本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项：注意事项： 1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号 填写在答题卡上。 2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改

2、 液。不按以上要求作答的答案无效。 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分. . 在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求一项符合题目要求. .1复数iiz1（其中为虚数单位）的虚部是 （ ）. A21 .Bi21.C 21.D i21 2已知集合, 1RxxyyA，2xxB，则下列结论正确的是（ ）. AA3 .BB3 .C ABB .D ABB3某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为900 900 1200、人，现用分层抽样的方 法从该 校高中三个年级的学生中抽取容量为 50

3、的样本，则应从高三年级抽取的学生人数为 ( ) . A 15 .B20 .C 25 .D 30 4已知等差数列na的前项和为nS，若5418aa，则8S ( ). A 18 .B36 .C 54 .D 72 5在二项式52)1(xx 的展开式中，含4x的项的系数是（ ）. A 10 .B10 .C 5 .D 20 6若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于（ ） . A30 .B12 .C 24 .D 7已知yx,都是区间2, 0内任取的一个实数，则使得xysin的取值的概率是（ ）. A24 .B2.C 21.D 22 8已知向量a与b的夹角为，定义ba为a与b的“向量积” ，且b

4、a是一个向量，43233正视图侧视图俯视图它的长度sinbaba，若(2,0)u r ，(1,3)uvrr ，则)(vuu（ ）. A34 .B3 .C 6 .D 32二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 7 7 小题，分为必做题和选做题两部分每小题小题，分为必做题和选做题两部分每小题 5 5 分，满分分，满分 3030 分）分）（一）必做题：第（一）必做题：第 9 9 至至 1313 题为必做题，每道试题考生都必须作答题为必做题，每道试题考生都必须作答9 函数3log (32)yx的定义域是 .10以抛物线xy42的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为 2 2 的双曲线方程是 .11用数字

5、1,2,3,4 可以排成没有重复数字的四位偶数，共有_个.12设变量yx,满足 110yyxx，则yx的最大值是 .13函数)(xf的定义域为，2) 1(f，对任意Rx，2)( xf，则42)(xxf的解 集为 .（二）选做题：第（二）选做题：第 1414、1515 题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。得分。14 （坐标系与参数方程选做题）极坐标系中，BA，分别是直线05sincos和圆sin2上的动点，则BA，两点之间距离的最小值是 .15(几何证明选讲选做题)如图所示，OAB是等腰三角形， 是底边AB延长线上

6、一点，且3PO，4PBPA，则腰长OA= . 三、解答题：（本大题共解答题：（本大题共6 6小题，满分小题，满分8080分须写出必要的文字说明、证明过程和演算步分须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤骤 ）16 （本小题满分12分）已知02cos22sinxx. (1)求xtan的值； (2)求 xxxsin)4cos(22cos的值APOB17 （本小题满分 12 分） 去年 2 月 29 日，我国发布了新修订的环境空气质量标准指出空气质量指数在 050为优秀，各类人群可正常活动.惠州市环保局对我市 2014 年进行为期一年的空气质 量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取 50 个作

7、为样本进行分析报告，样本数据分组区间为5,15，15,25，25,35，35,45，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图.(1) 求的值；(2) 根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；（注：设样本数据第组的频率为ip，第组区间的中点值为ix1,2,3,in，则样本数据的平均值为112233nnXx px px px p.）(3) 如果空气质量指数不超过15，就认定空气质量为“特优等级” ，则从这一年的监测数据中随机抽取3天的数值，其中达到“特优等级”的天数为，求的分布列和数学期望.18.（本小题满分 14 分）如图，在直三棱柱111ABCABC中，平面1ABC 侧面11

8、A ABB，且12AAAB(1) 求证：ABBC；(2) 若直线AC与平面1A BC所成的角为6，求锐二面角1AACB的大小。19 （本小题满分 14 分）BA1CAB1C1空气质量指数频率组距0.0320.020 0.018O515 253545a已知数列 na中，13a ，前项和1(1)(1) 12nnSna(1) 求数列 na的通项公式；(2) 设数列11nna a:的前项和为nT，是否存在实数M，使得nTM对一切正整数都成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，请说明理由20 （本小题满分 14 分）椭圆2222:1xyCab(0)ab的离心率为1 2，其左焦点到点(2,1)P的距离为1

9、0(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 若直线: l ykxm与椭圆C相交于AB、两点(AB、不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标21 （本小题满分 14 分）已知关于的函数321( )3f xxbxcxbc ，其导函数为( )fx记函数( )( )g xfx 在区间11 ,上的最大值为M(1) 如果函数( )f x在1x 处有极值4 3，试确定bc、的值；(2) 若1b ，证明对任意的，都有2M ；(3) 若Mk对任意的bc、恒成立，试求k的最大值F2OxyPABF1A2l惠州市 2015 届高三第一次调研考试数学数学 ( (理科）参考答案

10、与评分标准理科）参考答案与评分标准一选择题：共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分题号12345678答案CCBDACAD1. 【解析】化简得iz21 21，则虚部为21，故选C2. 【解析】已知集合), 3(A), 2 BBBA,故选C3. 【解析】三个年级的学生人数比例为4:3:3，按分层抽样方法，在高三年级应该抽取 人数为20433450人，故选4. 【解析】由题意1854 aa，等差数列中8154aaaa，所以722)(854 8aaS，故选5. 【解析】由二项式定理可知，展开式的通项为rrrxC310 5) 1(，则4310 r得2r，所以含4x项的系数为10) 1(22 5C

11、，故选6. 【解析】由三视图可知，原几何体是一个三棱柱被截去了一个小三棱锥得到的，如图11 13 4 5(3 4) 32423 2V ，故选C7. 【解析】此题为几何概型，事件 A 的度量为函数sinyx的图像在0,2内与轴围成的图形的面积，即2 0sin1Sxdx ，则事件 A 的概率为21422sPs，故选8.【解析】由题意()(1, 3)vuuv ，则(3, 3)uv ，3cos,2u uv ，得1sin,2u uv ，由定义知1()sin,2 2 32 32uuvu uvu uv :，故选3243第 6 题图二填空题：共 7 小题，每小题 5 分，满分 30 分其中 1415 题是选做

12、题，考生只能选做一题9),32( 102 213yx 1112 123 13( 1,) 142 211559. 【解析】由023x得32x，则定义域为：),32( 10 【解析】抛物线焦点(1,0)，则双曲线中：1a ，且2cea，得2c ，又222cab得33b ，则双曲线的标准方程为：2 213yx 11 【解析】由题意，没有重复数字的偶数，则末位是 2 或 4，当末位是时，前三位将，3，三个数字任意排列，则有3 36A 种排法，末位为时一样有3 36A 种，两类共有：3 3212A 种，故共有没有重复数字的偶数12个。12 【解析】由约束条件画出可行域如图所示，则目标函数zxy在点(2,

13、1)B取得最大值， 代入得3xy，故xy的最大值为3。13 【解析】设函数( )( )24g xf xx，则( )( )20g xfx，得函数( )g x在上为增函数，且( 1)( 1)2 ( 1)40gf ，所以当( )24f xx时，有( )0g x ，得1x ，故不等式( )24f xx的解集为( 1,) 14 【解析】由题意，直线:50l xy，圆的标准方程22(1)1xy，则圆心(0,1)到直线l的距离为2 2，且圆半径1r ，故min2 21ABdr15 【解析】以O为圆心，以OA为半径作圆，则圆O经过点，即OAOBr，设 PO与圆O交于点C且延长PO交圆O与点，由切割线定理知PA

14、 PBPD PC:，即(3)(3)4rr，OCBA11-1xyy=-x得5r ，所以5OAr三、解答题：16 （本小题满分 12 分）解：（1） sin2cos022xx，则cos02x -1 分tan22x -2 分 22tan2tan 1tan2xxx -4分 22 24 123 -5分（2） 原式22cossin222cossinsin22xxxxx -7 分(cossin )(cossin ) (cossin )sinxxxx xxx -9 分 cossin sinxx x -10 分 1tan tanx x -11 分 1 4 -12 分17 （本小题满分 12 分）(1) 解解：由

15、题意，得0.020.0320.018101a， 1分解得0.03a . 2 分（2）解解：50个样本中空气质量指数的平均值为0.2 100.32 200.3 300.18 4024.6X 3ABPO CD分由样本估计总体，可估计这一年度空气质量指数的平均值约为24.6. 4 分（3）解解：利用样本估计总体，该年度空气质量指数在5,15内为“特优等级” ，且指数达到“特优等级”的概率为0.2，则13,5B:. 5分的取值为0,1,2,3， 6分3 0 346405125PC，2 1 31448155125PC ，2 2 31412255125PC，3 3 31135125PC. 10 分的分布列

16、为：11 分6448121301231251251251255E . 12 分（或者13355E ）18 （本小题满分 14 分）解：（1）证明：如右图，取1AB的中点，连接AD， 1 分因1AAAB，则1ADAB 2 分由平面1ABC 侧面11A ABB，且平面1ABC侧面11A ABB1AB，3 分得1ADABC 、，又BC平面1ABC， 所以ADBC. 4 分因为三棱柱111ABCABC是直三棱柱，0364 12548 12512 1251 125BA1CAB1C1DE则1AAABC 、，所以1AABC.又1=AAAD A，从而BC 侧面11A ABB ，又AB 侧面11A ABB，故A

17、BBC. 7 分（2）解法一：连接CD，由（1）可知1ADABC 、，则CD是AC在1ABC、内的射影 ACD即为直线AC与1ABC、所成的角，则=6ACD 8 分在等腰直角1A AB中，12AAAB，且点是1AB中点 1122ADAB，且=2ADC，=6ACD 2 2AC 9 分过点 A 作1AEAC于点，连DE由（1）知1ADABC 、，则1ADAC，且AEADA AED即为二面角1AACB的一个平面角 10 分且直角1A AC中：112 2 22 6 32 3A A ACAEAC:又= 2AD，=2ADE 23sin=22 6 3ADAEDAE，且二面角1AACB为锐二面角 =3AED，

18、即二面角1AACB的大小为314 分解法二（向量法）：由（1）知ABBC且1BBABC 、，所以以点为原点，以1BCBABB、所在直线分别为, ,x y z轴建立空间直角坐标系Bxyz，如图所示，且设BCa，则(0,2,0)A， (0,0,0)B， ( ,0,0)C a， 1(0,2,2)A( ,0,0)BCa ， 1(0,2,2)BA ， ( , 2,0)ACa ， 1(0,0,2)AA 9 分设平面1ABC的一个法向量1( , , )nx y z由1BCn ， 11BAn得：0220xayz 令1y ，得 0,1xz ，则1(0,1, 1)n 10 分设直线AC与1ABC、所成的角为，则6

19、得12 121sin6242AC nAC na : ，解得2a ，即(2, 2,0)AC 12 分又设平面1A AC的一个法向量为2n ，同理可得，2(1,1,0)n 设锐二面角1AACB的大小为，则12 12121coscos,2n nn n n n : ，且(0,)2，得 3 锐二面角1AACB的大小为3。 14 分19 （本小题满分 14 分）解：（1） （解法一）1(1)(1) 12nnSna111(2)(1) 12nnSna11nnnaSS11(2)(1)(1)(1)2nnnana 3 分整理得1(1)1nnnana1)2() 1(12nnanan 两式相减得211(1)(2)(1)

20、nnnnnananana 5 分即 21(1)2(1)(1)0nnnnanana2120nnnaaa，即211nnnnaaaa 7 分 数列 na是等差数列且13a ，得25a ，则公差2d 21nan 8 分（解法二） 1(1)(1) 12nnSna111(2)(1) 12nnSna11nnnaSS11(2)(1)(1)(1)2nnnana 3 分整理得1(1)1nnnana等式两边同时除以(1)n n得 11 1(1)nnaa nnn n， 5 分即1111 1(1)1nnaa nnn nnn 6 分累加得112211 112211nnnnnaaaaaaaa nnnnn11111111 3

21、112232nnnnnn 12n得21nan 8 分（2） 由（1）知21nan 111 (21)(23)nna ann:111()2 2123nn10分 1 11111111()2 355721212123nTnnnn1 11()2 323n1 6 12分则要使得nTM对一切正整数都成立，只要max()nTM，所以只要1 6M 存在实数M，使得nTM对一切正整数都成立，且M的最小值为1 614 分20 （本小题满分 14 分）解：（1）由题：1 2cea 左焦点 (c,0) 到点 P(2,1) 的距离为：d = = (2 + c) 2 + 1 2102 分由可解得c = 1 ， a = 2

22、， b 2 = a 2c 2 = 3 3 分 所求椭圆 C 的方程为 x 2 4+ y 23= 14 分（2）设 A(x1,y1)、B(x2,y2)，将 y = kx + m代入椭圆方程得(4k 2 + 3) x 2 + 8kmx + 4m 212 = 0x1 + x2 = ，x1x2 = ， 68km 4k 2 + 34m 212 4k 2 + 3分OxyPABF1F2A2l且y1 = kx1 + m，y2 = kx2 + mAB为直径的圆过椭圆右顶点 A2(2,0) ，所以 = 0 7 分A2A A2B所以 (x12,y1)(x22,y2) = (x12) (x22) + y1y2 = (

23、x12) (x22) + (kx1 + m) (kx2 + m)= (k 2 + 1) x1x2 + (km2) (x1 + x2) + m 2 + 4= (k 2 + 1)(km2)+ m 2 + 4 = 0 4m 212 4k 2 + 38km 4k 2 + 310 分整理得 7m 2 + 16km + 4k 2 = 0m = k 或 m = 2k 都满足 0 2 712 分若 m = 2k 时，直线 l 为 y = kx2k = k (x2) ，恒过定点 A2(2,0)，不合题意舍去；13 分若 m = k 时，直线 l 为 y = kxk = k (x )， 恒过定点 ( ,0) 2

24、72 72 72 714 分21 （本小题满分 14 分）解：（1） 2( )2fxxbxc ，由( )f x在1x 处有极值4 3，可得(1)120 14(1)33fbcfbcbc ，解得，1 1b c 或1 3b c 2 分若1b ，1c ，则22( )21(1)0fxxxx ，此时函数( )f x没有极值；3 分若1b ，3c ，则2( )23(1)(1)fxxxxx ,此时当变化时，( )f x，( )fx的变化情况如下表：(, 3) 3( 3,1)(1,)( )fx00( )f x极小值12极大值4 3 当1x 时，( )f x有极大值4 3，故1b ，3c 即为所求。 4 分（2）

25、证法一：222( )( )2()g xfxxbxcxbbc 当1b 时，函数( )yfx的对称轴xb位于区间 1,1之外 ( )fx在区间 1,1上的最值在两端点处取得，故M应是( 1)g 和(1)g中较大的一个 2M(1)( 1)121 244ggbcbcb ，即2M 8 分证法二（反证法）：因为1b ，所以函数( )yfx的对称轴xb位于区间 1,1之外， ( )fx在区间 1,1上的最值在两端点处取得，故M应是( 1)g 和(1)g中较大的一个，假设2M ，则( 1)1 22(1)122gbcgbc ，将上述两式相加得: 6 分41 21244bcbcb ,得44，产生矛盾， 2M 8

26、分（3） 22( )( )()g xfxxbbc （i）当1b 时，由（2）可知2M ； 9 分（ii）当1b 时，函数( )yfx的对称轴xb位于区间 1,1之内，此时max( 1), (1), ( )Mggg b，由(1)( 1)4ffb，有2( )( 1)(1)0f bfb 若10b ，则 1( 1)( )fff b，则( 1)max(1), ( )ggg b，于是11max(1) ,( )(1)( )(1)( )22Mff bff bff b211(1)22b 11 分 若01b，则 1(1)( )fff b，则(1)max( 1), ( )ggg b于是11max( 1) ,( )( 1)( )( 1)( )22Mff bff bff b211(1)22b13 分综上可知，对任意的b、都有1 2M 而当0b ，1 2c 时，21( )2g xx 在区间 1,1上的最大值1 2M ，故Mk对任意的b、恒成立的k的最大值为1 2。 14 分