2015届广东惠州第一次考试~数学(理~).doc

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1、|惠州市 2015 届高三第一次调研考试数 学 (理科） 本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 一、选择题：本大题共 8 小题，每小

2、题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1复数 iz（其中为虚数单位）的虚部是 （ ）.A2.Bi21 .C 21 .D i21 2已知集合 ,Rxy， xB，则下列结论正确的是（ ）.3.3 . A . AB3某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为 901、 、 人，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本，则应从高三年级抽取的学生人数为 ( ).A15.B20 .C 25 .D 3 4已知等差数列 na的前项和为 nS，若 5418a，则 8S ( ).8.36 . . 72 5在二项式 52)1(x的展开式中，含 4x的

3、项的系数是（ ）.A10.B0 .C 5 .D 0 6若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于（ ）.3.12 . 24 . 7已知 yx,都是区间 ,0内任取的一个实数，则使得 xysin的取值的概率是（ ） .A24.B .C 21 .D 28已知向量 a与 b的夹角为 ，定义 ba为 与 的“向量积” ，且 ba是一个向量，43233正视图 侧视图俯视图|它的长度 sinba，若 (2,0)ur， (1,3)vr，则 )(vu（ ）.A34.B3 .C 6 .D 2二、填空题（本大题共 7 小题，分为必做题和选做题两部分每小题 5 分，满分 30 分）（一）必做题：第 9 至

4、13 题为必做题，每道试题考生都必须作答9 函数 3log(2)yx的定义域是 .10以抛物线 4的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为 2 的双曲线方程是 .11用数字 1,2,3,4 可以排成没有重复数字的四位偶数，共有_个.12设变量 yx,满足 10，则 yx的最大值是 .13函数 )(f的定义域为， 2)(f，对任意 Rx， 2)(f，则 42)(xf的解集为 .（二）选做题：第 14、15 题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。14 （坐标系与参数方程选做题）极坐标系中， BA， 分别是直线05sinco和圆 2上的动点，则 ， 两点之间距离的最小值是 .15(

5、几何证明选讲选做题)如图所示， O是等腰三角形，是底边 AB延长线上一点，且 3PO， 4，则腰长 A= . 三、解答题：（本大题共6小题，满分80分须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤 ）16 （本小题满分12分）已知 02cossinx. (1)求 ta的值； (2)求 xsin)4c(的值A POB|17 （本小题满分 12 分）去年 2 月 29 日，我国发布了新修订的环境空气质量标准指出空气质量指数在05为优秀，各类人群可正常活动.惠州市环保局对我市 2014 年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取 50 个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为 ,

6、1， 5,2， ,35， ,4，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图.(1) 求的值；(2) 根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；（注：设样本数据第组的频率为 ip，第组区间的中点值为 ix1,23,n ，则样本数据的平均值为 123nXxxp .）(3) 如果空气质量指数不超过 5，就认定空气质量为“特优等级” ，则从这一年的监测数据中随机抽取 3天的数值，其中达到“特优等级”的天数为 ，求 的分布列和数学期望.18.（本小题满分 14 分）如图，在直三棱柱 1ABC中，平面 1ABC侧面 1，且 12AB(1) 求证： ；(2) 若直线 与平面 1所成的角为 6，

7、求锐二面角 1C的大小。19 （本小题满分 14 分）BA1CAB1C1空气质量指数频率组距0.0320.0200.018O 5 15 25 35 45a|已知数列 na中， 13，前项和 1()12nnSa(1) 求数列 的通项公式；(2) 设数列 1na:的前项和为 nT，是否存在实数 M，使得 nT对一切正整数都成立？若存在，求出 M的最小值；若不存在，请说明理由20 （本小题满分 14 分）椭圆2:1xyCab(0)的离心率为 12，其左焦点到点 (2,1)P的距离为 0(1) 求椭圆 的标准方程；(2) 若直线 :lykxm与椭圆 C相交于 AB、 两点( 、 不是左右顶点)，且以

8、AB为直径的圆过椭圆 的右顶点，求证：直线 l过定点，并求出该定点的坐标21 （本小题满分 14 分）已知关于的函数 321()fxbxc，其导函数为 ()fx记函数()gxf在区间 ,上的最大值为 M(1) 如果函数 ()x在 1处有极值 43，试确定 bc、 的值；(2) 若 1b，证明对任意的，都有 2；(3) 若 Mk对任意的 bc、 恒成立，试求 k的最大值F2OxyPABF1 A2l|惠州市 2015 届高三第一次调研考试数学 (理科）参考答案与评分标准一选择题：共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 C C B D A C A D1.

9、 【解析】化简得 iz2，则虚部为 21，故选2. 【解析】已知集合 ),3(A),B,故选3. 【解析】三个年级的学生人数比例为 4:3，按分层抽样方法，在高三年级应该抽取人数为 204350人，故选4. 【解析 】由题意 1854a，等差数列中 8154aa，所以72)(854aS，故选5. 【解析】由二项式定理可知，展开式的通项为 rrxC3105)(，则 r得 2，所以含 4x项的系数为 10)(25C，故选6. 【解析】由三视图可知，原几何体是一个三棱柱被截去了一个小三棱锥得到的，如图 34(34)2V，故选 C7. 【 解析】此题为几何概型，事件 A 的度量为函数 sinyx的图像

10、在 0,2内与轴围成的图形的面积，即 20sin1Sxd，则事件 A 的概率为 14Ps，故选8.【解析】由题意 ()1,3)vu，则 (3,)uv， 3cos,2uv，得 sin,2，由定义知 1()sin,232uvuv:，故选3243第 6 题图|二填空题：共 7 小题，每小题 5 分，满分 30 分其中 1415 题是选做题，考生只能选做一题9 ),32( 10213yx1112 12 3 13 (1,) 14115 59. 【解析】由 02x得 3，则定义域为： ),32( 10 【解析】抛物线焦点 (1,)，则双曲线中： 1a，且 cea，得 2，又22cab得 3，则双曲线的标准

11、方程为：213yx11 【解析】由题意，没有重复数字的偶数，则末位是 2 或 4，当末位是时，前三位将， ，三个数字任意排列，则有 36A种排法，末位为时一样有 36A种，两类共有：321种，故共有没有重复数字的偶数 12个。12 【解析】由约束条件画出可行域如图所示，则目标函数 zxy在点 (2,)B取得最大值， 代入得 3xy，故 xy的最大值为 3。13 【解析】设函数 ()4gfx，则 ()20gf，得函数 ()g在上为增函数，且 (1)2(1)0f，所以当 ()4fx时，有 ()x，得x，故不等式 ()4fx的解集为 (,)14 【解析】由题意，直线 :50ly，圆的标准方程 22(

12、1)xy，则圆心(0,1)到直线 l的距离为 2，且圆半径 1r，故 minABdr15 【解析】以 O为圆心，以 A为半径作圆，则圆 O经过点，即 ，设P与圆 交于点 C且延长 交圆 与点，由切割线定理知 PDC:，即(3)4r，OC BA11-1xyy=-x|得 5r，所以 5OAr三、解答题：16 （本小题满分 12 分）解：（1） sin2cos0x，则 cos02x -1 分 ta -2 分 2ttn1ax-4分 243 -5分（2） 原式2cosin2sixx-7 分(cosin)(coin)sx -9 分 sinx-10 分 1ta -11 分 4-12 分17 （本小题满分 1

13、2 分）(1) 解 ：由题意，得 0.230.18a， 1分解得 .a. 2分（2）解： 50个样本中空气质量指数的平均值为 .21.320.3.18402.6X3A B POCD|分由样本估计总体，可估计这一年度空气质量指数的平均值约为 24.6. 4分（3）解：利用样本估计总体，该年度空气质量指数在 5,1内为“特优等级” ，且指数达到“特优等级”的概率为 0.2，则 3,B:. 5分的取值为 0,123， 6分3046512PC， 21348515PC，235，32. 10 分 的分布列为：11 分 64812301255E. 12 分（或者 3）18 （本小题满分 14 分）解：（1）

14、证明：如右图，取 1AB的中点，连接 AD， 1 分因 ，则 1 2 分由平面 1C侧面 ，且平面 1BC侧面 1AB1，3 分得 1ADB、，又 平面 1A， 所以 C. 4 分因为三棱柱 1是直三棱柱，03648125BA1CAB1C1DE|则 1ABC、，所以 .又 1=D，从而 侧面 1AB ，又 AB侧面 1，故 C. 7 分（2）解法一：连接 C，由（ 1）可知 1、，则 D是 在 1ABC、内的射影 AD即为直线 C与 1AB、所成的角，则 =6D 8 分在等腰直角 1B中， 12，且点是 1中点 2AD，且 =ADC， 6 2AC 9 分过点 A 作 1EC于点，连 DE由（1

15、）知 AB、，则 1AC，且 EDA 即为二面角 1B的一个平面角 10 分且直角 1AC中： 1263ACE:又 =2D， 23sin6AE，且二面角 1ACB为锐二面角 =3AED，即二面角 1的大小为 3 14 分|解法二（向量法）：由（1）知 ABC且 1ABC、，所以以点为原点，以1BC、所在直线分别为 ,xyz轴建立空间直角坐标系 xyz，如图所示，且设 a，则(0,2)A， (0,)， (,0)a， 1(,)(,)BCa， 1(,2)BA， (,2)AC， 1(0,2)A9 分设平面 1A的一个法向量 1(,)nxyz由 BCn， 1 得：02xayz令 y ，得 0,1xz，则 (0,1)n10 分设直线 AC与 1B、所成的角为 ，则 6得 211sin64a:，解得 2a，即 (,20)AC12 分又设平面 1AC的一个法向量为 2n，同理可得， 2(1,)n设锐二面角 B的大小为，则 1212cos,n:，且 (0,)2，得 3 锐二面角 1ACB的大小为 。 14 分19 （本小题满分 14 分）解：（1） （解法一） 1()12nnSa 1 nna