2018年上海市杨浦区高考数学一模试卷及解析.pdf

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1、 2018 年上海市杨浦区高考数学一模试卷 一.填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）1（4 分）计算 的结果是 2（4 分）已知集合 A=1，2，m，B=3，4，若 AB=3，则实数 m=3（4 分）已知 ，则=4（4 分）若行列式 ，则 x=5（4 分）已知一个关于 x、y 的二元一次方程组的增广矩阵是，则 x+y=6（4 分）在 的二项展开式中，常数项等于 7（5 分）若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有 1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具），先 后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和为 4 的概率是 8（5 分）数列 a n

2、的前 n 项和为 S n，若点（n，S n）（nN）在函数 y=log2（x+1）的反函数的图象上，则 an=9（5 分）在 ABC 中，若 sinA、sinB、sinC 成等比数列，则角 B 的最大值为 10（5 分）抛物线 y=8x 的焦点与双 曲线 y=1 的左焦点重合，则这条双曲 线的两条渐近线的夹角为 11（5 分）已知函数 ，xR，设 a0，若函数 g（x）=f（x+）为奇函数，则 的值为 12（5 分）已知点 C、D 是椭圆 上的两个动点，且点 M（0，2），若 ，则实数 的取值范围为 二.选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）第 1 页（共 15 页）*2 2

3、13（5 分）在复平面内，复数 对应的点位于（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 14（5 分）给出下列函数：y=log 2x；y=x；y=2；y=arcsinx其中图 象关于 y 轴对称的函数的序号是（）A B C D 15（5 分）“t0”是“函数 f（x）=x+txt在（，+）内存在零点”的（）A充分非必要条件 C充要条件 B必要非充分条件 D既非充分也非必要条件 16（5 分）设 A、B、C、D 是半径为 1 的球面上的四个不同点，且满足 =0，=0，=0，用 S 1、S 2、S 3 分别表示ABC、ACD、ABD 的面积，则 S1+S2+S3 的最大值是（）A B2 C

4、4 D8 三.解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17（14 分）如图所示，用总长为定值 l 的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开（1）设场地面积为 y，垂直于墙的边长为 x，试用解析式将 y 表示成 x 的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？第 2 页（共 15 页）2|x|2 18（14 分）如图，已知圆锥的侧面积为 15，底面半径 OA 和 OB 互相垂直，且 OA=3，P 是母线 BS 的中点（1）求圆锥的体积；（2）求异面直线 SO 与 PA 所成角的大小（结 果用反三角函数值表示

5、）19（14 分）已知函数 的定义域为集合 A，集合 B=（a，a+1），且 BA（1）求实数 a 的取值范围；（2）求证：函数 f（x）是奇函数但不是偶函数 20（16 分）设直线 l 与抛物线：y=4x 相交于不同两点 A、B，O 为坐标原 点（1）求抛物线 的焦点到准线的距离；（2）若直线 l 又与圆 C：（x5）+y=16 相切于点 M，且 M 为线段 AB 的中点，求直线 l 的方程；（3）若，点 Q 在线段 AB 上，满足 OQAB，求点 Q 的轨迹方程 21（18 分）若数列 A：a 1，a 2，a n （n3）中（1in）且对任意 的 2kn1，ak+1+ak1 2ak 恒成立

6、，则称数列 A 为“U数列”（1）若数列 1，x，y，7 为“U数列”，写出所有可能的 x、y；（2）若“U数列”A：a 1，a 2，a n 中，a 1=1，a n=2017，求 n 的最大值；2 2 2（3）设 n0 为给定的偶数，对所有可能的“U数列”A：a1，a2，记 第 3 页（共 15 页），其中 maxx1，x2，xs表示 x1，x2，xs 这 s 个数中最大的数，求 M 的最小值 2018 年上海市杨浦区高考数学一模试卷 参考答案 与试题解 析 一.填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）1（4 分）计算 的结果是 1 【解答】解：

7、当 n+，0，=1，故答案为：1 2（4 分）已知集合 A=1，2，m，B=3，4，若 AB=3，则实数 m=3 【解答】解：集合 A=1，2，m，B=3，4，AB=3，实数 m=3 故答案为：3 3（4 分）已知 ，则 【解答】解：，=故答案为：4（4 分）若行列式 ，则 x=2 【解答】解：，22 4=0 即 x1=1 x=2 第 4 页（共 15 页）x1 故答案为：2 5（4 分）已知一个关于 x、y 的二元一次方程组的增广矩阵是，则 x+y=6 【解答】解：一个关于 x、y 的二元一次方程组的增广矩阵是，由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式，解得 x=4，y=2，x

8、+y=6 故答案为：6 6（4 分）在 的二项展开式中，常数项等于 160 【解答】解：展开式的通项为 T r+1=x（）=（2）r x 62r 令 62r=0 可得 r=3 常数项为（2）3=160 故答案为：160 7（5 分）若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有 1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具），先 后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和为 4 的概率是 【解答】解：基本事件共 66 个，点数和为 4 的有（1，3）、（2，2）、（3，1）共 3 个，故 P=故答案为：8（5 分）数列 a n 的前 n 项和为 S n，若点（n，S n）（nN）在函数 y=log 2（x+

9、1）的反函数的图象上，则 a n=2 第 5 页（共 15 页）6r r*n1 【解答】解：由题意得 n=log2（Sn+1）sn=2 1 n2 时，an=snsn1=2 2=2，当 n=1 时，a1=s 1=2 1=1 也适合上式，数列a n 的通项公式为 a n=2；故答案为：2 9（5 分）在 ABC 中，若 sinA、sinB、sinC 成等比数列，则角 B 的最大值为 【解答】解：在ABC 中，sinA、sinB、sinC 依次成等比数列，sin B=sinAsinC，利用正弦定理化简得：b=ac，由余弦定理得：cosB=（当且仅当 a=c 时取 等号），则 B 的范围为（0，即角

10、B 的最大值为 故答案为：10（5 分）抛物线 y=8x 的焦点与双 曲线 线的两条渐近线的夹角为 y=1 的左焦点重合，则这条双曲 【解答】解：抛物线 y=8x 的焦点 F（2，0）与双曲线 合，y=1 的左焦点重 a+1=4，解得 a=，双曲线的渐近线方程为 y=，这条双曲线的两条渐近线的夹角为，故答案为：第 6 页（共 15 页）n n n1 n1 1 n1 n1 2 2 2 2 2 2 2 11（5 分）已知函数 ，xR，设 a0，若函数 g（x）=f（x+）为奇函数，则 的值为 【解答】解：函数，=，=s ，函数 g（x）=f（x+）=则：（kZ），解得：，故答案为：12（5 分）已

11、知点 C、D 是椭圆 为奇函数，上的两个动点，且点 M（0，2），若 ，则实数 的取值范围为 【解答】解：假设 CD 的斜率存在时，设过点 M（0，2）得直线方程为 y=kx+2，联立方程，整理可得（1+4k）x+16kx+12=0，设 C（x 1，y1），N（x 2，y2），则=（16k）4（1+4k）120，整理得 k ，x 1+x 2=，x 1x 2=，（*）由，可得，x 1=x 2 代入到（*）式整理可得 =，2 2 2 2 2 第 7 页（共 15 页）由 k ，可得 4 ，解可得 3 且 1，当 M 和 N 点重合时，=1，当斜率不存在时，则 D（0，1），C（0，1），或 D（0

12、，1），C（0，1），则 =或=3 实数 的取值范围 故答案为：二.选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）13（5 分）在复平面内，复数 对应的点位于（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【解答】解：=，复数 故选：C 对应的点的坐标为（1，2），位于 第三象限 14（5 分）给出下列函数：y=log 2x；y=x；y=2；y=arcsinx其中图 象关于 y 轴对称的函数的序号是（）A B C D【解答】解：y=log2x 的定义域为（0，+），定义域关于原点不对称，则函 数为非奇非偶函数；y=x；是偶函数，图象关于 y 轴对称，满足条件 y=2 是偶函数，图象关

13、于 y 轴对称，满足条件 y=arcsinx 是奇函数，图象关于 y 轴不对称，不满足条件，故选：B 15（5 分）“t0”是“函数 f（x）=x+txt在（，+）内存在零点”的（）第 8 页（共 15 页）2 2|x|2|x|2 A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件【解答】解：t0 =t+4t0函数 f（x）=x+txt在（，+）内存在零 点，函数 f（x）=x+txt在（，+）内存在零点 =t+4t0t0 或 t4 “t0”是“函数 f（x）=x+txt在（，+）内存在零点”的充分非必要条 件 故选：A 16（5 分）设 A、B、C、D 是半径为 1 的球

14、面上的四个不同点，且满足 =0，=0，=0，用 S 1、S 2、S 3 分别表示ABC、ACD、ABD 的面积，则 S1+S2+S3 的最大值是（）A B2 C4 D8 【解答】解：设 AB=a，AC=b，AD=c，因为 AB，AC，AD 两两互相垂直，扩展为长方体，它的对角线为球的直径，所 以 a+b+c=4R=4 所以 SABC+SACD+SADB=（ab+ac+bc）（a+b+c）=2 即最大值为：2 故选：B 三.解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17（14 分）如图所示，用总长为定值 l 的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开

15、 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 第 9 页（共 15 页）（1）设场地面积为 y，垂直于墙的边长为 x，试用解析式将 y 表示成 x 的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？【解答】解：（1）设场地面积为 y，垂直于墙的边长为 x，它的面积 y=x（l3x）；由 x0，且 l3x0，可得函数的定义域为（0，l）；（2）y=x（l3x）=3x（13x）（）=，当 x=时，这块长方形场地的面积最大，这时的长为 l3x=l，最大面积为 18（14 分）如图，已知圆锥的侧面积为 15，底面半径 OA 和 OB 互相垂直，且 OA=3，P 是

16、母线 BS 的中点（1）求圆锥的体积；（2）求异面直线 SO 与 PA 所成角的大小（结 果用反三角函数值表示）【解答】（本题满分（14 分），第 1 小题满分（7 分），第 2 小题满分 7 分）解：（1）由题意，OASB=15，解得 BS=5，（2 分）故（4 分）从而体积（7 分）第 10 页（共 15 页）2 （2）如图，取 OB 中点 H，连结 PH、AH 由 P 是 SB 的中点知 PHSO，则APH（或其补角）就是异面直线 SO 与 PA 所成角（10 分）SO平面 OAB，PH平面 OAB，PHAH 在OAH 中，由 OAOB，得，（11 分）在 RtAPH 中，AHP=90，

17、（12 分）则，异面直线 SO 与 PA 所成角的大小（14 分）19（14 分）已知函数 的定义域为集合 A，集合 B=（a，a+1），且 BA（1）求实数 a 的取值范围；（2）求证：函数 f（x）是奇函数但不是偶函数【解答】解：（1）令，解得1x1，所以 A=（1，1），因为 BA，所以，解得1 a0，即实数 a 的取值范围是1，0；（2）证明：函数 f（x）的定义域 A=（1，1），定 义域关于原点对称，f（x）=ln=ln（）=ln=f（x），而，所以，所以函数 f（x）是奇函数但不是偶函数 第 11 页（共 15 页）O 1 20（16 分）设直线 l 与抛物线：y=4x 相交于不

18、同两点 A、B，O 为坐标原 点（1）求抛物线 的焦点到准线的距离；（2）若直线 l 又与圆 C：（x5）+y=16 相切于点 M，且 M 为线段 AB 的中点，求直线 l 的方程；（3）若，点 Q 在线段 AB 上，满足 OQAB，求点 Q 的轨迹方程【解答】解：（1）根据题意，抛物线 的方程为 y=4x，则 p=2，故抛物线 的焦点到准线的距离为 2；（2）设直线 l：x=my+b 当 m=0 时，x=1 和 x=9 符合题意；当 m0 时，A（x1，y1）、B（x2，y2）的坐标满足方程组，所以 y 4my4b=0 的两根为 y1、y2 =16（m+b）0，y 1+y2=4m，所 以 ，

19、所以线段 AB 的中点 M（2m+b，2m）因为 kABkCM=1，所以，得 b=32m 2 所以=16（m+b）=16（3m）0，得 0m 3 因为，所以 m=3（舍去）综上所述，直线 l 的方程为：x=1，x=9 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 第 12 页（共 15 页）（3）设直线 AB：x=my+b，A（x1，y1）、B（x2，y2）的坐标满足方程组，所以 y 4my4b=0 的两根为 y1、y2 =16（m+b）0，y 1+y2=4m，y1y2=4b 所以 ，得 b=0 或 b=4 b=0 时，直线 AB 过原点，所以 Q（0，0）；b=4 时，直线 AB 过定点 P（

20、4，0）设 Q（x，y），因 为 OQAB，所以（x0），综上，点 Q 的轨迹方程为 x 4x+y=0 21（18 分）若数列 A：a 1，a 2，a n（n3）中（1in）且对任意 的 2kn1，a k+1 +a k1 2a k 恒成立，则称数列 A 为“U数列”（1）若数列 1，x，y，7 为“U数列”，写出所有可能的 x、y；（2）若“U数列”A：a 1，a 2，a n 中，a 1=1，a n=2017，求 n 的最大值；（3）设 n 0 为给定的偶数，对所有可能的“U数列”A：a 1，a 2，记 ，其中 maxx1，x2，xs表示 x1，x2，xs 这 s 个数中最大的数，求 M 的最

21、小值 【解答】解：（1）x=1 时，所以 y=2 或 3；x=2 时，所以 y=4；x3 时，无整数解；所以所有可能的 x，y 为，（2）n 的最大值为 65，理由如下：2 2 2 2 或 第 13 页（共 15 页）一方面，注意到：ak+1+ak1 2akak+1akakak1 对任意的 1in1，令 b i=a i+1 a i，则 b i Z 且 b kb k1（2kn1），故 b kb k1 +1 对任意的 2kn1恒成立（*）当 a 1=1，a n=2017 时，注意到 b 1=a 2a 111=0，得 （2in1 ）即 b i i1，此时 a n a 1=（a n a n1）+（a

22、n1 a n2）+（a 2a 1）=bn1+bn2+b10+1+2+（n2）=，（*）即，解得：62n65，故 n65 另一方面，为使（*）取到等号，所以取 bi=i1（1i64），则 对任意的 2k64，bkbk1，故数列an为“U数列”，此时由（*）式得，所以 a 65 =2017，即 n=65 符合题意 综上，n 的最大值为 65 （3）M 的最小值为，证明如下：当 n0=2m（m2，mN）时，一方面：由（*）式，bk+1bk1，bm+kbk=（bm+kbm+k1）+（bm+k1bm+k2）+（bk+1bk）m此时有：（a 1+a2m）（am+am+1）=（a 2m a m+1）（a ma 1）=（b m+1+b m+2+b 2m1）（b 1+b 2+b m1）=（b m+1 b 1）+（b m+2 b 2）+（b 2m+1b m1）m+m+m=m（m1）*即（a1+a2m）（am+am+1）+m（m1）故 因为，所以，第 14 页（共 15 页）另一方面，当 b1=1m，b2=2m，bm1=1，bm=0，bm+1=1，b2m1=m1时，ak+1+ak12ak=（ak+1ak）（akak1）=bkbk1=10 取 a m=1，则 a m+1=1，a 1a 2a3a m，a m+1 a m+2 a 2m ，且 此时 综上，M 的最小值为 第 15 页（共 15 页）