概率论与数理统计 第四章 随机变量的数字特征.ppt

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1、第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征引例引例:1 分布函数能够完整地描述随机变量的统计特分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性，但在一些实际问题中，只需知道随机变量的性，但在一些实际问题中，只需知道随机变量的某些特征，因而不需要求出它的分布函数某些特征，因而不需要求出它的分布函数.评定某企业的经营能力时，只要知道该企业评定某企业的经营能力时，只要知道该企业人均赢利水平；人均赢利水平；研究水稻品种优劣时，我们关心的是稻穗的研究水稻品种优劣时，我们关心的是稻穗的平均粒数及每粒的平均重量；平均粒数及每粒的平均重量；检验棉花的质量时，既要注意纤维的平均长检验棉花的质量时，既要注意纤维的

2、平均长度，又要注意度，又要注意 纤维长度与平均长度的偏离程度，纤维长度与平均长度的偏离程度，平均长度越长、偏离程度越小，质量就越好平均长度越长、偏离程度越小，质量就越好;考察一射手的水平，既要看他的平均环数考察一射手的水平，既要看他的平均环数是否高，还要看他弹着点的范围是否小，即数是否高，还要看他弹着点的范围是否小，即数据的波动是否小据的波动是否小.2 由上面例子看到，与随机变量有关的某些由上面例子看到，与随机变量有关的某些数值，虽不能完整地描述随机变量，但能清晰数值，虽不能完整地描述随机变量，但能清晰地描述随机变量在某些方面的重要特征地描述随机变量在某些方面的重要特征,这些这些数字特征在理论

3、和实践上都具有重要意义数字特征在理论和实践上都具有重要意义.随机变量某一方面的概率特性随机变量某一方面的概率特性 都可用都可用数字数字来描写来描写q 随机变量的平均取值随机变量的平均取值 数学期望数学期望q 随机变量取值平均偏离平均值的随机变量取值平均偏离平均值的 情况情况 方差方差q 描述两个随机变量之间的某种关描述两个随机变量之间的某种关 系的数系的数 协方差协方差与与相关系数相关系数本本章章内内容容34.1 4.1 数学期望数学期望4.1.1 4.1.1 数学期望的性质数学期望的性质4.1.2 4.1.2 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望4.1.3 4.1.3 数学期望的简单

4、应用数学期望的简单应用4设离散型随机变量设离散型随机变量X 的分布律为的分布律为若无穷级数若无穷级数绝对收敛，则称其和为随机变量绝对收敛，则称其和为随机变量X 的数学期望的数学期望定义定义4.1.14.1.1记为记为5 设连续型随机变量设连续型随机变量X 的概率密度为的概率密度为 若积分若积分绝对收敛绝对收敛,则称此积分的值为随机变量则称此积分的值为随机变量X 的数学期望的数学期望数学期望简称期望，又称均值数学期望简称期望，又称均值 数学期望反映了随机变量取值的平均值数学期望反映了随机变量取值的平均值,它是它是一种加权平均一种加权平均记为记为注注:64.1.1 4.1.1 数学期望的性质数学期

5、望的性质7证明：证明：仅就仅就证证性质（性质（4 4）8解解:例例4.1.14.1.1 9例例4.1.24.1.2 解解:解解:例例4.1.34.1.3 10例例4.1.44.1.4 解解:11例例4.1.54.1.5 解解:12常见随机变量的数学期望常见随机变量的数学期望分布分布期望期望概率分布概率分布参数为参数为p 的的 0-1分布分布pB(n,p)npP()13分布分布期望期望概率密度概率密度区间区间(a,b)上的上的均匀分布均匀分布E()N(,2)14引入随机变量引入随机变量 则有则有 例例4.1.64.1.6 解解:15故故（次）（次）16例例4.1.74.1.7 17解解:1819

6、例例4.1.84.1.8 设设X 服从参数为服从参数为p(0p1)的的BernoulliBernoulli分布分布,下面这个例子说明性质下面这个例子说明性质(4)(4)在没有独立假设的在没有独立假设的条件下一般不成立条件下一般不成立204.1.2 4.1.2 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望定理定理2122例例4.1.94.1.9 解解:23X 1 3P 3/4 1/4Y 0 1 2 3P 1/8 3/8 3/8 1/8X1 0 3/8 3/8 03 1/8 0 0 1/8Y 0 1 2 3解解:例例4.1.104.1.10 244.1.3 4.1.3 数学期望的简单应用数学期望的

7、简单应用例例4.1.114.1.11 市场上对某种产品每年的需求量为市场上对某种产品每年的需求量为X 吨吨 ，X U 2000,4000,每出售一吨可赚每出售一吨可赚3 3万元万元,售不出去，售不出去，则每吨需仓库保管费则每吨需仓库保管费1 1万元万元,问应该生产这种商品多少问应该生产这种商品多少吨吨,才能使平均利润最大？才能使平均利润最大？解解:设每年生产设每年生产y 吨的利润为吨的利润为Y,2000 y 400025故故 y=3500 时，时，EY 最大，最大，EY=8250万元万元26例例4.1.124.1.12 某保险公司规定某保险公司规定,如果在如果在1 1年内顾客的投保年内顾客的投

8、保事件事件A 发生发生,该公司就赔偿顾客该公司就赔偿顾客a(元元),),若若1 1年内事件年内事件A发生的概率为发生的概率为p,为使公司收益的期望值等于为使公司收益的期望值等于a 的的10%,10%,问该公司应该要求顾客交多少保险费问该公司应该要求顾客交多少保险费?解解:设顾客应交的保险费为设顾客应交的保险费为x(元元),),公司收益为公司收益为Y(元元),),这里这里x 是普通变量是普通变量,Y 的取值与事件的取值与事件A 是否发生有关是否发生有关由题意有由题意有27所以所以由题意由题意所以所以且已知且已知28例例4.1.134.1.13 为普查某种疾病为普查某种疾病,n 个人需验血个人需验

9、血,可采用两可采用两种种方法验血：方法验血：(1)分别化验每个人的血分别化验每个人的血,共需化验共需化验 n 次；次；(2)将将 k 个人的血混合在一起化验，若化验结果为阴个人的血混合在一起化验，若化验结果为阴性性,则此则此 k 个人的血只需化验一次；若为阳性个人的血只需化验一次；若为阳性,则则对对 k 个人的血逐个化验，找出有病者个人的血逐个化验，找出有病者,这时这时 k 个人个人的血需化验的血需化验 k+1 次次.设某地区化验呈阳性的概率为设某地区化验呈阳性的概率为 p p，且每个人是否为阳，且每个人是否为阳性是相互独立的性是相互独立的.试说明选择哪一种方法可以减少化试说明选择哪一种方法可

10、以减少化验次数验次数29 为简单计，设为简单计，设 n 是是 k 的倍数，设共分成的倍数，设共分成 n/k 组组第第 i 组需化验的次数为组需化验的次数为X iXi P 1 k+1解解:30若若则则EX n例如，例如，31课堂练习课堂练习 (2)设二维连续随机变量设二维连续随机变量 的概率密度为的概率密度为32解解:33344.2 4.2 中位数、众数和分位点中位数、众数和分位点35定义定义4.2.14.2.1定义定义4.2.24.2.236定义定义4.2.34.2.337例例4.2.14.2.1 例例4.2.24.2.2 解解:解解:38394.3 4.3 方差方差4.3.1 4.3.1 方

11、差的定义方差的定义4.3.2 4.3.2 方差的性质方差的性质40引例引例 检验两批灯泡的质量检验两批灯泡的质量,从中分别随机抽样从中分别随机抽样5 5只只,测得使用寿命测得使用寿命(单位单位:小时小时)如下如下:A:2000 1500 1000 500 1000 A:2000 1500 1000 500 1000 B:1500 1500 1000 1000 B:1500 1500 1000 1000 10001000 试比较这两批灯泡质量的好坏试比较这两批灯泡质量的好坏计算得计算得:平均寿命分别为平均寿命分别为:A:1200 B:1200:A:1200 B:1200 观察得观察得:A:A中使

12、用寿命偏离较大中使用寿命偏离较大,B,B中使用寿命偏离较小中使用寿命偏离较小所以所以,B,B产品质量较好产品质量较好41(X-EX)2 随机变量随机变量X 的取值偏离平均值的情况的取值偏离平均值的情况,是是X的函数的函数,也是随机变量也是随机变量 E(X-EX)2 随机变量随机变量X的取值偏离平均值的平均的取值偏离平均值的平均偏离程度偏离程度 数数注注:4.3.1 4.3.1 方差的定义方差的定义42若若 X 为离散型随机变量，概率分布为为离散型随机变量，概率分布为若若 X 为连续型随机变量，概率密度为为连续型随机变量，概率密度为f(x)常用的计算方差的公式：常用的计算方差的公式：注注:434

13、.3.2 4.3.2 方差的性质方差的性质44设设 X P(),求方差求方差 DX例例4.3.14.3.1 解解:45设设 X B(n,p)，求方差，求方差DX 仿照上例求仿照上例求DX 引入随机变量引入随机变量相互独立，相互独立，故故例例4.3.24.3.2 解法解法1:解法解法2:46 设设 X U(a,b)，求方差，求方差 DX 例例4.3.34.3.3 解解:设设 X N(,2),求方差求方差 DX 例例4.3.44.3.4 解解:47 例例4.3.54.3.5 解解:48常见随机变量的方差常见随机变量的方差分布分布方差方差概率分布概率分布参数为参数为p 的的 0-1分布分布p(1-p

14、)B(n,p)np(1-p)P()49分布分布方差方差概率密度概率密度区间区间(a,b)上的上的均匀分布均匀分布E()N(,2)50例例4.3.64.3.6 证证:51 已知已知X,Y 相互独立，且都服从相互独立，且都服从 N(0,0.5),故故例例4.3.74.3.7 解解:求求 E(|X Y|)52课堂练习课堂练习534.4 4.4 协方差及相关系数协方差及相关系数4.4.1 4.4.1 协方差及相关系数的定义协方差及相关系数的定义4.4.1 4.4.1 协方差及相关系数的性质协方差及相关系数的性质54问题问题 对于二维随机变量对于二维随机变量(X,Y):已知联合分布已知联合分布边缘分布边

15、缘分布 这说明对于二维随机变量，除了每个这说明对于二维随机变量，除了每个随机变量各自的概率特性以外，相互之间随机变量各自的概率特性以外，相互之间可能还有某种联系可能还有某种联系.问题是用一个什么样问题是用一个什么样的数去反映这种联系的数去反映这种联系.数数反映了随机变量反映了随机变量X,Y 之间的某种关系之间的某种关系55定义定义 称为随机变量称为随机变量X,Y 的的 相关系数相关系数而而4.4.1 4.4.1 协方差及相关系数的定义协方差及相关系数的定义注注:564.4.2 4.4.2 协方差及相关系数的性质协方差及相关系数的性质57注注:58注注:显然显然相关相关不相关不相关正相关正相关负相关负相关59 1 0 p qX P 1 0 p qY P 求求 Cov(X,Y),XY 已知已知 X,Y 的联合分布为的联合分布为XY 1 010 p 0 0 q0 p 1p+q=1解解:1 0 p qX Y P 例例4.4.14.4.16061例例4.4.24.4.2解解:6263例例4.4.34.4.3解解:64656667课堂练习课堂练习68