概率论第四章随机变量的数字特征ppt课件.ppt

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1、第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第第1 1页页概率论与数理统计概率论与数理统计第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 Figure Characteristic of Random Variable第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第第2 2页页概率论与数理统计概率论与数理统计 分布函数能完整地描述随机变量的统计分布函数能完整地描述随机变量的统计规律性规律性,但实际应用中，人们并不都需要全但实际应用中，人们并不都需要全面考察随机变量的变化情况，而只需知道它面考察随机变量的变化情况，而只需知道它的某些数字特征即可的某些数字特征即可.判断棉花质量时判断

2、棉花质量时,既看纤维的既看纤维的平均长度平均长度 平均长度越长平均长度越长,偏离程度越小偏离程度越小,质量就越好质量就越好;又要看又要看纤维长度与平均长度的偏离程度纤维长度与平均长度的偏离程度；例如例如：引入：引入：第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第第3 3页页概率论与数理统计概率论与数理统计 考察一射手的水平考察一射手的水平,既要看他的既要看他的平均环数平均环数是否高是否高,还要看他弹着点的范围是否小还要看他弹着点的范围是否小,即即数数据的波动据的波动是否小是否小.由上面例子看到，与随机变量有关的某由上面例子看到，与随机变量有关的某些数值，虽不能完整地描述随机变量，但能些数

3、值，虽不能完整地描述随机变量，但能清晰地描述清晰地描述随机变量随机变量在某些方面的重要特征在某些方面的重要特征，这些数字特征在理论和实践上都具有重要，这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义意义.第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第第4 4页页概率论与数理统计概率论与数理统计q r.v.的平均取值的平均取值 数学期望数学期望 q r.v.取值平均偏离均值的情况取值平均偏离均值的情况 方差方差q 描述两描述两 r.v.间的某种关系的数间的某种关系的数 协方差与相关系数协方差与相关系数本本章章内内容容随机变量某一方面的概率特性 都可用数字数字来描写第四章第四章 随机变量的数字特征随

4、机变量的数字特征第第5 5页页概率论与数理统计概率论与数理统计第一节第一节 数学期望数学期望一、随机变量的数学期望一、随机变量的数学期望二、随机变量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望三、数学期望的性质三、数学期望的性质第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第第6 6页页概率论与数理统计概率论与数理统计试问哪个射手技术较好试问哪个射手技术较好?引例引例乙射手乙射手甲射手甲射手一、一、随机变量的数学期望随机变量的数学期望1 1、离散型随机变量的数学期望、离散型随机变量的数学期望、离散型随机变量的数学期望、离散型随机变量的数学期望第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第

5、第7 7页页概率论与数理统计概率论与数理统计解解平均起来甲平均起来甲射手射手每枪击中每枪击中9.39.3环环,乙乙射手射手每枪击中每枪击中9.19.1环环.因此甲因此甲射手射手的本领要高一些的本领要高一些.第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第第8 8页页概率论与数理统计概率论与数理统计定义定义4.14.1：设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布律为的分布律为或或若级数若级数绝对收敛，即绝对收敛，即则称则称为为X的数学期望的数学期望(简称期望简称期望)或均值，或均值，记为记为E(X)即即第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第第9 9页页概率论与数理统计概率论与数理

6、统计注注：1、随随机机变变量量X的的数数学学期期望望完完全全是是由由它它的的概概率率分分布布确定的。且确定的。且否则，称随机变量的数学期望不存在否则，称随机变量的数学期望不存在2、随机变量的数学期望是一个实数，不是随机变量随机变量的数学期望是一个实数，不是随机变量第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第第1010页页概率论与数理统计概率论与数理统计10例例1：已知：已知X 的分布律为的分布律为 2 -1 0 12 -1 0 1 0.1 0.4 0.3 0.20.1 0.4 0.3 0.2解：解：E(X)=(-2)0.1+(-1)0.4+00.3+10.2=-0.4第四章第四章 随机

7、变量的数字特征随机变量的数字特征第第1111页页概率论与数理统计概率论与数理统计第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第第1212页页概率论与数理统计概率论与数理统计 解解 分布律为：分布律为：X0123P0.30.40.20.1 平均废品数为：平均废品数为：第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第第1313页页概率论与数理统计概率论与数理统计 定义定义4.24.2：设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度函数的概率密度函数 为为f(x)，若积分，若积分2 2、连续型随机变量的数学期望、连续型随机变量的数学期望、连续型随机变量的数学期望、连续型随机变量的数学期望绝对

8、收敛，绝对收敛，即：即：则称积分值则称积分值为为X的数学期望的数学期望(简称期望简称期望)或均值，记为或均值，记为E(X)即即第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第第1414页页概率论与数理统计概率论与数理统计例例4 4：设随机变量设随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为试求试求X的数学期望的数学期望解解看书本看书本P66 9第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第第1515页页概率论与数理统计概率论与数理统计常见常见分布分布(0-(0-1)1)分布分布分布分布二项二项二项二项分布分布分布分布泊松泊松泊松泊松分布分布分布分布均匀均匀均匀均匀分布分布分布分布指数指数

9、指数指数分布分布分布分布正态正态正态正态分布分布分布分布数学数学期望期望E(X)pnp3 3 常见分布的数学期望常见分布的数学期望常见分布的数学期望常见分布的数学期望第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第第1616页页概率论与数理统计概率论与数理统计二、二、随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望定理定理4.1：设设X是随机变量，是随机变量，Y=g(X)是是X的连续函的连续函 数，数，则有则有(1)若若X为离散型随机变量，其分布律为为离散型随机变量，其分布律为若无穷级数若无穷级数收敛，则收敛，则Y的数学期望为：的数学期望为：第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第

10、第1717页页概率论与数理统计概率论与数理统计定理定理4.1：设设X是随机变量，是随机变量，Y=g(X)是是X的连续函的连续函 数，数，则有则有(2)若若X为连续型随机变量，其密度函数为为连续型随机变量，其密度函数为若积分若积分收敛，则收敛，则Y的数学期望为：的数学期望为：第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第第1818页页概率论与数理统计概率论与数理统计18例例6：已知：已知X 的分布律为的分布律为 2 -1 0 12 -1 0 1 0.1 0.4 0.3 0.20.1 0.4 0.3 0.2解：解：E(X2)=(-2)20.1+(-1)20.4+020.3+120.2=1第四

11、章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第第1919页页概率论与数理统计概率论与数理统计19例例7：设随机变量：设随机变量解：解：,求求E(X2)第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第第2020页页概率论与数理统计概率论与数理统计 (3)如果如果(X,Y)为离散型随机向量，其联合分布律为离散型随机向量，其联合分布律 为为 P X=xi，Y=yj=pij i,j=1,2,3,如果如果 则则Z=g(X,Y)的数学的数学期期 望为望为第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第第2121页页概率论与数理统计概率论与数理统计(4)设二维随机向量设二维随机向量(X,Y)为连续

12、型随机变量，它的联为连续型随机变量，它的联 合概率密度为合概率密度为f(x,y),若若 收敛收敛,则则Z=g(X,Y)的数学期望为：的数学期望为：第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第第2222页页概率论与数理统计概率论与数理统计例例例例8 8 已知已知(X,Y)的联合分布律如下，的联合分布律如下，Z=XY,求求E(Z)XY01120.10.150.250.15解：解：30.250.1E(Z)=100.1+200.15+300.25 +110.25+210.15+310.1 =0.85第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第第2323页页概率论与数理统计概率论与数理统

13、计解解 第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第第2424页页概率论与数理统计概率论与数理统计1、E(C)=C2、E(aX)=a E(X)3、E(X+Y)=E(X)+E(Y)4、当、当X,Y 独立时，独立时，E(X Y)=E(X)E(Y).常数常数三、数学期望的性质三、数学期望的性质第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第第2525页页概率论与数理统计概率论与数理统计注：注：在性质在性质4中，中，X与与Y相互独立是充分而非必要条件。相互独立是充分而非必要条件。E(XY)=E(X)E(Y)成立，但成立，但X与与Y不一定独立。不一定独立。第四章第四章 随机变量的数字特征随机

14、变量的数字特征第第2626页页概率论与数理统计概率论与数理统计26例例10：已知：已知X 的分布律为的分布律为 2 -1 0 12 -1 0 1 0.1 0.4 0.3 0.20.1 0.4 0.3 0.2解：解：第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第第2727页页概率论与数理统计概率论与数理统计今日作业今日作业 P66：1(D(X)不求不求)12 13第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第第2828页页概率论与数理统计概率论与数理统计1.随机变量方差的概念随机变量方差的概念2.重要分布的方差重要分布的方差第二节方差variance 3.方差的性质方差的性质第四章第

15、四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第第2929页页概率论与数理统计概率论与数理统计(1)概念的引入概念的引入1.1.随机变量方差的概念随机变量方差的概念 上一讲我们介绍了随机变量的数学期望，它上一讲我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征的一个重要的数字特征.但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的.第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第第3030页页概率论与数理统计概率论与数理统计 例如，某零件的真实长度为例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙

16、两现用甲、乙两台仪器各测量台仪器各测量10次，将测量结果次，将测量结果X用坐标上的点表用坐标上的点表示如图：示如图：你认为哪台仪器好一些呢？你认为哪台仪器好一些呢？乙仪器测量结果乙仪器测量结果 甲仪器测量结果甲仪器测量结果较好较好测量结果的测量结果的均值都是均值都是 a因为乙仪器的测量结果集中在均值附近因为乙仪器的测量结果集中在均值附近第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第第3131页页概率论与数理统计概率论与数理统计又如又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，发炮弹，其落点距目标的位置如图：其落点距目标的位置如图：你认为哪门炮射击效果好一些呢你

17、认为哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮射击结果乙炮乙炮因为乙炮的弹着点较集中在中心附近因为乙炮的弹着点较集中在中心附近.中心中心中心中心第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第第3232页页概率论与数理统计概率论与数理统计 为此需要引进另一个数字特征为此需要引进另一个数字特征,用它用它来度量来度量随机变量取值在其中心附近的离随机变量取值在其中心附近的离散程度散程度.这个数字特征就是我们下面要介绍的这个数字特征就是我们下面要介绍的方差方差第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第第3333页页概率论与数理统计概率论与数理统计2.方差的定义方差的

18、定义第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第第3434页页概率论与数理统计概率论与数理统计方差描述了随机变量方差描述了随机变量X取值对于取值对于均值均值的分散程度的分散程度.如果如果D(X)值大值大,表示表示X 取值分取值分散程度大散程度大,E(X)的代表性差的代表性差;而如果而如果D(X)值小值小,则表示则表示X 的取值比较集中的取值比较集中,以以E(X)作作为随机变量的代表性好为随机变量的代表性好.说明：说明：方差的意义方差的意义第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第第3535页页概率论与数理统计概率论与数理统计离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差 连续型随机

19、变量的方差连续型随机变量的方差(3)方差的计算方差的计算 1)利用定义计算利用定义计算 第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第第3636页页概率论与数理统计概率论与数理统计证明证明2)利用公式计算利用公式计算第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第第3737页页概率论与数理统计概率论与数理统计37例例1：已知：已知X 的分布律为的分布律为 2 -1 0 12 -1 0 1 0.1 0.4 0.3 0.20.1 0.4 0.3 0.2解：解：E(X2)=(-2)20.1+(-1)20.4+020.3+120.2=1E(X)=(-2)0.1+(-1)0.4+00.3+10

20、.2=-0.4D(X)=E(X2)-E(X)2=1-0.16=0.84第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第第3838页页概率论与数理统计概率论与数理统计解解练习练习练习练习于是于是第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第第3939页页概率论与数理统计概率论与数理统计二二二二 常见分布的方差常见分布的方差常见分布的方差常见分布的方差常见常见分布分布(0-1)(0-1)分布分布分布分布二项分二项分二项分二项分布布布布泊松泊松泊松泊松分布分布分布分布均匀均匀均匀均匀分布分布分布分布指指指指数数数数分分分分布布布布正正正正态态态态分分分分布布布布数学数学期望期望E(X)pn

21、p方差方差D(X)p(1-p)第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第第4040页页概率论与数理统计概率论与数理统计三、方差的性质三、方差的性质 （设（设D(X),D(Y)存在）存在）(1)设设 C 是常数是常数,则有则有(2)设设 X 是一个随机变量是一个随机变量,C 是常数是常数,则则有有(3)设设 X,Y 是两个随机变量，则有是两个随机变量，则有第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第第4141页页概率论与数理统计概率论与数理统计 解解 由期望与方差的性质可得由期望与方差的性质可得 第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第第4242页页概率论与数理统计

22、概率论与数理统计 解解于是于是 第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第第4343页页概率论与数理统计概率论与数理统计作业：作业：P67 15 16第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第第4444页页概率论与数理统计概率论与数理统计一、协方差一、协方差二、二、相关系数相关系数第三节协方差与相关系数Covariance and Correlation coefficient 三、独立性与不相关三、独立性与不相关四、四、矩的概念矩的概念第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第第4545页页概率论与数理统计概率论与数理统计由方差的性质证明中我们知道，若由方差的性

23、质证明中我们知道，若X与与Y相互独立，则相互独立，则换句话说就是：若换句话说就是：若则则X与与Y不独立。不独立。这表明这表明在一定程度上反映了在一定程度上反映了二维随机变量二维随机变量(X,Y)的分量的分量X与与Y之间的某种相互关系。之间的某种相互关系。我们就把这种描述随机变量我们就把这种描述随机变量X与与Y相互关系的数字特征相互关系的数字特征协方差与相关系数协方差与相关系数第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第第4646页页概率论与数理统计概率论与数理统计一、协方差一、协方差定义定义：设随机变量：设随机变量X与与Y的数学期望和方差均存在，称的数学期望和方差均存在，称为为X与与Y

24、的的协方差协方差.记为记为，即，即第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第第4747页页概率论与数理统计概率论与数理统计协方差的关系式协方差的关系式 第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第第4848页页概率论与数理统计概率论与数理统计协方差的性质协方差的性质 第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第第4949页页概率论与数理统计概率论与数理统计 协方差的大小在一定程度上反映了协方差的大小在一定程度上反映了X和和Y相互间相互间的关系，但它还受的关系，但它还受X与与Y本身大小的影响本身大小的影响.例如：例如：Cov(kX,kY)=k2Cov(X,Y)为了克服这

25、一缺点，对协方差进行标准化，这就引入为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入了相关系数了相关系数.第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第第5050页页概率论与数理统计概率论与数理统计二、相关系数二、相关系数定义定义：设随机变量：设随机变量X与与Y的数学期望和方差均存在，且的数学期望和方差均存在，且即即相关系数，记为相关系数，记为D(X)0,D(Y)0，则称，则称为为X与与Y的的第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第第5151页页概率论与数理统计概率论与数理统计相关系数的性质相关系数的性质且且第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第第5252页页概率

26、论与数理统计概率论与数理统计(2)相关系数的意义相关系数的意义第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第第5353页页概率论与数理统计概率论与数理统计oXYoooXXXYYY01-10=1=-1相关情况示意图第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第第5454页页概率论与数理统计概率论与数理统计三、三、独立性与不相关性独立性与不相关性注注 1)相相互独立互独立不相关不相关 2)不相关的充要条件不相关的充要条件特例特例：独立与不相关等价：独立与不相关等价若若(X,Y)服从二维正态分布，则服从二维正态分布，则X与与Y独立独立与与X与与Y不相关不相关等价等价第四章第四章 随机变量

27、的数字特征随机变量的数字特征第第5555页页概率论与数理统计概率论与数理统计55 -1 0 1-1 0 10 01 1 0.070.07 0.18 0.150.18 0.15 0.08 0.32 0.20 0.08 0.32 0.20例例6:设设二维随机变量二维随机变量(X,Y)联合分布律为联合分布律为求求第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第第5656页页概率论与数理统计概率论与数理统计解解：X与与Y分布律分别为分布律分别为-1 0 1-1 0 10.15 0.50 0.350.15 0.50 0.35 0 10 10.40 0.600.40 0.60E(XY)=(-1)10.

28、08+110.20=0.12E(X)=(-1)0.15+10.35=0.2,E(Y)=10.60=0.6于是于是第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第第5757页页概率论与数理统计概率论与数理统计练习练习：设：设X与与Y为随机变量为随机变量求求解：解：第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第第5858页页概率论与数理统计概率论与数理统计练习练习 已知已知设设解：解：,求求第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第第5959页页概率论与数理统计概率论与数理统计第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第第6060页页概率论与数理统计概率论与数理统计四、矩的概念四、矩的概念(1)(1)(1)(1)定义定义定义定义第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第第6161页页概率论与数理统计概率论与数理统计(2)说明说明 第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第第6262页页概率论与数理统计概率论与数理统计作业：作业：P67 14 19