材料力学第十四章-超静定结构.ppt

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1、王 培 荣 Saturday,February 18,2023教学要求n n1.掌握应用单位载荷法(图形互乘法)分析静不定结构的基本方法。n n2.掌握利用对称性与反对称性简化静不定结构的过程。第十四章 超静定结构 indeterminate structure analysis141 超静定结构概述 本节应用能量法求解静不定系统。应用能量法求解静不定系统，特别是对桁架、刚架等构成的静不定系统，将更加有效。求解静不定问题的关键是建立补充方程。静不定系统，按其多余约束的情况，可以分为外力静不定系统和内力静不定系统。第一类第一类第二类第二类第三类第三类PP2次次3次6次次3次次3次次所有节点所有节

2、点为铰节点为铰节点静不定次数静不定次数142 用力法解超静定结构 一、一、外力静不定系统 由于外部的多余约束而构成的静不定系统,一般称为外力静不定系统。求解外力静不定系统的基本方法，是解除多余约束，代之以多余约束反力，根据多余约束处的变形协调条件建立补充方程进行求解。解除多余约束后得到的静定结构，称为原静不定系统的静定基本系统，或相当系统。解静不定梁的一般步骤解静不定梁的一般步骤(1)首先选定多余约束，并把多余约束解除，使静不定梁变成静定梁基本静定梁（几何不变）。本图可有多种选择，尽量利用对称性P解静不定梁的一般步骤解静不定梁的一般步骤n n(2)把解除的约束用未知的多余约束反力来代替。这时基

3、本静定梁上除了作用着原来的荷载外，还作用着未知的多余约束反力。n n(3)列出基本静定梁在多余约束反力作用处梁变形或的计算式，并与原静不定梁在该约束处的变形进行比较，建立变形谐调方程，求出多余约束反力。解静不定梁的一般步骤解静不定梁的一般步骤n n(4)在求出多余约束反力的基础上，根据静力平衡条件，解出静不定梁的其它所有支座反力。n n(5)按通常的方法（已知外力求内力、应力、变形的方法）进行所需的强度和刚度计算。例：作图示梁的弯矩图。解：变形协调条件为即解得另解：变形协调条件为解得即二、内力静不定系统 有些结构，支座反力可以由静力平衡条件全部求出，但无法应用截面法求出所有内力，这类结构称为内

4、力静不定系统。求解内力静不定系统，需要解除杆件或杆系的内部约束。例：求A、B两点间的相对线位移 AB。力法正则方程力法正则方程(Canonical equation of force method)力法：力法：把多余未知力的计算问题当作把多余未知力的计算问题当作静不定问题的关键，把多余未知力当静不定问题的关键，把多余未知力当作处于关键地位的未知力，这样求解作处于关键地位的未知力，这样求解静不定问题的方法称为力法。多余未静不定问题的方法称为力法。多余未知力为力法的基本未知量。知力为力法的基本未知量。例例:已知均布载荷集度为已知均布载荷集度为q，梁的刚度梁的刚度为为EI，求铰，求铰B的支反力。的支

5、反力。ll回顾变形协调方程：变形协调方程：一次静不定问题的力法正则方程一次静不定问题的力法正则方程 lABEIqX1多余未知量；多余未知量；一次静不定问题的力法正则方程一次静不定问题的力法正则方程d11在基本静定系上，在基本静定系上，X1取单位值时取单位值时引起的在引起的在X1作用点沿作用点沿 X1方向的位移；方向的位移；D1P在基本静定系上，在基本静定系上，由原载荷引由原载荷引起的在起的在X1作用点沿作用点沿X1方向的位移；方向的位移；B lAEIq AEIqB AEIBq二次静不定问题的力法正则方程二次静不定问题的力法正则方程例例 试求图示刚架的全部约束反力，刚试求图示刚架的全部约束反力，

6、刚架架EI为常数。为常数。aqABa解：解：刚架有两个多刚架有两个多余约束。余约束。选取并去除多余约束，选取并去除多余约束，代以多余约束反力。代以多余约束反力。qABX1X2建立力法正则方程建立力法正则方程qABx1x2ABx1x211ABx1x2计算系数计算系数dij和自由项和自由项DiP用莫尔定理求得用莫尔定理求得求多余约束反力求多余约束反力将上述结果代入力法正则方程可得将上述结果代入力法正则方程可得求其它支反力求其它支反力 由平衡方程得其它支反力，全部表由平衡方程得其它支反力，全部表示于图中。示于图中。qAB对于有对于有n个多余约束反力个多余约束反力的静不定系的静不定系统的正则方程如下：

7、统的正则方程如下：dij：柔度系数，表示在基本静定系上由：柔度系数，表示在基本静定系上由Xj取取单位值时引起的在单位值时引起的在Xi作用点沿作用点沿Xi方向的位移；方向的位移；DiP：自由项，表示在基本静定系上，：自由项，表示在基本静定系上，由原由原载荷引起的在载荷引起的在Xi 作用点沿作用点沿Xi 方向的位移。方向的位移。主系数：主系数：副系数：副系数：143 对称与反对称性质的利用 Application of symmetry and antisymmetry结构几何尺寸、形状，构件材料及约束条件结构几何尺寸、形状，构件材料及约束条件均对称于某一轴，则称此结构为均对称于某一轴，则称此结构

8、为对称结构对称结构。绕对称轴对折后，左右两部分载绕对称轴对折后，左右两部分载荷彼此重合（作用点相对应、数荷彼此重合（作用点相对应、数值相等、方向相同）。值相等、方向相同）。对称载荷对称载荷MMPP绕对称轴对折后，左右两部分载荷正好相反绕对称轴对折后，左右两部分载荷正好相反（作用点相对应、数值相等、方向相反）。（作用点相对应、数值相等、方向相反）。反对称载荷反对称载荷MMPPNNQQMM在内力中，轴力和弯矩是在内力中，轴力和弯矩是对称内力对称内力，剪力、扭矩为剪力、扭矩为反对称内力反对称内力。对称结构对称结构在对称载荷作用下，在对称载荷作用下，变形对变形对称，称，对称面上对称面上位移对称位移对称

9、，内力对称；内力对称；对称结构对称结构在反对称载荷作用下，在反对称载荷作用下，变形变形对反称，对反称，对称面上对称面上位移反对称，内力位移反对称，内力反对称反对称。特例：特例：在在对称轴对称轴上某些位移、内力为上某些位移、内力为零，可简化计算。零，可简化计算。对称结构对称结构在对称载荷作用下，在对称载荷作用下，对称轴对称轴上值为零上值为零的位移、内力为：的位移、内力为：转角、轴转角、轴向位移，剪力、扭矩。向位移，剪力、扭矩。对称结构对称结构在反对称载荷作用下，在反对称载荷作用下，对称对称轴上值为零轴上值为零的位移、内力为：的位移、内力为：扭转角、扭转角、垂直轴向的位移，轴力、弯矩。垂直轴向的位

10、移，轴力、弯矩。根据根据变形及内力对称（或反对称）变形及内力对称（或反对称）、位移位移连续连续、作用力作用力 与反作用力与反作用力性质，推得：性质，推得：PC CD D(b)例：例：在等截面圆环直径在等截面圆环直径ABAB的两端，沿直径的两端，沿直径方向作用一对方向相反的力方向作用一对方向相反的力P P。试求直径。试求直径ABAB的长度变化。的长度变化。PPA AB BC CD D解：解：利用对称性，该三次静不定问题可利用对称性，该三次静不定问题可转化为转化为图。图。(a)D D(c)A Aa正则方程：正则方程：D D(c)A AD D(d)A AD D(e)A A1上面两式代入上面两式代入正

11、则方程：正则方程：(c)A A求出求出X1后，可得图后，可得图（C）任意截面的弯矩：）任意截面的弯矩：在在AB两端作用单位力时的弯矩：两端作用单位力时的弯矩：利用莫尔积分可求利用莫尔积分可求AB两点的两点的位移：位移：A AB B(f)11 例：图示小曲率杆在力偶m与均匀分布剪流q作用下处于平衡状态，已知q、R与EI=常数，试求A截面的剪力、弯矩和轴力。例：平面框架受切向分布载荷q作用，求A截面的剪力、弯矩和轴力。例：图示刚架 EI为常量，画出刚架的弯矩图。解：变形协调条件为即:解之得例：求A、B两点间的相对线位移 AB。由对称性知:变形协调条件:例：求图示圆环的最大弯矩Mmax。EI为常量。

12、由对称性知：A、B截面上剪力为零变形协调条件:例：作图示梁的弯矩图。解：变形协调条件为即即解得解得例：作图示等刚度刚架的弯矩图。解：变形协调条件为解：变形协调条件为即即解得解得例：作图示等刚度刚架的弯矩图。解：变形协调条件为解：变形协调条件为即即解得解得例：作图示等刚度刚架的弯矩图。解：变形协调条件为解：变形协调条件为即即解之得解之得M图图144 连续梁及三弯矩方程 自 学 作 业n144(a)、（c)n145(c)n146 n1414 n1415一、一、对对称称结结构构上上作作用用对对称称载载荷荷对称轴对称轴PPX1X2X2X3X1X3三次静不定问题的力法正则方程三次静不定问题的力法正则方程

13、三次静不定问题的力法正则方程三次静不定问题的力法正则方程对称轴对称轴PP11对称轴对称轴对称轴对称轴11对称轴对称轴11 基本静定系统分别受外载荷和三个单位约束力单独作用时的基本静定系统分别受外载荷和三个单位约束力单独作用时的 弯矩弯矩 、和和 是对称的，而是是对称的，而是 反对称的，可以证明：反对称的，可以证明：于是正则方程可简化为于是正则方程可简化为：由此可得出普遍性由此可得出普遍性结论：对称称结构构受受对称称载荷作用，其荷作用，其内力和位移分布对内力和位移分布对称。称。在对称面上平行于对称面的内力分在对称面上平行于对称面的内力分量（剪力、扭矩）和垂直对称面对位移量（剪力、扭矩）和垂直对称

14、面对位移分量（轴向位移、弯曲的转角）等于零。分量（轴向位移、弯曲的转角）等于零。二、对称结构上作用反对称载荷二、对称结构上作用反对称载荷mm对称轴对称轴X1X2X2X3X1X3正则方程正则方程：对称轴对称轴对称轴对称轴11对称轴对称轴11对称轴对称轴1 1mm 基本静定系统分别受外载荷和三个单位约束力单独作用时的弯基本静定系统分别受外载荷和三个单位约束力单独作用时的弯矩矩 和和 是对称的，而是是对称的，而是 和和 反对称的，可以证明：反对称的，可以证明：于是正则方程可简化为于是正则方程可简化为：于是可得到普遍性于是可得到普遍性结论：对称称结构受反构受反对称称载荷作用，其荷作用，其内力和位移分布

15、反对称。在对称面上，垂直对称面的内力分量内力和位移分布反对称。在对称面上，垂直对称面的内力分量（轴力、弯矩）和平行于对称面的位移分量（挠度、扭转角）（轴力、弯矩）和平行于对称面的位移分量（挠度、扭转角）等于零。等于零。对称静不定结构n n几何形状对称：若将结构绕对称轴对折后，结构在对称轴两边的部分将完全重合。n n对称结构：n n1.几何形状对称；n n2.材料对称；n n3.约束对称。（正）对称载荷：绕对称轴对折后，结构在对称轴两边的载荷的作用点和作用方向将重合，而且每对力数值相等。反对称载荷：绕对称轴对折后，结构在对称轴两边的载荷的数值相等，作用点重合而作用方向相反。n n对称结构在（正）

16、对称载荷作用下：n n约束反力、内力及变形对称于对称轴。n n对称结构在反对称载荷作用下：n n约束力、内力及变形反对称于对称轴。位于对称轴上的截面位于对称轴上的截面C的内力的内力 QC=0对称结构在（正）对称载荷作用下：？1.内力对称；内力对称；2.作用力作用力 与反作用力。与反作用力。对称结构在（正）对称载荷作用下：？1.变形对称；变形对称；2.变形连续变形连续位于对称轴上的截面位于对称轴上的截面C的变形的变形C=0、CxCx=0=0对称结构在反对称载荷作用下：位于对称轴上的截面位于对称轴上的截面C的内力的内力 NC=0，MC=0 1.内力反对称内力反对称;2.作用力作用力 与反作用力与反作用力对称结构在反对称载荷作用下：1.变形反对称变形反对称;2.变形连续变形连续位于对称轴上的截面位于对称轴上的截面C的变形的变形C=0